2020北京昌平初三二模 数学 2020.6本试卷共8页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为 (A)40° (B)45° (C)135° (D)140°
2.今年的新冠肺炎病毒侵袭武汉时，全中国第一时间组织对武汉的救援.这其中，我国自主研制的大型运输机“运20”，为在疫情初期向武汉快速转运大量物资和人员作出了重要贡献.“运20”起飞重量220吨，从立项到成功编入部队，经历了20多年，仅研究初期的预研经费就超过3000000000元人民币.将3000000000用科学记数法表示为 (A)3×108 (B)0.3×1010 (C)3×109 (D)30×108
3.下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
4.实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 (A)ab (B)ad>
0 (C)a+c>
0 5.在下面的四个几何体中，左视图是圆的是 (D)d-a>
0 1/19
6.昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑.如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为(2，0)，表示园中园的点的坐标为(-1，2)，则表示弘文阁所在的点的坐标为 (A)(-
2，-3) (B)(-
2，-2) (C)(-
3，-3) (D)(-
3，-4)
7.如果
a-b=
4，且a≠0，b≠
0，那么代数式(a2−b)(a+b)的值是 b b (A)-
4 (B)
4 (C)
2 (D)-
2 8.如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面.一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处(点D与
B，C不重合)，反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK.设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9.若x+3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________________. 2/19 10.下图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________°. 11.如上图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为
1，点A，
B，C均在格点上，则SABC=_________. 12.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个问题“假令黄金
九，白银一十
一，称之重适等.交易其
一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何?
”译文：A袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，B袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，A袋比B袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两?
设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，请根据题意列方程组：_____________. 13.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点
O，若SAOE=
1，则SBOC =___________. 14.如图
1，这个图案是2002年北京国际数学家大会会标，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图
2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=
2，DE=
8，则AB的长为_______. 15.为了更好的开展线上学习，李老师打算选择一款适合网上授课的软件，他让年级同学在使用过
A、B、C三款软件后进行评分，统计结果如下： 五星 四星 三星 两星 一星 合计
A 52 30 13
3 2 100
B 49 36 10
4 1 100
C 35 30 25
6 4 100 (说明：学生对于网上授课软件的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星). 3
/19 李老师选择__________(填“A”、“B”或“C”)款网上授课软件，能更好的开展线上学习(即评价不低于四星)的可能性最大.16.如图，是用图象反映储油罐内的油量V与输油管开启时间t的函数关系.观察这个图象，以下结论正确的有___________.①随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量在减少；②输油管开启10分钟时，储油罐内的油量是80立方米；③如果储油罐内至少存油40立方米，那么输油管最多可以开启36分钟；④输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半.
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算：12+2-1-2cos30+3-
2. 2xx−
3 1
8 . 解不等式组  x +
7 32x−
1 19.已知：关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+m=
0.
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程的根 4/19 20.在数学课上，老师提出如下问题：已知：∠α，直线l和l上两点
A，B.求作：Rt△ABC，点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α. 小刚的做法如下：①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于
M，N；以Ａ为圆心，同样长为半径作弧，交直线l 于点P；②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点
Q，作射线AQ；③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于
E，F； ④分别以
E，F为圆心，大于1EF长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点
G，作射线BG；
2 ⑤射线AQ与射线BG交于点
C.Rt△ABC即为所求.
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明：连接PQ在△OMN和△AQP中，∵ON=AP，NM=PQ，OM=AQ∴△OMN≌△AQP(_______________)(填写推理依据)∴∠PAQ=∠O=α∵CE=CF，BE=BF∴CB⊥EF(___________________)(填写推理依据) 5/19 21.在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点
E，点F在边AD上，且DF=BE，连接DE，CF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若DE平分∠ADC，AB=
5，AD=
8，求tan∠ADE的值. 22.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，
A，B是切点，AC是⊙O的直径
(1)若∠ACB=70°，求∠APB的度数；
(2)连接OP，若AB=
8，BC=
6，求OP的长. 23.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+b与双曲线y=m交于点A(1，n)和点B(-
2，-1)，点C是x轴的一个x 动点.
(1)①求m的值和点A的坐标；②求直线l的表达式；
(2)若△ABC的面积等于
6，直接写出点C的坐标. 6/19 24.为深入贯彻落实习近平总书记关于防灾减灾救灾和自然灾害防治等重要论述精神，推动防震减灾治理体系和治理能力现代化，引导学生学习掌握防震减灾科普知识，区教委开展了2020年昌平区中小学生防震减灾知识挑战赛.从某所学校中抽取了50名同学的成绩进行分析，下面给出部分信息： a.该校抽取的50名学生防震减灾知识挑战赛成绩的频数分布直方图如下(数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)：b.该校抽取的50名学生防震减灾知识挑战赛的成绩在80≤x<90这一组的是：818182838384848485858686878788 8989根据以上信息回答问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)该校抽取的50名学生成绩的中位数是______________；
(3)若该校共有学生200人，请你估计该校在防震减灾知识挑战赛中获得优秀的有多少人.(成绩≥85视为优秀) 25.如图，AB是以O为圆心，AB长为直径的半圆弧，点C是AB上一定点.点P是AB上一动点，连接PA，PC，过点P作PD⊥AB于
D.已知AB=6cm，设
A、P两点间的距离为xcm，
P、C两点间的距离为y1cm，
P、D两点间的距离为y2cm. 小刚根据学习函数的经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究.下面是小刚的探究过 程，请将它补充完整：
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到y1和y2与x的几组对应值： 7/19 x/cm
0 1
2 3
4 5
6 y1/cm 4.00 3.96 m 3.61 3.27 2.77 2.00 y2/cm 0.00 0.99 1.89 2.60 2.98 2.77 0.00 经测量，m的值是___________；(保留一位小数)
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，点(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；
(3)结合函数图象，回答问题：△APC为等腰三角形时，AP的长度约为________cm. 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x²+mx+3与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧).
(1)若抛物线的对称轴是直线x=
1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；
(2)当已知点P(m，2)，Q(-m，2m-1).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围. 8/19 27.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°(0<α<180)，得到线段AD，连接BD，交AC于点
P.
(1)当α=90°时，①依题意补全图形；②求证：PD=2PB；
(2)写出一个α的值，使得PD=3PB成立，并证明. 28.平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形G及图形G外一点
P，若图形G上存在一点
M，满足PM=
2，且使点P绕点M顺时针旋转90°后得到的对应点P’在这个图形G上，则称点P为图形G的“2旋转点”.已知点A(-1，0)，B(-1，2)，C(
2，-2)，D(0，3)，E(2，2)，F(3，0)
(1)①判断：点B_______线段AF的“2旋转点”(填“是”或“不是”)；②点
C，D，E中，是线段AF的“2旋转点”的有____________；
(2)已知直线l：y=x+b，若线段l上存在线段AF的“2旋转点”，求b的取值范围；
(3)⊙T是以点T(t，0)为圆心，2为半径的一个圆，已知在线段AD上存在这个圆的“2旋转点”，直接写出t的 取值范围. 9/19 2020北京昌平初三二模数学 参考答案
一、选择题(共8道小题，每小题2分，共16分) 题号
1 2
3 4
5 6
7 8 答案
B C
B D
D B
B A
二、填空题(共8道小题，每小题2分，共16分) 题号
9 10 11 12 13 14 15 16 答案 x≥-3360°39x=11y
4 10
B ①③④ 8x+y=10y+x−13
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分) 17.计算：12+2-1-2cos30+3-
2. =23+13+(2−3)......................................4分22 =5......................................5分
2 2xx−3①
1 8 . 解不等式组  x +
7 2x−1② 
3 由①式得：x≥-3......................................2分 由②式得：x+7>6x-
3 x-6x>6-3-7-5x>-10x<2......................................4分∴不等式的解集为：-3≤x<2......................................5分19.解：
(1)=b²−4ac=(2m+1)²−41(m2+m) =4m2+4m+1−4m2−4m=10.....................................2分 ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根.....................................3分 10/19
(2)令m=
0，得一元二次方程：x2+x=0.....................................4分 解得一元二次方程的解为：x=0，x=−1.....................................5分
1 2 20.
(1)作图：如图 ....................................2分
(2)(边边边或SSS)....................................3分(三线合一)....................................5分21.解：
(1)∵在平行四边形ABCD中∴AD=BC，AD//BC，又∵DF=BE，∴AF=EC∴四边形AECF为平行四边形....................................1分∵∠AEC=90°∴平行四边形AECF为矩形....................................2分
(2)∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE∵AD//BC∴∠ADE=∠CED∴∠CDE=∠CED∴EC=DC=AB=5....................................3分∴BE=
3 在Rt△ABE中，AE=AB2−BE2=4....................................4分 ∵在矩形AECF中∴∠DAE=90° ∴tan∠ADE=AE=4=1....................................5分AD82 11/19 22.解：
(1)∵PA，PB是⊙O的两条切线∴PA⊥OA，....................................1分∵AC为是⊙O的直径∴∠ABC=90°∴∠ACB+∠BAC=90°又∵∠PAB+∠BAC=90∴∠PAB=∠ACB=∠PBA=70°∴∠APB=40°....................................2分
(2)连接OP，交AB于点
D 在Rt△ABC中， ∴AC=AB2+BC2=10，AO=
5 ∵PA，PB是⊙O的两条切线∴PO平分∠APB....................................3分又∵PA=PB∴BD=AD=
4，PO⊥AB，∴PO//BC∴∠POA=∠ACB....................................4分 ∴cos∠POA=COS∠ACB=BC=3AC5 ∴cos∠POA=AO=3=5PO5PO ∴PO=25....................................5分3 23.解：
(1)①∵点B(-
2，-1)在双曲线y=m上x 12/19 ∴m=
2 ∵点A(1，n)在双曲线y=2上x ∴n=
2，点A坐标为(1，2).......................................2分②∵点A(1，2)和点B(-
2，-1)在直线l：y=kx+b上 −1=−2k+b ∴ ...................................3分 2=k+b k=1解得： b=
1 ∴直线l的表达式为：y=x+1....................................4分
(2)△ABC的面积等于
6，且点C在x轴上∴点C坐标为(3，0)或(-5，0).......................................6分 24.解：
(1)如图： ....................................2分
(2)中位数是83.5....................................4分 13/19
(3)估计获得优秀的有88人....................................6分25.(1)m=3.8....................................2分
(2)(3)3.46或4.0cm.......................................6分 ...................................4分 26.解：
(1)∵抛物线的对称轴为：x=−b=−m=12a2(−1) ∴m=
2 ∴抛物线为：y=−x2+2x+
3 将y=0代入，得0=−x2+2x+
3 解得：x=−1，x=
3，
1 2 ∴点A坐标为(-1，0)，点B坐标为(3，0)，.......................................2分 图象如图： (2)m≤-2或m≥
1 将x=m代入y=−x2+mx+
3，得y=
3 .......................................3分 14/19 ∴抛物线过定点C(m，3)........................................4分∵点P(m，2)∴点P在点C下方 将x=-m代入y=−x2+mx+
3，得y=−2m2+
3，则D(−m，−2m2+3) ∴点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PO恰有一个公共点 ∴2m−1−2m2+3整理得m2+m−2
0 (m+2)(m-1)≥0结合函数图象，可得m≤-2或m≥1..........................................6分27.解：
(1)①如图...........................................1分 ②∵AC=AD，AB=AC∴AB=AD，∠ABD=∠ADB又∵∠BAC=30°，∠BAD=90° 15/19 ∴△ABD=∠ADB=30°∴AP=BP...........................................2分在Rt△APD中，△ADB=30°∴PD=2AP∴PD=2PB...........................................3分
(2)当α=60(或120°)时，PD=3PB(写对一种情况即得满分)(可以多种解法)......4分 情况Ⅰ：当α=60°时过点D作DF⊥AC，垂足为点F过点B作BE⊥AC，垂足为点
E， ∴DF//BE∴△DFP∽△BEP...........................................5分 ∴DF=PDBEPB 在Rt△ABE中，∠BAC=30°∴AC=2BE在Rt△ADF中，∠CAD=60° ∴AD=23DF..........................................6分
3 又∵AD=AC=AB ∴2BE=23DE，即3BE=DF3 ∴3PB=PD..........................................7分 情况Ⅱ：当α=120°时 16/19 过点D作DF⊥AC，交CA的延长线于点
F，过点B作BE⊥AC，垂足为点
E， ∴DF//BE∴△DFP∽△BEP.........................................5分 ∴DF=PDBEPB 在Rt△ABE中，∠BAC=30°∴AC=2BE在Rt△ADF中，∠FAD=60° ∴AD=23DF........................................6分
3 又∵AD=AC=AB ∴2BE=23DE，即3BE=DF3 ∴3PB=PD........................................7分 28.
(1)①判断：点B是线段AF的“2旋转点”........................................1分②C..........................................2分
(2)如图所示，线段AF的“2旋转点”，位于两条线段上它们的端点坐标分别为(-1，2)，(1，2)，(
1，-2)和(
3，-2)可得b的取值范围是：-5≤b≤-3和1≤b≤3........................................5分 17/19 (3)t的取值范围：−1−10t7............................................7分
3 ⊙T的“2旋转点”，位于半径为10的同心圆上， 如图，当点T位于点A右侧，且“2旋转点”所在圆与AD相切时，切点为
M， cosDAO=DO=MT=
3,∴10=
3,∴AT=10,∴t=
7 DAAT10AT0
3 3 当点T位于点A左侧，且“2旋转点”所在圆经过点A时，t=-1-10 18/19 ∴−1−10t−1或1t73 19/19