关注知识生长，培养探究能力
——由一堂《梯形》的公开课说起
柯桥区平水镇中学封萍
《数学课程标准》提出义务教育阶段数学课程的总目标，将其分为知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度4个子类。
在每一类中都渗透“过程性目标”的思想，用“经历”、“体验”、“探索”三个动词进行描述。
经历、体验、探索就是要学生通过主动参与特定的数学活动，对知识的产生、发展、形成应用与拓展进行个体体验，群体合作交流。
从这里看出，数学教学要“既重结果，更重过程”。
那么，具体到一节课中，该如何体现出数学知识教学的“过程性”呢？笔者认为，在数学知识的形成过程中，教师要关注数学知识的“生长过程”，找到“生长结点”，即生长关键点。
加强对它们的培育，开发，关注每一个知识的生长结点，并让学生主动参与到知识的生长过程中。
下面笔者以浙教版课表实验教材八年级下册“6.4.1梯形”的教学为例作一探索。
课前准备：教师事先对班级分成10个小组，4人一组，并发给每一位同学一张等腰
三 角形纸片，每个小组一把剪刀。
一、探究新知，知识开始“生长”
1、创设情景 师：老师手上有一张任意的三角形纸片，若老师沿着平行于一边的方向剪一刀，你 会得到哪些图形呢？（教师按刚才的要求进行操作） 生：一个三角形和一个梯形。
师：我们在小学中已认识了梯形。
今天这节课我们继续来探究梯形及其性质。
板书 课题《梯形》。
师：同学们回顾一下，小学中，什么样的四边形叫梯形？ 生
1：有一组对边平行的四边形叫梯形。
生2：我认为是一组对边平行，而另一组对边不平 B上底边
D 行四边形的叫梯形。
腰高 师：没错，生2回答的非常正确。
我们把只有 一组对边平行的四边形叫梯形。
接下来我们再次
A 下底边
C 来回忆梯形中的一些基本元素：上底、下底、底角、腰、高。
师：在生活中，梯形的影子也处处可见。
下面我们一起来寻找梯形（多媒体欣赏图 片，寻找生活中的梯形，让学生直观感知梯形）。
师：同学们手中都有一张纸片，观察一下，你手中的纸片和老师的有什么不同？ 生：我们的是等腰三角形纸片。
师：请将你手中的等腰三角形纸片沿着平行于底边方向的直线剪一刀，你又得到哪 些图形？你的图形和老师刚才的有区别吗？ （学生分小组动手剪一剪） 【分析】：通过学生动手剪等腰三角形纸片，使学生经历等腰梯形的产生过程。
由 于每位学生都亲自动手，对学习新课题会产生亲切感、好奇感，激发学生的求知欲。
师：同学
们都得到了哪些图形？请一位同学上来展示你的成果。
生3：我得到了一个等腰三角形和一个梯形。
但是这个梯形与你的相比有点特殊。
师：有什么特殊性？ 生3：我发现它的两条腰相等，两只底角也相等。
师：其他同学是不是也有一样的发现。
那我们一起来探究一下，这些结论是否正确。
先看AB和CD的长度是否相等。
并说明理由。
生4：因为刚才△ABC是等腰△，所以EB=EC, 师：非常好。
那我们把“两腰相等的梯形叫等腰梯形”（板书等腰梯形的定义）。
那么∠B与∠C是否相等呢？我们继续探究。
师：同学们手中已经有了一张等腰梯形纸片，能否只剪一刀,使它变为三角形和平行 四边形.若可以,该怎么剪?
你能说明理由吗?
并思考：
(1)∠B与∠C有何关系?
为什么呢?
A D
(2)若连结等腰梯形的对角线AC,BD,它们相等吗?
请给出证明过程.
B C
(3)通过
(1),
(2)你得到了一个什么结论呢?
（小组合作开始，并规定，每一个小组中一位同学画剪裁线，一位同学剪，其余同 学思考如何画剪裁线，并派一组同学展示）
A D 生
5：我的剪裁线是过D作DE,使DE=AB,沿着这条DE剪， 就得到了一个平行四边形ABED和一个三角形DEC。
师：那你如何来证明四边形ABED为一个平行四边形
B E
C 呢？生5：（想了想）∵AD∥BC，AB=DE,…（此时，班级中发出了不同的意见的声音。
）生6：老师，这种方法证不出平行四边形。
因为它是一组对边平行，另一组对边相 等了。
我的方法是过点D作DE∥AB,交AB于点
E.说理过程如下：∵等腰梯形ABCD，AD∥BC,AB∥DE,∴ABED为平行四边形。
∴AB=DE=DC∴∠ABE=∠DEC=∠DCE，即∠B=∠
C. 师：很好。
这位同学不仅剪出了图形，还给出了方法的论证，实验的结论经过推理论证，结果是可靠的。
那对于第
（2）小题，你又该怎么证明呢？ 生7：：刚才已经证得∠ABC=∠DCB,而AB=DC,BC=CB,所以△ABC≌△DCB。
所以AC=DB.师：通过刚才的探究和论证，你得到了一个什么结论，请你来概括一下。
（小组合作讨论，形成结论）生8：等腰梯形两个底角相等，两条对角线相等。
师：等腰梯形只有两个底角吗？这两个底角有什么特征？对刚才这位同学你们有什么补充吗？生9：等腰梯形同一底上的两个底角相等，两条对角线相等。
。
师：这就是等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个底角相等，两条对角线相等。
你认为这句话中关键词是什么？生：同一底上的两个底角。
师：等腰梯形性质的数学几何语言：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,则∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA,AC=BD.【分析】：通过小组合作，画出裁剪线，老师层层追问，将实际操作结果与数学推理论证结合，体现数学论证的严密性，从而得出等腰梯形的性质，并将它转化为数学语言,从动手剪一剪中，完整还原了学生知识的“生长过程”。
师：请你把手中的等腰梯形纸片折一折，折痕两边能否重合？由此你发现了什么？生：我发现折痕两边能完全重合，说明等腰梯形是一个轴对称图形，它的对称轴是经过上下底中点连线所在的直线。
（探究出等腰梯形另一个性质。
）【分析】：教师设计这个环节是让学生动手从纸片的折叠中发现等腰梯形的轴对称性，让学生直观感知等腰梯形的轴对称性，理解等腰梯形的对称轴。
师：刚才我们是从梯形的一个顶点引梯形腰的一条平行线，从而把梯形分成一个平 行四边形和一个三角形，这种方法我们称为“平移腰”，是梯形常见辅助线添法之
一。
师：同学们刚才讨论的非常激烈，让我们继续来探究。
在等腰梯形
ABCD中，能否 只剪两刀，使它变为一个矩形和两个直角三角形。
若可以，该怎么剪？（小组合作开始， 并派一个小组展示） 生10：我们小组是过A作AE⊥BC,DF⊥BC,以下是说理过程：∵AD∥BC,AE⊥BC,DF ⊥BC,∴∠AEF=∠DEF=∠EAD=90°，∴AEFD是矩形。
师：其他小组有不同的方法吗？（无人再举手） 师：刚才大家是过梯形的两个顶点作底边上的高，从而将梯形分割成一个矩形和两 个直角三角形，这又是梯形常见辅助线添法之
一，我们把它叫做“作底边上的高”。
那么这时，△ABE
与△DCF全等吗?
为什么？生11：解:过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC
A D ∵等腰梯形ABCD， ∴AB=CD,AD∥BC∴∠B=∠
C, ∠AEB=∠DFC=90°∴△ABE≌△DCF(AAS)
B E CF 师：非常好。
你们还有不同方法吗？ 生12：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD,∠AEB=∠DFC=90°，∴AE=DF(平行线 之间的距离处处相等)，∴△ABE≌△DCF（HL） 师：通过刚才的探索，我们已经得出了梯形的两种辅助线添法，请看大屏幕，我们 一起来应用一下
。
【分析】学生在两次剪纸片中，顺利得出了梯形的两种常见辅助线添法，在这里， 教师善于引导学生将动手操作与数学说理相结合，让学生感受到“知识的生长”过程， 培养了学生的动手，观察，说理，推理能力。
二、应用新知，再现“生长结点” 例
1：（多媒体展示）：如图6-26，四边形ABCD是
A D 等腰梯形，AD∥BC,已知∠B=60°，AD=15,AB=45, 求BC的长。
师：请同学们独立思考，尝试解决以上问题，BC 并在学案稿上写出解答过程。
并向其他同学展示。
A D 生13：这是我的解答过程。
过D作DE∥AB交BC于点
E,
B E
C ∵梯形ABCD，AD∥BC,AB=CD,DE∥AB,∴四边形ABED为平 行四边形。
∴AB=BE=15,AB=DE=DC=45。
又∵∠B=60°，所以∠DEC=∠C=60度，∴△DEC为正三角形。
∴EC=AB=45,∴BC=BE+EC=60. 师：你们还有其他方法吗？ 生14：过
A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足为
E,F.以下是说理过程： ∵AB=45，∠B=60°，∠AEB=90°，∴BE=½AB=45，同理CF=½45，
A D 又∵ABED是矩形，∴AD=EF=15, ∴BC=BE+EF+FC=60. B师：非常好，你们还有其他方法吗?
E CF (此时班上寂静无声，过了一会，有一位同学举起了手) 生15：我是延长BA,CD交于点
E,说理过程如下：∵等腰梯形ABCD，AB=CD,AD∥BC, ∴∠EAD=∠B=60°,∠EDA=∠C=60°∴△EBC和△EAD都是正三角形。
∴ EA=AD=15,BC=BE=AB+EA=45+15=60。
E 师：你是如何想到这种方法的？
A D 生15：我想，我们刚才是从等腰三角形纸片剪出等 腰梯形，那我就想把梯形重新补回去，所以我想到了 这种方法（此时，全班响起了热烈的掌声）。
B C 师：真聪明，这位同学给我们提供了等腰梯形又一种辅助线添法：延长两腰交于
一 点，把梯形变为一个三角形，这种方法叫：“延长两腰”。
前面两种方法是将梯形分割成 若干个基本图形，重点是“割”，而这种方法是将梯形补成一个三角形，重点是“补”， 你还有其他方法吗？ （由于有了刚才老师的启发，又有一位同学举起了手） 生
16：老师，我还可以延长AD至
E,使AE=BC,连接CE。
A D
E 我们可以先证四边形ABCE为平行四边形,再证△DCE是 正三角形，∴BC=AE=45+15=60.
B C 师：很好，那请大家对照自己的解答过程看一看（多媒体显示）。
这位同学又给我 们提供了等腰梯形的辅助线添法之
一,将梯形补成了一个平行四边形。
这种方法其实也 是“平移一条腰”，只是我们将腰平移到梯形的外面。
【分析】教师及时启发学生的思维能力，当学生思维遇到了“瓶颈”教师能及时设 问引导，启发学生的思维能力，将知识生长的“生长结点”凸显出来。
三、拓展新知，关注知识再生长 师：看来研究这个问题的方法还是很多的，相信同学们一定还能发现其他方法。
同 学们还想再继续探究吗？ 生（齐声）：想。
师：沿等腰梯形的一条对角线裁剪，能否把得到的两个图形拼成一个三角形？并思 考：
（1）若可以，这是个什么三角形？
A D
（2）梯形面积与此三角形面积有何关系？
（3）在裁拼过程中，四边形ACED是什么图形？（小组合作开始，请一个小组代表展示）BC 生17：一位同学将剪下来的两个图形上去拼三角形。
师：你能保证这样拼出来的图形是一个三角形吗？也就是说
B,C,E在同一条直线上 吗？ 生17：能。
∵梯形ABCD中，AD∥BC,△ACD≌EDC，
A D ∴AD=CE,AC=DE,四边形ADEC是平行四边形。
∴∠ACE+∠DAC=180°，又∵∠DAC=∠ACB,
B C
E ∴∠ACB+∠ACE=180°，∴
B,C.E在同一条直线上。
师：那梯形的面积与此三角形面积有什么关系？这里用了什么思想方法？ 生：相等。
割补思想。
师：刚才我们沿着对角线裁剪，其实是将一条对角线平移到梯形外，使之成为一个 三角形，这也是等腰梯形的辅助线添法之
一，我们把它叫做“平移对角线”
四．整理新知，总结“知识生长”过程 师：学了这节课你们有什么收获呢？谈谈你们的收获。
生
18：等腰梯形的同一底边上的两个底角相等，两条对角线相等。
生19：我学了几种梯形辅助线的添法。
生20：我学到了等腰梯形是一个轴对称图形。
师：其实这些方法不仅适用于等腰梯形，对所有的梯形都是可以E用的。
我们可 以归纳为以下常见几种方法：
A D
A D
A D
B E CF
B C
B E
C A
D E
A D
B C
B C
E 五：拓展延伸 师；同学们都很善于发现问题、思考问题、课后同学们 还可以再去探究一下下面这个问题： AD 先任意画一个梯形
ABCD,连接两腰的中点
E、F，
E F 线段EF叫做梯形ABCD的中位线，测量中位线EF
B C 和梯形的两底AB,CD的长度看一看它们有什么关系。
A 再画几个梯形试一试，说出你的猜想，并予以证明，
E 用你的猜想能简化梯形的面积公式吗？
六、巩固新知
B DF
C G （教师作业布置） 【后记】：本节课重点等腰梯形的性质，难点是等腰梯形性质“等腰梯形同一底边上的 两个底角相等，两条对角线相等”这一结论的生成过程，设计时教师不是简单的告诉学 生通过添辅助线得出，而是让学生通过自己动手裁剪，画出裁剪线，得出结论。
要立足 于学生小学学习和生活的经验基础，引导学生经历猜想、实验、发现、验再发现的过程， 既要教学生操作猜想，又要教学生推理论证。
通过只是的产生、发展过程来建构数学教 学过程。
这样，学生在研究知识“生长结点”中，不仅将获得结果性知识，还将获得与 数学学习密切相关的数学思想方法、动态研究方法、推理方法等过程性知识。
听完本节课后，笔者从听课评委中收集到一些评价意见收录如下：
1.设置动手操作活动，培养学生的探究能力
等腰梯形的性质的探究，若教师直接告诉学生如何添辅助线，让学生记住结论，然 后再教给学生解题方法，就会使学生失去一个研究问题的好机会。
教师在进行教学流程的设计时，关注学生动手操作活动的设置，表面上看是一个重复活动，实际上教师借助一个个剪，拼活动设计，不仅调动了学生的积极性，而且引导学生从理性的角度进行观察、发现，进而推理论证，学生自然地进入了知识的“生长结点中”，无形中培养了学生的探究能力。
2.丰富研究问题形式，促进学科思维拓展这节课的课堂教学中，问题研究的形式比较多样，教师创设了形式多样的研究问题 方式和方法。
除了上述谈及的操作等活动的设置外，教师还注意从数学思维层面进行挖掘、开发。
从“等腰梯形同一底边上的两个底角相等，两条对角线相等”结论的发现，简单论证，归纳总结，实际应用等角度进行预设和引导，打破常规教学模式，放手引导学生探索，打开了学生的思维，激发了学生探索问题的兴趣，在一些知识关键点的“生长结点”上，教师善于引导，启发，最终形成数学理论。
3.构建“教”“学”多边互动，获得师生教学双赢 “教”与“学”活动，合二为一本质就是教学。
这几课不仅关注了“学”的动态发展，教师在开课的情景创设中，“等腰梯形的性质”的发现，梯形辅助线的常见几种添法的归纳，结论的论证方法，动手操作直观观察活动，推理论证全程环节进行了多边互动活动的创设，激发学生与教师进行交流，学生与学生交流。
在看似“花哨”的教学活动过程中，教师驾驭课堂的教学能力在提高，学生的数学逻辑思维能力在提升。
在每一类中都渗透“过程性目标”的思想，用“经历”、“体验”、“探索”三个动词进行描述。
经历、体验、探索就是要学生通过主动参与特定的数学活动，对知识的产生、发展、形成应用与拓展进行个体体验，群体合作交流。
从这里看出，数学教学要“既重结果，更重过程”。
那么，具体到一节课中，该如何体现出数学知识教学的“过程性”呢？笔者认为，在数学知识的形成过程中，教师要关注数学知识的“生长过程”，找到“生长结点”，即生长关键点。
加强对它们的培育，开发，关注每一个知识的生长结点，并让学生主动参与到知识的生长过程中。
下面笔者以浙教版课表实验教材八年级下册“6.4.1梯形”的教学为例作一探索。
课前准备：教师事先对班级分成10个小组，4人一组，并发给每一位同学一张等腰
三 角形纸片，每个小组一把剪刀。
一、探究新知，知识开始“生长”
1、创设情景 师：老师手上有一张任意的三角形纸片，若老师沿着平行于一边的方向剪一刀，你 会得到哪些图形呢？（教师按刚才的要求进行操作） 生：一个三角形和一个梯形。
师：我们在小学中已认识了梯形。
今天这节课我们继续来探究梯形及其性质。
板书 课题《梯形》。
师：同学们回顾一下，小学中，什么样的四边形叫梯形？ 生
1：有一组对边平行的四边形叫梯形。
生2：我认为是一组对边平行，而另一组对边不平 B上底边
D 行四边形的叫梯形。
腰高 师：没错，生2回答的非常正确。
我们把只有 一组对边平行的四边形叫梯形。
接下来我们再次
A 下底边
C 来回忆梯形中的一些基本元素：上底、下底、底角、腰、高。
师：在生活中，梯形的影子也处处可见。
下面我们一起来寻找梯形（多媒体欣赏图 片，寻找生活中的梯形，让学生直观感知梯形）。
师：同学们手中都有一张纸片，观察一下，你手中的纸片和老师的有什么不同？ 生：我们的是等腰三角形纸片。
师：请将你手中的等腰三角形纸片沿着平行于底边方向的直线剪一刀，你又得到哪 些图形？你的图形和老师刚才的有区别吗？ （学生分小组动手剪一剪） 【分析】：通过学生动手剪等腰三角形纸片，使学生经历等腰梯形的产生过程。
由 于每位学生都亲自动手，对学习新课题会产生亲切感、好奇感，激发学生的求知欲。
师：同学
们都得到了哪些图形？请一位同学上来展示你的成果。
生3：我得到了一个等腰三角形和一个梯形。
但是这个梯形与你的相比有点特殊。
师：有什么特殊性？ 生3：我发现它的两条腰相等，两只底角也相等。
师：其他同学是不是也有一样的发现。
那我们一起来探究一下，这些结论是否正确。
先看AB和CD的长度是否相等。
并说明理由。
生4：因为刚才△ABC是等腰△，所以EB=EC, 师：非常好。
那我们把“两腰相等的梯形叫等腰梯形”（板书等腰梯形的定义）。
那么∠B与∠C是否相等呢？我们继续探究。
师：同学们手中已经有了一张等腰梯形纸片，能否只剪一刀,使它变为三角形和平行 四边形.若可以,该怎么剪?
你能说明理由吗?
并思考：
(1)∠B与∠C有何关系?
为什么呢?
A D
(2)若连结等腰梯形的对角线AC,BD,它们相等吗?
请给出证明过程.
B C
(3)通过
(1),
(2)你得到了一个什么结论呢?
（小组合作开始，并规定，每一个小组中一位同学画剪裁线，一位同学剪，其余同 学思考如何画剪裁线，并派一组同学展示）
A D 生
5：我的剪裁线是过D作DE,使DE=AB,沿着这条DE剪， 就得到了一个平行四边形ABED和一个三角形DEC。
师：那你如何来证明四边形ABED为一个平行四边形
B E
C 呢？生5：（想了想）∵AD∥BC，AB=DE,…（此时，班级中发出了不同的意见的声音。
）生6：老师，这种方法证不出平行四边形。
因为它是一组对边平行，另一组对边相 等了。
我的方法是过点D作DE∥AB,交AB于点
E.说理过程如下：∵等腰梯形ABCD，AD∥BC,AB∥DE,∴ABED为平行四边形。
∴AB=DE=DC∴∠ABE=∠DEC=∠DCE，即∠B=∠
C. 师：很好。
这位同学不仅剪出了图形，还给出了方法的论证，实验的结论经过推理论证，结果是可靠的。
那对于第
（2）小题，你又该怎么证明呢？ 生7：：刚才已经证得∠ABC=∠DCB,而AB=DC,BC=CB,所以△ABC≌△DCB。
所以AC=DB.师：通过刚才的探究和论证，你得到了一个什么结论，请你来概括一下。
（小组合作讨论，形成结论）生8：等腰梯形两个底角相等，两条对角线相等。
师：等腰梯形只有两个底角吗？这两个底角有什么特征？对刚才这位同学你们有什么补充吗？生9：等腰梯形同一底上的两个底角相等，两条对角线相等。
。
师：这就是等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个底角相等，两条对角线相等。
你认为这句话中关键词是什么？生：同一底上的两个底角。
师：等腰梯形性质的数学几何语言：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,则∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA,AC=BD.【分析】：通过小组合作，画出裁剪线，老师层层追问，将实际操作结果与数学推理论证结合，体现数学论证的严密性，从而得出等腰梯形的性质，并将它转化为数学语言,从动手剪一剪中，完整还原了学生知识的“生长过程”。
师：请你把手中的等腰梯形纸片折一折，折痕两边能否重合？由此你发现了什么？生：我发现折痕两边能完全重合，说明等腰梯形是一个轴对称图形，它的对称轴是经过上下底中点连线所在的直线。
（探究出等腰梯形另一个性质。
）【分析】：教师设计这个环节是让学生动手从纸片的折叠中发现等腰梯形的轴对称性，让学生直观感知等腰梯形的轴对称性，理解等腰梯形的对称轴。
师：刚才我们是从梯形的一个顶点引梯形腰的一条平行线，从而把梯形分成一个平 行四边形和一个三角形，这种方法我们称为“平移腰”，是梯形常见辅助线添法之
一。
师：同学们刚才讨论的非常激烈，让我们继续来探究。
在等腰梯形
ABCD中，能否 只剪两刀，使它变为一个矩形和两个直角三角形。
若可以，该怎么剪？（小组合作开始， 并派一个小组展示） 生10：我们小组是过A作AE⊥BC,DF⊥BC,以下是说理过程：∵AD∥BC,AE⊥BC,DF ⊥BC,∴∠AEF=∠DEF=∠EAD=90°，∴AEFD是矩形。
师：其他小组有不同的方法吗？（无人再举手） 师：刚才大家是过梯形的两个顶点作底边上的高，从而将梯形分割成一个矩形和两 个直角三角形，这又是梯形常见辅助线添法之
一，我们把它叫做“作底边上的高”。
那么这时，△ABE
与△DCF全等吗?
为什么？生11：解:过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC
A D ∵等腰梯形ABCD， ∴AB=CD,AD∥BC∴∠B=∠
C, ∠AEB=∠DFC=90°∴△ABE≌△DCF(AAS)
B E CF 师：非常好。
你们还有不同方法吗？ 生12：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD,∠AEB=∠DFC=90°，∴AE=DF(平行线 之间的距离处处相等)，∴△ABE≌△DCF（HL） 师：通过刚才的探索，我们已经得出了梯形的两种辅助线添法，请看大屏幕，我们 一起来应用一下
。
【分析】学生在两次剪纸片中，顺利得出了梯形的两种常见辅助线添法，在这里， 教师善于引导学生将动手操作与数学说理相结合，让学生感受到“知识的生长”过程， 培养了学生的动手，观察，说理，推理能力。
二、应用新知，再现“生长结点” 例
1：（多媒体展示）：如图6-26，四边形ABCD是
A D 等腰梯形，AD∥BC,已知∠B=60°，AD=15,AB=45, 求BC的长。
师：请同学们独立思考，尝试解决以上问题，BC 并在学案稿上写出解答过程。
并向其他同学展示。
A D 生13：这是我的解答过程。
过D作DE∥AB交BC于点
E,
B E
C ∵梯形ABCD，AD∥BC,AB=CD,DE∥AB,∴四边形ABED为平 行四边形。
∴AB=BE=15,AB=DE=DC=45。
又∵∠B=60°，所以∠DEC=∠C=60度，∴△DEC为正三角形。
∴EC=AB=45,∴BC=BE+EC=60. 师：你们还有其他方法吗？ 生14：过
A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足为
E,F.以下是说理过程： ∵AB=45，∠B=60°，∠AEB=90°，∴BE=½AB=45，同理CF=½45，
A D 又∵ABED是矩形，∴AD=EF=15, ∴BC=BE+EF+FC=60. B师：非常好，你们还有其他方法吗?
E CF (此时班上寂静无声，过了一会，有一位同学举起了手) 生15：我是延长BA,CD交于点
E,说理过程如下：∵等腰梯形ABCD，AB=CD,AD∥BC, ∴∠EAD=∠B=60°,∠EDA=∠C=60°∴△EBC和△EAD都是正三角形。
∴ EA=AD=15,BC=BE=AB+EA=45+15=60。
E 师：你是如何想到这种方法的？
A D 生15：我想，我们刚才是从等腰三角形纸片剪出等 腰梯形，那我就想把梯形重新补回去，所以我想到了 这种方法（此时，全班响起了热烈的掌声）。
B C 师：真聪明，这位同学给我们提供了等腰梯形又一种辅助线添法：延长两腰交于
一 点，把梯形变为一个三角形，这种方法叫：“延长两腰”。
前面两种方法是将梯形分割成 若干个基本图形，重点是“割”，而这种方法是将梯形补成一个三角形，重点是“补”， 你还有其他方法吗？ （由于有了刚才老师的启发，又有一位同学举起了手） 生
16：老师，我还可以延长AD至
E,使AE=BC,连接CE。
A D
E 我们可以先证四边形ABCE为平行四边形,再证△DCE是 正三角形，∴BC=AE=45+15=60.
B C 师：很好，那请大家对照自己的解答过程看一看（多媒体显示）。
这位同学又给我 们提供了等腰梯形的辅助线添法之
一,将梯形补成了一个平行四边形。
这种方法其实也 是“平移一条腰”，只是我们将腰平移到梯形的外面。
【分析】教师及时启发学生的思维能力，当学生思维遇到了“瓶颈”教师能及时设 问引导，启发学生的思维能力，将知识生长的“生长结点”凸显出来。
三、拓展新知，关注知识再生长 师：看来研究这个问题的方法还是很多的，相信同学们一定还能发现其他方法。
同 学们还想再继续探究吗？ 生（齐声）：想。
师：沿等腰梯形的一条对角线裁剪，能否把得到的两个图形拼成一个三角形？并思 考：
（1）若可以，这是个什么三角形？
A D
（2）梯形面积与此三角形面积有何关系？
（3）在裁拼过程中，四边形ACED是什么图形？（小组合作开始，请一个小组代表展示）BC 生17：一位同学将剪下来的两个图形上去拼三角形。
师：你能保证这样拼出来的图形是一个三角形吗？也就是说
B,C,E在同一条直线上 吗？ 生17：能。
∵梯形ABCD中，AD∥BC,△ACD≌EDC，
A D ∴AD=CE,AC=DE,四边形ADEC是平行四边形。
∴∠ACE+∠DAC=180°，又∵∠DAC=∠ACB,
B C
E ∴∠ACB+∠ACE=180°，∴
B,C.E在同一条直线上。
师：那梯形的面积与此三角形面积有什么关系？这里用了什么思想方法？ 生：相等。
割补思想。
师：刚才我们沿着对角线裁剪，其实是将一条对角线平移到梯形外，使之成为一个 三角形，这也是等腰梯形的辅助线添法之
一，我们把它叫做“平移对角线”
四．整理新知，总结“知识生长”过程 师：学了这节课你们有什么收获呢？谈谈你们的收获。
生
18：等腰梯形的同一底边上的两个底角相等，两条对角线相等。
生19：我学了几种梯形辅助线的添法。
生20：我学到了等腰梯形是一个轴对称图形。
师：其实这些方法不仅适用于等腰梯形，对所有的梯形都是可以E用的。
我们可 以归纳为以下常见几种方法：
A D
A D
A D
B E CF
B C
B E
C A
D E
A D
B C
B C
E 五：拓展延伸 师；同学们都很善于发现问题、思考问题、课后同学们 还可以再去探究一下下面这个问题： AD 先任意画一个梯形
ABCD,连接两腰的中点
E、F，
E F 线段EF叫做梯形ABCD的中位线，测量中位线EF
B C 和梯形的两底AB,CD的长度看一看它们有什么关系。
A 再画几个梯形试一试，说出你的猜想，并予以证明，
E 用你的猜想能简化梯形的面积公式吗？
六、巩固新知
B DF
C G （教师作业布置） 【后记】：本节课重点等腰梯形的性质，难点是等腰梯形性质“等腰梯形同一底边上的 两个底角相等，两条对角线相等”这一结论的生成过程，设计时教师不是简单的告诉学 生通过添辅助线得出，而是让学生通过自己动手裁剪，画出裁剪线，得出结论。
要立足 于学生小学学习和生活的经验基础，引导学生经历猜想、实验、发现、验再发现的过程， 既要教学生操作猜想，又要教学生推理论证。
通过只是的产生、发展过程来建构数学教 学过程。
这样，学生在研究知识“生长结点”中，不仅将获得结果性知识，还将获得与 数学学习密切相关的数学思想方法、动态研究方法、推理方法等过程性知识。
听完本节课后，笔者从听课评委中收集到一些评价意见收录如下：
1.设置动手操作活动，培养学生的探究能力
等腰梯形的性质的探究，若教师直接告诉学生如何添辅助线，让学生记住结论，然 后再教给学生解题方法，就会使学生失去一个研究问题的好机会。
教师在进行教学流程的设计时，关注学生动手操作活动的设置，表面上看是一个重复活动，实际上教师借助一个个剪，拼活动设计，不仅调动了学生的积极性，而且引导学生从理性的角度进行观察、发现，进而推理论证，学生自然地进入了知识的“生长结点中”，无形中培养了学生的探究能力。
2.丰富研究问题形式，促进学科思维拓展这节课的课堂教学中，问题研究的形式比较多样，教师创设了形式多样的研究问题 方式和方法。
除了上述谈及的操作等活动的设置外，教师还注意从数学思维层面进行挖掘、开发。
从“等腰梯形同一底边上的两个底角相等，两条对角线相等”结论的发现，简单论证，归纳总结，实际应用等角度进行预设和引导，打破常规教学模式，放手引导学生探索，打开了学生的思维，激发了学生探索问题的兴趣，在一些知识关键点的“生长结点”上，教师善于引导，启发，最终形成数学理论。
3.构建“教”“学”多边互动，获得师生教学双赢 “教”与“学”活动，合二为一本质就是教学。
这几课不仅关注了“学”的动态发展，教师在开课的情景创设中，“等腰梯形的性质”的发现，梯形辅助线的常见几种添法的归纳，结论的论证方法，动手操作直观观察活动，推理论证全程环节进行了多边互动活动的创设，激发学生与教师进行交流，学生与学生交流。
在看似“花哨”的教学活动过程中，教师驾驭课堂的教学能力在提高，学生的数学逻辑思维能力在提升。
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