院、系领导 B卷 审批并签名 广州大学2014-2015学年第一学期考试卷解答 课程：高等数学Ⅱ1（64学时） 考试形式：闭卷考试 学院:____________专业班级:__________学号:____________姓名:___________ 题次一二三四五六七八九十总分评卷人 分数15151411121887 100 得分
一、填空题（每空3分，本大题满分15分） 1．lim(2x3)20(3x2)30220330. x (5x1)50 550
2．若函数yln3，则y
0．
3．曲线yx在点（4，2）处的切线方程是
4．已知f(x)的一个原函数为ex，则f(x)
5．设yf(x4)，且yf(u)可导，则dydx x4y4
0．ex.4x3f(x4).
二、选择题(每小题3分，本大题满分15分)
1．当x0时，sinx4是x4的(D)无穷小. (A)高阶;(B)低阶;(C)同阶但不等价;(D)等价.
2．函数f(x)在[a,b]上可导是f(x)在[a,b]上连续的(A). (A)充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件;(D)无关条件. 
3．设F(t)连续，则xF(t)dt(a (A)F(x);(B)F(x)F(a); B). (C)dF(x); (D)F(x)
C.
4．  
0 e5x d x  (
A ). (A)1/5; (B)-1/5; (C)5; (D)-
5.
5．下列说法正确的是(A). (A)零是无穷小; (B)无穷小是很小很小的数； (C)无穷个无穷小的乘积是无穷小；(D)无穷大与无穷小的乘积是无穷小. 第1页共4页《高等数学Ⅱ1》B卷
三、解答下列各题（每小题7分，本大题满分14分）
1．验证函数y2xx2满足关系式y3y1
0. 解：y1(2xx2)22xx2 1x，------3分2xx2 y 2xx2(1x)22x22xx2 2xx2
1 1 (2xx2)3/2y3，------6分 所以y3y10证毕.------7分
2．设由方程xyexey0确定隐函数yy(x)，求ddxy和ddxyx
0. 解：方程两边对x求导，得 yxdyexeydy
0， dx dx dyexy解得dxxey.------5分 由原方程知，当x0时，y
0，所以ddxy|x0exxeyy|x0,y0
1.------7分
四、（本题满分11分） 设函数f(x)x2x，试判断间断点x0，x1的类型，请精确到是第|x|(x21) 几类中的什么间断点. 解：limf(x)limx2xlim11，limf(x)lim1
1， x0 x0x(x21)x01x x0 x0x
1 所以x0为f(x)的跳跃间断点.------5分 limf(x)limx2xlim1， x
1 x1x(x21)x1x
1 所以x1为f(x)的无穷间断点.------8分 limf(x)limx2xlim1
1， x
1 x1x(x21)1x1x2 所以x1为f(x)的可去间断点.------11分 第2页共4页《高等数学Ⅱ1》B卷
五、计算下列极限（每小题6分，本大题满分12分）
1． lim 
1 
1 x . xx 解：原式  lim 
1 
1 x  lim 1
1 x1------4分 xxxx 
1.------6分e 2．limexex2x.x0xsinx 解：原式limexex2------2分x01cosx limexex------4分x0sinx limexex
2.------6分x0cosx
六、计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分）
1．x1x2dx. 解：原式   12  (1 1 x2)
2 d(1 x2) ------3分  
1 (
1  x2 ) 32 
C. ------6分
3 4
2． 2x 1dx.x
1 解：令tx
1，则xt21，dx2tdt， 原式 
1 3 (t2 11)t 2tdt  2
1 3 1dtt2
1 ------
3 分 [2arctant]13
6.------6分 第3页共4页《高等数学Ⅱ1》B卷
3．  1ln(1
0  x2 ) d x . 解：原式  xln(1 x2) |10 21x2 01x2 d x ------3分  ln
2 
2  10 (
1 
1 1x
2 ) d x ------4分 ln22(xarctanx)|10ln22
2.------6分
七、（本题满分8分） 求抛物线yx2和直线y2x所围成的区域面积. y解：解方程组 x2 ，得P点的坐标是(2,4). ------2分 y2x 所求的面积为
A   20 (
2 x  x2 ) d x ------5分 x2x3248
4.------8分 
3 
0 33
八、（本题满分7分） 证明方程x5x10在区间(1,0)内有且只有一个根. 证明：令f(x)x5x
1，因f(x)在闭区间[1,0]连续，且f(1)10，f
(0)1
0， 根据零点定理f(x)在(1,0)内有一个零点.------3分 另一方面，对于任意实数x，有f(x)5x41
0，所以f(x)在(,)内单调增加，因此f(x)至多只有一个实零点.------6分 综上所述，f(x)在区间(1,0)内有且只有一个零点，也即方程x5x10在区间(1,0)内有且只有一个根.------7分 第4页共4页《高等数学Ⅱ1》B卷