(Taylor)公式 用多项式近似表示函数—应用
一、泰勒公式的建立 理论分析近似计算
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式:yf(x)f(x0)f(x0)(xx0) yf(x) 特点: x的一次多项式 f(x0)f(x0) p1(x) ox0xx 以直代曲 如何提高精度?
需要解决的问题 如何估计误差?

1.求n次近似多项式 要求: 令pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n 则pn(x) a12a2(xx0)nan(xx0)n
1 pn(x)  pn(n)(x) 2!
a2n(n1)an(xx0)n2n!
an a0pn(x0)f(x0), a1pn(x0)f(x0), a2  12!
pn ( x0 )  12!
f (x0),,an  1n!
pn(n ) ( x0 )  1n!
f (n)(x0) 故 pn(x) f(x0) f(x0)(xx0) 12!
f (x0 )(x  x0 )
2    1n!
f (n)(x0)(xx0)n
2.余项估计 令Rn(x)f(x)pn(x)(称为余项),则有 Rn(x0)Rn(x0)Rn(n)(x0)0Rn(x) (xx0)n
1 Rn(x)Rn(x0)Rn(1)(xx0)n10(n1)(1x0)n (1在x0与x之间) Rn(1)Rn(x0) Rn(2) (2在x0与 (n1)(1x0)n0(n1)n(2x0)n11之间) Rn(n)(n)Rn(n)(x0) (n1)2(nx0)
0 Rn(n1)() (n1)!
(在x0与n之间) Rn(x)f(x)pn(x) (在x0与x之间) pn(n1)(x)
0,Rn(n1)(x)f(n1)(x) f(n1)() Rn(x) (xx0)n1(在x0与x之间) (n1)!
当在x0的某邻域内f(n1)(x)M时 Rn(x)(nM1)!
xx0n
1 Rn(x)o((xx0)n)(xx0) 泰勒中值定理: 阶的导数,则当 时,有 f(x0)f(x0)(xx0)f2(x!
0)(xx0)2f(nn)(!
x0)(xx0)nRn(x)① f(n1)() 其中Rn(x) (xx0)n1(在x0与x之间)② (n1)!
公式①称为的n阶泰勒公式. 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项. 注意到Rn(x)o[(xx0)n] ③ 在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为 f(x0)f(x0)(xx0)f2(x!
0)(xx0)2f(nn)(!
x0)(xx0)no[(xx0)n]④ 公式③称为n阶泰勒公式的皮亚诺(Peano)余项. *可以证明: ④式成立 f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(x!
0)(xx0)2 f(n)(x0)(xx)nf(n1)()(xx)n
1 n!

0 (n1)!

0 (在x与x之间) 特例:
0
(1)当n=0时,泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理 f(x)f(x0)f()(xx0)(在x0与x之间)
(2)当n=1时,泰勒公式变为 f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!
)(xx0)
2 可见 (在x0与x之间) 误差(在x0与x之间)df 在泰勒公式中若取x0
0,x(01),则有 f
(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xn 2!
n!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.由此得近似公式 f(x)f
(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xnf(x)f(x0)f(x0)(xx0)2!
f(x0)(xxn)!
2若在公式成立的区间上f(n1)(x)2M!
,则有误0差估计式 f(n)(x0)(xx)nMf(n1)()(xx)n1 n!
Rn(x)0(nx1)n!
10 (n1)!
(在x0与x之间)
二、几个初等函数的麦克劳林公式 f(k)(x)ex,f(k)
(0)1(k1,
2,) ex1xx22!
x33!
xnn!
Rn(x) 其中 ex n
1 ex Rn(x) x xn
1, (n1)!
(n1)!
f(k)(x)sin(xk)
2 (k) 
0, f
(0)sink k2m(m1,
2,) 2(1)m1,k2m
1 sinxxx33!
x55!
(1)m1(2xm2m11)!
R2m(x) 其中R2m(x) 2m1 ssiinn((xx2m221)) (2m1)!
x2m1(01) (1)mcos(x)x2m1(01)(2m1)!
类似可得 cosx1x22!
x44!
(1)m(2xm2m)!
R2m1(x) 其中 2m
2 cos(x ) R2m1(x) 2(2m2)!
x2m
2 (01) (1)m1cos(x)x2m2(01) (2m2)!
f(k)(x)(1)(k1)(1x)kf(k)
(0)(1)(k1)(k1,
2,) (1x)1x(1)x2 2!
(1)n(!
n1)xnRn(x) 其中Rn(x)((1n)1)(!
n)(1x)n1xn1(01) 已知f(k)(x)(1)k1(k1)!
(k1,
2,)(1x)k 类似可得 ln(1x)xx2x3(1)n1xnR(x) 23 nn 其中 (1)nxn
1 Rn(x)n1(1x)n
1 (01)
三、泰勒公式的应用
1.在近似计算中的应用 f(x)f
(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xn 2!
n!
误差Rn(x)(nM1)!
xn
1 M为f(n1)(x)在包含0,x的某区间上的上界. 需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围. 例
1.计算无理数e的近似值,使误差不超 过解:已知的麦克劳林公式为 ex1xx2x3xn 2!
3!
n!
令x=
1,得1111e 2!
n!
(n1)!
由于0ee
3,欲使 (01)(01) Rn
(1)(n31)!
10
6 由计算可知当n=9时上式成立,因此 e11112.718281 2!
9!
例
2.用近似公式 计算cosx的近似值, 使其精确到0.005,试确定x的适用范围. 解:近似公式的误差 x4 x4 R3(x)cos(x) 4!
24 x4 令 0.005 24 解得 x0.588 即当x0.588时,由给定的近似公式计算的结果 能准确到0.005. 例3计算sin100,准确到10
4 解：设f(x)sinx,取x0,x,则有
0 18 sinsin(0)1()31()5 18 18183!
185!
18 (1)m11()2m1R() (2m1)!
18 2m18 ()2m
1 )18  (1)2m!

5 而R2m(18(2m1)!
(2m1)!
所以当m2时,R()(0.2)5410510
4 418 5!
15 sin1001()30.174530.000890.1736183!
18
2.利用泰勒公式求极限 例
3.求 用洛必塔法则不方便!
解:用泰勒公式将分子展到x2项,由于 3x42143x 2112(43x)21!
12(121)(43x)2o(x2) 243x14196x2o(x2) 43x 23x19x2o(x2) 4416 原式(lim1)12(196nx)2(1o(xx)2)n1xn91(01) x(0n1)!
x2 32
3.求高阶导数 例4设f(x)x2sinx, 求f(x)的皮亚诺余项的麦克劳林公式，并求f(99)
(0) 解 sinxxx3x5x2m1o(x2m) 3!
5!
(2m1)!
所以x2sinxx3x5x7x2m1o(x2m2)3!
5!
(2m1)!
而麦克劳林公式中x99的系数是f99
(0) 99!
于是f99(0)x99(1)4911x99 99!
(481)!
f99
(0)(1)4911 即f(99)
(0)9998 99!
(481)!

4.利用泰勒公式证明不等式 例
4.证明 证:  1 1x(1x)
2 1x11(11)x222!
22 
1 
1 (
1  1)(
1  2)(
1   x) 52 x
3 3!
222 1 x  x2 
1 (1 x)  52 x3 2816 (01)   ( 1)(nx)x21x1(1 x)(xn10x)n
1 (n1)!
28 (01) 内容小结
1.泰勒公式 f(x0)f(x0)(xx0)f2(x!
0)(xx0)2f(nn)(!
x0)(xx0)nRn(x) 其中余项 f(n1)()n
1 n Rn(x) (xx0)o((xx0)) (n1)!
(在x0与x之间) 当x00时为麦克劳林公式.
2.麦克劳林公式 f
(0)f(0)xf(0)x22!
f(n)(0)xnn!

3.常用函数的麦克劳林公式 ex,ln(1x),sinx,cosx,(1x)m,
4.泰勒公式的应用 11x
(1)近似计算
(2)利用多项式逼近函数,例如sinx
(3)其他应用 求极限,证明不等式等. 记住：常用函数的麦克劳林公式 sinxn(1)kx2k1o(x2n2) k
0 (2k1)!
cosxn(1)kx2ko(x2n) k
0 (2k)!
ex1x21!
x231!
x3n1!
xno(xn) 
1 n xko(xn) 1xk
0 ln(1x)n(1)kxk1o(xn1) k
0 (k1) (1x)mnpmkxko(xn) k0k!
思考与练习 计算
1 解:ex21x21x4o(x4)2!
cosx1x2x4o(x5)2!
4!
ex22cosx3(121)x4o(x4)2!
4!
原式lim172x4o(x4)
7 x
0 x4 12
2.利用泰勒公式求极限 exsinxx(1x) lim
3 x
0 x ex1xx2x3o(x3) 2!
3!
xx33!
o(x3)x2x34!
o(x4) sinxxx3o(x3)3!
x23!
2x!
35!
o(x5)x34!
(3x!
6)2o(x6) e x sin x  x(
1  o(x4) x)  o(x6)  o(x6) lim  x
0 x3 1 x  x2  x3  o(x3) x  x3  o(x3)  x(1 x) lim2!
3!
3!
 x
0 x3 或ex1xx2o(x2)2!
sinxxx3o(x3)3!
xx2x23!
o(x3)x33!
limexsinxx(1x)o(x3)xx2 x
0 x3 1 x  x2  o(x2) x  x3  o(x3)  x(1 x) lim2!
3!
 x
0 x3 x3x3
3 lim 2!
o(x3!
) 
1 x
0 x3
3 3.设函数f(x)在[0,1]上具有三阶连续导数, 且f
(0)1,f
(1)2,f(12)
0, 一点,使f()24. 证:由题设对 有 f(x)f(12) 1f
(1)(x1)
2 2!

2 2 1f()(x1)
3 3!

2 f
(1)1f
(1)(x1)21f()(x1)
3 22!

2 23!

2 分别令x0,
1,得 (其中在x与12之间) f
(1)f(12)(1)2f(1)(1)
3 2 2!

2 3!

2 f(12)(1)2f(2)
(1)
3 2!

2 3!

2 下式减上式,得 1418f(2)f(1)418f(2)f(1) 令f()max(f(2),f(1)) 1f()(01) 24 f()24
1.按(x4)的乘幂展开多项式x45x3x23x4
2.求函数yx在x04的三阶泰勒展开式．
3.求函数ytanx的二阶麦克劳林公式
4.求函数f(x)x103x6x22在x01处的泰勒展开 式的前三项，并计算f(1.03)的近似值．
5.求f(x)x2ex的n阶马克．劳林公式（皮亚诺余项）
6.利用马克劳林公式求极限 cos x  e  x22 (1)lim
4 x
0 x xln(1x)(2)limx x0ex
1 (3)lim(11)1x0xsinxx x2(1xsinxcosx)(4)lim x01xsinxcosx (x4)411(x4)337(x4)221(x4)56 0
1 x21(x4)1(x4)21(x4)315(x4)
4 4 64 512
7 4!
[4(x4)]
2 tanxx2sin2(x)x3013cos4(x) 0.8209