卷 审批并签名 广州大学2015-2016学年第一学期考试卷解答 课程：高等数学Ⅱ1（64学时） 考试形式：闭卷考试 学院:____________专业班级:__________学号:____________姓名:___________ 题次一二三四五六七八九十总分评卷人 分数15151612188106 100 得分
一、填空题（每空3分，本大题满分15分） 1．limn1cosn0.nn2
2．曲线y2x31在点(1,3)处的切线与y轴的夹角为且0，则
2 arctan1 
6 .
3．设f(x)存在，则limf(x02h)f(x0)2f(x).
0 h
0 h
0 4．曲线yx3的拐点坐标为(0,0).
5．当x0时，cosx1与12xa为等价无穷小，则a
2.
二、选择题(每小题3分，本大题满分15分)
1．函数ylnsinx在区间[,5]上满足罗尔定理的有（B）个.66 （A）0；（B）1；（C）2；（D）
3.
2．函数f(x)在某点导数存在是函数在该点连续的（A）. （A）充分条件；（B）必要条件；（C）充要条件；（D）无关条件.
3．下列说法正确的是（C）. （A）两个无穷大的和是无穷大； （B）零不是无穷小； （C）无穷小与无穷小的乘积是无穷小；（D）无穷小与无穷小的商是无穷小. 第1页共5页《高等数学Ⅱ1》64学时A卷 d(xet2dt) 4．0 dt （A）. （A）0；（B）ex2；（C）et2；（D）ex2c(c为任意常数).
5．设f(x)是[a,b]上的连续函数，若f(a)f(b)
0，则f(x)在[a,b]上有 (D)个零点. （A）0；（B）1；（C)2；（D）以上都有可能.
三、解答下列各题（每小题8分，本大题满分16分）
1．证明:函数y2xx2满足关系式y3y1
0. 证y1(2xx2)1x，------4分 22xx2 2xx2 y(1x)2xx2(1x)(2xx2)2xx2 2xx2(1x)22x2xx222xx2 2xx2(1x)
2 1
1 (2xx2) 2xx2 (2xx2)3/2y3， y3y1
0。
------8分 xacos3t
2．求方程  y  a sin3 t 表示的函数的二阶导数. dy解dydt3asin2tcosttant，------4分 dxdx3acos2t(sint) dt d2yd(dy)d(dy)dx(tant)dx2dxdxdtdxdt(acos3t) sec2t sec4t 3acos2tsint3asint.------8分 第2页共5页《高等数学Ⅱ1》64学时A卷
四、计算下列极限（每小题6分，本大题满分12分）
1． lim 
1 
1 x . xx 解：原式  lim 
1 
1 x1------3分 xx e
1.------6分 2.limlnx.xx1 解：原式limx------3分x
1 =0.------------6分
五、计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分） 1 1．a2x2dx. 解：原式 1212 a
1   x  a dx------2分 11 ax21a d  x  ------
4 分 a 1arctanx
C.------6分 a a 第3页共5页《高等数学Ⅱ1》64学时A卷
2．x2exdx.解x2exdxx2dex x2ex2xexdx------3分x2ex2xdexx2ex2(xexexdx) x2ex2(xexex)
C.------6分 
3．1sin1dx. 2 x2 x 解 原式 
2 sin
1 d 
1  ------
2 分 xx cos1------4分x
2  limcos1cos
1.------6分 xx 2
六、（本题满分8分） 求由y22x和yx4所围成的图形的面积.解y22x与yx4的交点为(
2,2)和(8,4)，------2分 面积微元: dAy4y22dy，------4分 所求面积: A42dA42y4y22dy y24yy3418.------8分26
2 第4页共5页《高等数学Ⅱ1》64学时A卷
七、（本题满分10分）  x4axb , 设f(x)(x1)(x2) 
2, x
1, x
2,为使f(x)在x1处连续，常数a与x
1, b应如何取值？ 解因为f
(1)
2，为使f(x)在x1处连续，只要 limf(x)limx4axb
2. x
1 x1(x1)(x2) （*）------2分 而要使limx4axb存在，须lim(x4axb)
0，即1ab
0， x1(x1)(x2) x
1 得a(b1)，------4分 于是 limf(x)limx4(b1)xb x
1 x1(x1)(x2) lim(x1)(x3x2xb)x1(x1)(x2) limx3x2xb3b.------8分 x
1 x
2 3 由（*），得b3a(31)
2. 所以当a2，b3时，f(x)在x1处连续.------10分
八、（本题满分6分） 证明方程 1110x1x2x
3 有分别包含于(1，2)，(2，3)内的两个实根. 证当x1,2,3时，用(x1)(x2)(x3)乘方程两端，得(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)
0.------2分 设f(x)(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)，则f
(1)20，f
(2)10，f
(3)2
0，------4分 由零点定理知，f(x)在(1,2)与(2,3)内至少各有一个零点，即原方程在(1,2)与(2,3)内至少各有一个实根.------6分 第5页共5页《高等数学Ⅱ1》64学时A卷