量子力学无基础入门
吴金闪
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√|←x⟩+|→x⟩=2|↑z⟩
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通过学习量子力学来理解什么是科学量子世界和经典世界到底哪里不一样不学太多的具体知识，能做深入思考吗？
帮助学会学习和思考思考意愿低的不适合读本书
2021年3月15日
2 目录 第一章课程信息 15 1.1学习本课程的目的和所需要的基础...............15 1.2课程全貌.............................18 1.3为什么不能只靠“讲故事”学懂量子力学...........22 1.4其他学习材料...........................23 1.5量子力学只能被理解到哪里不能被理解.............23 1.6薛定谔的猫............................24 1.7费曼的三个秘密..........................26 1.8关于吴金闪............................28 1.9本章小结.............................29 第二章量子力学初体验和数学准备 31 2.1镜头——量子理论的第一个实验.................31 2.2论什么是科学：为解释实验现象做铺垫.............34 2.3概率论的基础：为解释实验现象做准备.............37 2.4概率论的Dirac符号.......................41 2.4.1Dirac符号和2×2矩阵运算，选读...........44 2.4.2操作和测量........................45 2.5用这套符号来理解随机变量...................50 2.6本章小结.............................55 第三章量子系统的行为 57 3.1窄门实验的现象..........................57 3.2窄门实验的解释..........................60 3.3窄门量子版：三个偏振片的实验.................61
3 4 目录 3.4三偏振片实验的计算与解释...................643.5偏振分束器实验解释.......................683.6光子到底从哪里走的？......................703.7单电子双缝干涉实验.......................703.8自旋的实验............................743.9自旋实验的解释..........................763.10多路自旋实验...........................773.11本章小结.............................81 第四章4.14.24.34.44.54.64.74.8 量子系统的数学模型——量子力学 85 科学家的科学史..........................85 矩阵、算符和本征态，选读...................88 量子理论的数学形式.......................91 量子理论的数学形式用于解释量子实验.............96 Which-Way实验的解释.....................101 概念地图形式的总结.......................106 量子态的演化，选读.......................108 本章小结.............................110 第五章5.15.25.35.45.55.6 拓展：纠缠和测量 113 双自旋系统关联态........................113 量子纠缠态............................115 量子计算.............................121 测量的含义：经典情况......................121 测量的含义：量子情形......................124 Die-hard教授的理论.......................128 第六章6.16.26.3 从本课程学到了什么 131 所学内容总结...........................131 我所期待的你的收获.......................132 最后的结束语...........................135 参考文献 135 名词索引 137 目录
5 人名与常用翻译 139 插图目录 140 举例目录 143
6 目录 献给 心儿、逸儿
7 8 目录 致谢 本书是“读书人”推出的《量子力学无基础入门》课程的讲稿版。
本书内
容上受吴金闪的《二态系统的量子力学》、Feynman的《Feynman物理学讲义》第三卷和Susskind的视频课程《量子力学》很大的影响。
而其中的《二态系统的量子力学》在内容和思想上受到Ballentine的《QuantumMechanics–amoderndevelopment》、喀兴林的《高等量子力学》、裴寿镛的量子力学课程、Affleck的高等量子力学课程非常大的影响。
在这里一并对这些深刻地影响了我对量子力学的理解的老师致谢。
感谢读书人逼我来推出这个面向大众的量子力学课程，感谢学习了本课程的学习者们，感谢本课程的编辑和助教。
感谢我的孩子们，吴逸兮和吴立心，你们给我很多的学习和教学上的启发。
感谢我的夫人冯倩对于我做各种探索的支持。
感谢我的岳母姚书君对孩子们的悉心照顾，使得我有更多的时间来做这些探索并完成本书。
本书的电子版可以从网页“吴金闪的书们”找到。
如果你是实体书的读者，需要输入网址的话，它是：/jinshanw/books。
9 10 目录 前言 帮助更多人学懂量子力学是一个巨大的挑战。
一方面，给物理系的学生开设的通常的量子力学课程需要复变函数、微分方程、原子物理学、光学的知识基础。
另一方面，量子力学的科普呢，基本上跳过了这些数学和物理知识的要求，就会导致对很多概念的理解不到位。
那么，有没有一种讲解量子力学的方法，能够在尽量少的数学物理知识的条件下，帮助学习者理解到位量子力学的概念呢？这就是本书的任务。
刚好，量子力学也是一个非常适合用来当做帮助学习者体会好什么是科学的课程。
通过学习量子力学，可以体会到科学家（至少物理学家）思考哪些问题、如何思考，科学研究追求什么，到底什么样的东西算科学。
甚至，通过量子力学的学习还可以体会到我称为“理解型学习”的学习方法，通过在已知概念的基础上来批判性地建构新的概念的方式，来让自己的认知结构成长。
因此，本书、本课程的目标包含：量子力学的基本概念，尤其是什么是量子现象、什么样的量子理论可以解释这样的量子现象、这个理论和经典物理（量子力学之前的物理，例如Newton力学）理论的最本质的区别到底是什么；从以上这些量子力学的基本概念的学习中，稍作提炼，帮助学习者体会好什么是科学；从这个基本概念的学习、什么是科学的提炼中，帮助学习者学会“理解型学习”。
那么，如何才能做到不太依赖于复变函数、微分方程、原子物理学、光学这些知识，就能大概把量子力学的基本概念，也就是上面那几个问题，学明白呢？其实，Feynman的《Feynman物理学讲义》第三卷、吴金闪的《二态系统的量子力学》和Susskind的视频课程《量子力学》在这方面都做了非常好的探索。
其核心思路就是，先学习量子现象，然后，通过尝试用经典理论来解释量子现象来发现，量子现象的解释需要新的数学结构，最后，基于二维空间的矢量运算、矢量和矩阵的运算的这套叫做“矢量代数”、“密度矩 11 12 目录 阵”的数学来构建量子力学，从而解释量子现象。
量子力学的这样的学习方式，只要求学习者具有二维空间的矢量运算 和矩阵的运算的数学基础。
但是，其实，这条学习量子力学的路，对学习者的思维深度和进行深度思考的态度和习惯的要求是非常之高的。
因此，本书和本课程所选择的这条路，尽管知识基础的要求比较低，但是，也并不适合所有人。
请学习者自己来谨慎选择。
从结构上，见图
1，本书分成几个部分：第一部分，量子系统的行为和这些行为的可能的经典数学模型的尝试；第二部分，线性空间的矢量和算符、Dirac符号，从经典概率论的密度分布函数到Dirac符号形式的密度矩阵；第三部分，量子系统的状态和测量，也就是用第二部分的数学来解释第一部分的行为。
从整体思路上，第一部分是发展量子理论的动机，第二部分是数学物理基础，而第三部分是量子理论的核心。
有线性空间知识基础的读者可以快速略读第二部分。
剩下的纠缠态和量子计算主要用于开阔一下眼界。
整本书，有一个主题贯穿始终，能不能用没有状态叠加原理的数学形式，来描述量子系统的行为，或者说，为什么量子系统的行为需要满足叠加原理的数学形式来描述。
也就是说，你只要牢牢围绕着“状态可相加”来学习和思考，你就能学懂量子力学。
希望读者在学习完了本书之后，第
一，了解量子系统的行为以及行为和满足状态叠加原理的数学形式之间的关系；第
二，思考和建立初步的对物理学（或者说科学）和数学的关系的认识；第
三，如果还能够对基于批判性思维和系联性思考的理解型学习有比较好的体会，就是额外有所得了。
目录 13 图1:本书的体系结构和大多数书不太一样，对于为什么量子系统的理论形式必须是基于矢量叠加原理（也就是“状态可相加”）的量子力学做了很多的讨论。
因此，量子系统的实验行为以及为什么经典理论不能解释这些行为在本书里面也占了很大的篇幅，而理论部分从“密度分布函数”到“密度矩阵”的转变以及转变的原因占了核心的地位。
通过这样的结构，我们希望读者除了了解量子力学是什么之外，还能够思考为什么量子力学会这样并对此形成一定的理解。
注意，我们整个课程都是围绕“状态可相加”的意思，为什么需要“状态和相加”，“状态可相加”了就会怎么样，来展开的。
14 目录 第一章课程信息 注意，我们的科普的目的永远不是给大家介绍科学知识，而是希望大家来欣赏和体验一下什么是科学，也就是科学研究什么对象，问什么样的问题，怎么做这样的研究，科学家大概怎么思考，科学对世界和其他学科甚至对“读者我”来说有什么意义。
因此，本书的这一部分绝对不是废话，而是给大家做好学习具体知识之前的心理、知识和意识的准备，从而是的学习更有目的和更有动力。
如果你仅仅想从本课程中获取一些科学知识，那么，本课程不适合你。
请你选择退课，以及把本书也退货。
1.1学习本课程的目的和所需要的基础 大家好，今天我要给大家讲的是量子力学，而且要做到基本上，你不懂得太多的数学和物理，就能差不多听明白，什么叫听明白呢？就是第一得知道量子力学它所描述的那些对象，它的行为是什么样子的。
然后有了行为之后，我们去看这个行为，大概可以怎么去理解，所谓的理解，一会儿我会告诉你，其实就是你用一套数学去描述它，并且会算，算出来的答案和它的行为一样。
那我需要做到的事情是让你明白现象是什么，用大概什么样的数学能够描述，以及为什么我们不用大家非常熟悉的经典力学，或者说一会儿会告诉你概率论来描述量子力学。
为什么要来讲量子力学这门课呢？直接的原因是因为大家对量子力学误解的程度实在太高了，比如说就有人说量子力学证明，人的意识和自然界的行为，和被观测的对象是直接相关的。
甚至有人说这个东西表示，跟佛学，是比量子力学更加高级的学问。
还有人说随着量子信息技术的发展，想去看一看量子信息技术到底是怎么回事，是如何能够帮助我们更好地，理解这个世界，或者有更好的生活。
如果有这个好奇心，这也是一个学习量子力 15 16 第一章课程信息 学的动机。
但是，实际上最最重要的事情，我想告诉大家的事情是从量子力学里头，我们可以体会到什么是科学，这一点比学任何其他的学科，都能体会得更好，而明白什么是科学，对于任何一个人来说，它真的具有一般的意义，因为科学原则上是解决，所有的能够描述现实，并且能够去改变现实的学问，原则上都应该是科学的事情。
也就是说我想明白这怎么回事，明白之后我想去看看，我能不能试着把它变得更好。
换句话说，所有的事情如果你企图，将来总有一天需要它去指导你的实践，那么原则上这个问题，应该是个科学问题。
当然，在现实当中，很有可能科学没有发展到那个地步，于是很多其实在指导实践的学科，它并没有完全的科学化，或者也是靠猜的、靠蒙的，或者甚至是靠信仰，你仍然可以用它来指导你的生活，指导你的实践，但这只是正说明科学在那个领域里头，它还没有发展到非常好的阶段，不表示它不是科学，原则上所有这样的问题都应该用科学的角度来回答，一会儿我会非常详细地，企图用量子力学突出什么是科学。
什么样的人可以来选这门课呢？我一开始在设计的时候，已经把基本上没有数学和物理的基础放在脑子里，可是实际上你会发现对于理解科学，任何一门科学来说，如果完全没有数学，我们是说不明白的，或者说你会觉得明白，但是你真的仔细去想一下你就发现，它不太容易明白。
所以，我在这里，要求你基本上具有初中的数学水平，初中的数学水平表现在两个方面，一个是你要能往前多想几步，也就是说，比如说在数学做证明题的时候，你能往前做两条辅助线，比如说这是已知的，这是要证明的，你能中间构造三四个步骤，从这儿证明过去，这是对你思维的深度和质量上的要求。
第二个你得知道什么是矢量，那什么是矢量呢？大概你在初中的时候学到过一些，比如说这是这个方向的，那是那个方向的，东南西北的，或者是什么这个斜的方向的，西北方向或者东北方向的，这个叫矢量。
更一般的呢，就是在一个表盘上，那个指针指向任何一个方位，那叫一个平面的矢量，你只需要知道这么多就可以了，在数学知识上。
数学知识需求总结：矢量有方向和大小。
然后最好还是有一点点物理知识，如果物理知识完全没有的话，那么，第一也是知道其实运动是分成矢量的，这样一个概念就可以，然后听说过牛顿第二定律，你甚至都不用会算，听说过的意思就是说，你知道物体的运动是由力造成的，而力作用在物体上呢，会改变物体的速度。
这个力呢，作用在哪个方向上，就会改变哪个方向的速度，知道这么多就可以了。
当然，如 1.1学习本课程的目的和所需要的基础 17 果我学过初中或者高中的力学，我不仅知道这么个概念，我还会算，那更好。
但是，如果你实在不知道物理知识，那这就是最起码的要求。
好，再说一遍，知道力是一个矢量，是分方向的，运动的、速度和位移也是个矢量，也是分方向的。
然后知道牛顿第二定律，任何一个方向上的力的作用，它会改变那个方向上的速度。
物理知识需求总结：知道哪个方向上有力就会改变那个方向的运动的速度。
然后有人说我不仅会这些，我还基本上学过了大学一年级的数学和物理，那就特别好，我就完全不用担心你的数学不够，数学和物理不够，因为在我们这里头真的只会用这么点数学，就是矢量，然后，运动的矢量性、牛顿第二定律。
我也给小学生讲过这门课的重点的部分，就是现象的部分，以及这个现象到底为什么用经典的解释不了，只是不去讲将来可以去解释它的那个描述，数学描述是什么，也就是说跳过最后一部分之后，小学生他也能想明白，甚至我记得有个小学生就问我说，就是我们一会儿会做男人、女人过三道门的实验。
然后有个小学生就说，为什么我们的光子是有这个实验现象的呢？而男人和女人是没有这个实验现象的呢？当然这个问题本身，一会儿我们会看到不是特别好，因为通常来说，科学家不回答这种“为什么它会有这个行为”这种层次上的为什么。
我们一般来说只回答这个行为到底我们怎么去描述它，但是通过这个问题，我知道了这个学生真的是把这个现象，两个现象的区别搞明白了。
然后呢，他只不过是后来问问题的时候呢，他企图去找这个现象为什么会有不同，而不是说描述它们这两套现象不同的数学会有什么不一样，这个不一样是由什么东西造成的。
那什么人不是我们这门课的对象呢？就是如果你真的只是为了学会几个名词，说将来跟人吹牛的时候，有更好的词，那么这不是我们这门课学习的潜在的对象，因为我们这门课的目标是使得你有些事情能想明白，以及明白什么地方想不明白，那这个要求是对你内在的一个驱动，也就是说你真的是为了满足自己的好奇心，对量子的现象感兴趣，或者是说我就特别想通过这个来了解科学家是怎么思考问题的，这些都是很好的目的，基本上我们能够达成。
但是，你要懂得一些词，然后不知道什么含义，就拿去用，这是我们不推荐的用法。
如何才能达成上面的目标呢？我们有几个要学习的具体的东西，通过学习它们，就可以实现自己的目标。
第一个要学习的东西自然就是前面提过的量子的现象，以及描述量子的数学模型，以及为什么这个数学 18 第一章课程信息 模型会长成这德性。
除了这个之外呢，剩下的问题更重要的事情是教会你一种叫做理解型学习的学习方法以及一种叫做批判性思维的思维方式。
什么是理解型学习呢？我先把这个词放在这儿，但是以后讲到具体的知识的时候，你会体会得更好，这个词叫做以学科大图景为目标的，以批判性思维和系联性思考为指导的，以概念地图为技术的理解型学习。
那什么是一个学科的大图景呢？就是明白这个学科是干什么用的，也就是说你要问这个学科典型的研究对象是什么，典型的研究问题是什么，典型的分析方法是什么，典型的思维方式是什么。
这个学科和整个世界以及其他学科的关系是什么，往往你会发现明白这个事情，比明白任何具体的知识要管用很多很多。
当然，当你脑子里没有具体知识和没有具体研究案例的时候，你想明白这个学科大图景也是扯淡，不可能的。
所以，一定要把知识和学科大图景结合，也就是说我们学习任何知识，原则上都不是为了学习那个知识本身，而是学会那个领域的研究者，他在想什么，他怎么想得，然后希望达成的目标是，有一天当我遇到也差不多和那个领域有关的问题的时候，我能把这个时候学会的这些思维方式用来解决那个问题。
至于批判性思维和系联性思考，进一步讲到具体内容的时候再解释。
顺便会讲批判性思维和科学，以及系联性思考和科学有非常深刻的关系。
数学和科学的关系，也会我们在这个课里头有所体现。
也就是说你学习完这门课，我们希望你拥有的事情，最最重要的事情是一副眼镜，这个眼镜能够帮助你去看透这个世界，以及你去戴上这副眼镜，去看透这个世界的好奇和愿望，这是最最重要的事情。
好，下面我们来介绍一下这门课所要学习的具体的知识上的内容。
学习态度和学习目标的总结：为了理解什么是科学，为了学会学习和思考的方法。
1.2课程全貌 第一个是量子系统的行为以及这个行为和经典系统的区别。
然后第二个，为了解释为什么经典系统描述的数学，不能来解释量子的现象，我们把经典系统的数学稍微地复习一下，其实也不叫复习，重新用另外一个方式表达一下，然后用这个方式来看看是不是能解释量子的现象。
当我们发现它们不能解释的时候，那么问下一个问题，到底有了，在经典的系统的数学形式上，加上什么东西就可以解释了，那个加上的东西到底是什么，我们也会解 1.2课程全貌 19 释这个加上的东西叫叠加原理，就是状态可以直接加起来这样一件事情。
当然，你现在不用明白，大概这就是我们这个主要的目标。
然后再往下，你一旦明白加上大概什么东西之后，下面的事情就是，好吧，我来试试把这个东西真的加到原来的数学里头，是不是真的可以解释这个现象了呢？这是课程的第二部分要解决的事情。
我们的重点是放在前一个部分，对于绝大多数的听众来说，我们只要完成前一个部分就可以了，也就是知道量子的现象以及为什么经典的数学模型不能来描述量子的现象。
但是，对于其中少数的这些听众，他有能力或者有这个意愿去搞清楚，到底这个态叠加原理是数学上长什么样，为什么加上之后就可以解释量子的现象，这是第二部分要完成的内容。
一旦完成第二部分内容之后，我们就可以继续来看一看，比如说类似于量子信息、量子计算，这里我取的一个例子叫做量子态的远程传输当例子，来看一看这些新加进去的数学是怎么帮助我们发现量子力学它奇特的地方，甚至在具体的场景当中，如何让这个奇特的地方发挥与众不同的作用。
这张图是前面所说的主要内容的另外一种呈现方式，叫概念地图。
就是你把各个重要的概念以及它们之间的关系画出来，在这里我们会发现，最主要的事情就是量子的现象以及量子的理论，以及为什么这个现象会需要这么一个量子的理论，下面会写下来告诉你说，有哪些量子的现象呢？实验
一、实验
二、实验三等等等等，以后我们会沿着这个具体实验展开。
接着我们会告诉你，说这个实验现象到底在什么地方不能由经典的解释，那么这个解释在量子的里头会成为什么样，从中间你可以看到一个非常关键的词叫做相干叠加，或者说状态可加性。
关于这个状态可加性，稍微提前先解释一下，通常的加法加的是什么，所谓的状态可加性加的是什么。
比如说我们可能一开始学数学的时候知道，通常的加法有苹果数量的加法、铅笔的数量的加法，这样的加法它加的是什么呢？其实它加的是事物的某种属性的量，它不是加的是事物本身。
比如说，当我们把一个苹果加上另外一个苹果的时候，我们知道它是两个苹果。
一个铅笔加另外一个铅笔，等于两个铅笔，这个时候我们其实是把所有的具体对象忘了，把它抽象成数，以后再做的加法。
如果你懂得一点点集合论，你就知道原来带着东西的叫苹果的集合，然后，另外的叫铅笔的集合。
现在呢，你不直接对集合里的元素做加减乘除，你加减的是什么呢？你加减的是那个集合的大小，所以一个苹果加一个苹果的时候，那个集合的大小变大了，所以叫两个苹果的集合。
20 第一章课程信息 如果我真的想要一个状态的加法，事物本身的加法，我该加成什么样呢？就是有个苹果，加个苹果，它等于一个大苹果或者等于一个小苹果，或者按量子力学的说法，以后你在实验当中会看到它等于一个香蕉，这叫事物的加法，叫状态的加法。
或者说如果我站在这儿，站在这儿，我把这两个状态加起来，我该是什么状态呢，你说我是不是用一下我初中所学的这个矢量的加法可以加，好，你可以凑合着试试，那也就说我以某个地方为原点，然后我把这个状态写一个矢量，我把这个状态写另外一个矢量，我把这两个矢量加起来，我有可能在那儿。
你想想在现实当中，你见过你站在这儿和站在这儿合起来的效果，相当于站在那儿这件事情吗？这是不可能的。
所以，通常的矢量加法也不是矢量状态本身的加法，位置本身的加法，而是位置所代表的那个值，是用来指代位置的那个矢量的值的加法。
还有一个稍微更复杂一点的加法叫做概率性的加法，回到我刚才说的站在这儿和站在那儿的例子，也就是说我既可能站在这儿，也可能站在那儿。
同样的道理，你发现它和我站在遥远的那个地方完全不是一回事。
所以，就算是概率的加法，它也是两个数量的加法，只不过它不是把这两个数量加起来，而是把这两个数量背后所指代的那个概率的值加起来，也就是说，如果我以0.1的概率在这儿，以0.2的概率在这儿，你问我，我以零点几的概率在这儿或者在那儿，这个时候你是先把那个集合里的元素合起来，然后把每个元素的概率加起来。
也就是说你永远不对这个集合里的元素真正做加法，要么是对这个元素的某种属性的值做加法，要么是对这个元素上出现的概率做加法。
这个叫概率相加，或者是数量相加，也就是说通常的加法它不是状态的加法，不是事物的加法。
以后我们会遇到事物的加法，例子就是一个苹果加一个苹果等于一个香蕉，你现在想想会说这是不可能的，对吧？那我们以后会遇到，什么样的情况会使得你的世界，变成苹果和苹果加起来得变成香蕉，两个苹果加起来啪地一摁，它真的成了一个大苹果或者成了一个香蕉，这个加法是最最关键的事情。
从这个角度来说，整个课程的目的就是帮助你看到这一点——量子系统的行为导致其数学描述必须允许事物的加法。
注意，这张课程鸟瞰图是有网络的版本的，在这个PPT里头，同样这个PPT也在网络上，我会把网络上的访问的网址发给大家，分享给大家，而且这个图是可以点击的，你看见里头有很多小小的符号，比如说一个图的符号，一个概念地图的符号，你点进去可以进一步展开，例如在这里就有什么是科学，你点进去就会进一步给你解释什么是科学。
也就是说这张图，其 1.2课程全貌 21 实完整地组织了我要讲的所有的内容，和整个这个PPT是完全等价的，一模一样的，甚至从某些信息的角度来说，这张图可以更好地使得你建立起知识之间的联系。
顺便，这个就是系联性思考，也就是说当你学习任何一个东西的时候，你永远是把它找到它最合适的位置，什么叫最合适的位置呢？就是从概念上来说，跟它联系最紧密的其他的概念，然后像拼图一样，把它插到那个最合适的位置去。
上面的所有的具体的知识的内容，我说了对听众有很高的要求，对不同的人可能有不同的效果，哪部分到底适合什么样水平的人来学习呢？第一部分，量子的现象的部分是真的不需要任何基础的，只要你的思维的深度稍微的深一点，能够跟着我一起想下去。
第二部分经典理论的数学形式，你大概需要懂得概率是怎么回事，懂得概率的均值是怎么算得，比如说举个例子，如果一个硬币它的状态是正面和反面两个状态，然后这个硬币是完全无偏的，你得大概明白差不多它以21的几率会出现正面，以12的几率会出现反面，这个明白就可以了。
接着还要明白什么呢？就是我如果说去参加一个以硬币为基础的赌博，我说如果它出现正面，你赢一块钱，否则你输一块钱，那么这个时候你可以把那个均值算出来，这个均值就是12乘上1加上21乘上−
1，它等于
0。
或者说如果那个−1我改成−100，那就是21乘上1加上12乘上−100等于多少多少，你只要会算概率以及概率的均值，这么简单的数学就可以了。
一般情况下，小学基本上就是明白的，为了保险起见，你有初中的知识的基础那就更好。
然后，如果你从这点关于概率的知识开始企图去描述量子，我会启发你说，这里头缺个什么东西。
你领会到大概缺什么样的一项，那也不需要有太多的基础。
需要基础的事情是真的那个缺的东西，也就是我们前面提的状态相加。
你把那个缺的东西真的把它用数学表示出来，并且用来解释这个现象，这部分要求比较高，大概需要你高中阶段的数学、物理的知识，或者说如果你是初中的话，那你的数学、物理都学得比较好才行。
然后我们会用前面学过的这些理论以及现象，来试着解释一下量子信息，比如说我举的远程传输的例子，这个时候就稍微地复杂一点，你必须把前面的这些都学会，才能听得明白，为什么量子的状态相加可以用来帮助你实现状态的远程传输，这是比较难的地方。
22 第一章课程信息 1.3为什么不能只靠“讲故事”学懂量子力学 一个解决这个难题的方法是你本来就有大学一年级的数学、物理水平，那完全没有问题。
那另外一个方法就是你真的把我前面所讲的这些都学会了，也就是说不管你是小学，还是初中的水平，你把前面的这部分都跟下来了，这也会没有问题。
为什么一定要坚持这种数学和科学的讲法，而不是给你讲故事就可以呢？原因是因为量子力学真的理解它非常非常地困难，一会儿我会给你展示几个量子力学它本身的创造者说的关于量子力学的理解的说法，所以一旦不用数学，我说话就得非常地小心翼翼，我说的任何一句话，你都可能做多重的解释，而其中大概只有一种解释才真的是我所指的意思，所以没有办法，我只有用明确的符号体系去代替它，而不用自然语言来表达量子力学是什么。
当然你说我学完了，可能我也就知道了量子现象是什么，大概模模糊糊地知道了它不能用经典的数学来解释，后面的完全听不懂，那也没关系，你需要一种能力，这种能力叫做你把具体的我讨论的知识和问题忘了，但是抓住“我为什么要来讨论这些问题”，“为什么要企图这么做”，也就是说整体的思路如果你能把握，当然我说了这很难，因为一旦你不懂具体知识的时候，整体思路真的是件难的事情，可是也不是做不到。
那么这个时候，你也有一个收获，这个收获是至少明白了物理学家是在做什么事情，怎么想得，那这个也是有意义的。
这样的课程和一般的量子力学有什么不一样呢？一般的量子力学呢，要么就是用纯语言的给你讲故事，这个时候我说了，这个产生错误理解的可能性非常非常高。
还有一种是正式的物理系的量子力学课，他们是怎么上的呢？它会告诉你，上来就告诉你波函数是什么，然后波函数和概率怎么建立起联系，接着告诉你这个波函数是怎么演化的，它的演化方程叫做薛定谔方程，如果有机会我们也会提到。
然后，你学了这个演化方程，又学了波函数之后，下面你干什么呢？给你一堆问题，这堆问题呢，你就去求解，薛定谔方程把那演化的波函数的初态给了以后，把末态求出来，然后去做测量，整个学会的是这样一套东西。
学会这样一套东西以后，因为它是非常直接和正面的学习，而不是去构造一个逻辑的链条，让你明白为什么非得这样，所以呢，你能学得会，来一个量子力学的问题我就会算，可是我想不通这个理论到底告诉了我什么，这个理论到底为什么长成这样，为什么我不换一个以前我就知道的理论来解释。
所以，我们的目标是不一样的。
当然，如果说是真正的一门好的量子力学课，它应该这两个问题都解决，既教你薛定谔方程和将来怎么算，能够用它来解 1.4其他学习材料 23 决物理学本身学科的现象的描述的问题，还能让你明白这个理论为什么得长成这个样子，每一个计算都告诉了我们什么事情，这个理论有哪些地方是想得明白的，毫无问题的，有哪些地方是真的想不明白的，而且是可以想不明白的。
1.4其他学习材料 除了听这门课之外，如果你想进一步的学习，或者有些你认为没有太讲明白的，想需要更详细的，如何把它自己想明白的，关于这门课的内容，有其他的学习材料，我推荐一下。
第一个是我自己写的书叫《二态系统的量子力学》[?
]，第二个是《Feynman物理学讲义》第三卷[?
]，这两个都是非常推荐的材料。
然后，关于学习方法，你也可以看一本我写的另外一本书叫《教得更少，学得更多》[?
]。
除了这门课之外，或者说这门课一定程度上，其实偶然地非常和另外一门课很像很像，“偶然地”是因为在我设计这门课之前，我并没有真的去仔细琢磨人家那门课，但是后来我设计完课程之后，我才发现其实在整个精神上和内容上都有非常非常相似的地方，那门课叫Susskind《量子力学》公开课[?
]，这个你可以在网上找到，也非常的推荐，不过那门课是英文的。
所以，从这个角度来说，我所讲的这门课只不过是使得那个英文的课能够让你更加容易地听懂而已。
当然，你也会发现真正的，尽管知识的内容一样，但是为什么而教它，以及侧重点，以及对问题细致的解释还是有很多不一样的地方的。
这门课有一个简化的版本，其实也不叫简化，就是针对大学三年级以上的数学和物理水平的人讲的版本，叫《系统科学导引》[]，里头专门有一节是关于量子力学的。
然后，其他的学习材料，在需要它的时候，我会进一步提供。
1.5量子力学只能被理解到哪里不能被理解 我们前面说了量子力学是一个连它的创造者都不觉得它是能理解的东西，那说这些话的人有几个呢？比如说据谣传，但是我确实在某书上见过这个说法，Schrödinger快去世的时候，他说他这辈子最后悔的事情就是创造了量子力学。
Schrödinger是方程的创造者，整个量子力学的缔造者之
一。
还有人拿着这个问题去问Feynman，Feynman说如果大家说，有一个说法叫做 24 第一章课程信息 相对论没几个人搞得懂，然后，当年另外一个科学家，大概是还是谁说，全世界能够搞懂相对论的人就是两个半，他说他自己算半个。
Feynman就拿这个例子来做对比，他说如果说相对论是两个半搞懂的话，那么在他发表出来之后，后来就有12个或者更多的人搞懂了，当然也不是特别多。
但是，你把这个问题问量子力学，他说他不相信有任何一个人是搞懂了量子力学。
量子力学的另外一个缔造者是怎么说的呢？他说“如果你没有被量子力学痛苦（震惊）过，那么你就是完全没有明白量子力学”
1。
我的量子力学的启蒙老师name:裴寿镛是怎么说的呢？他说“不学量子力学，你的人生是不完整的”。
然后，我这门课的副标题就是这个，就是“给你一门量子力学，让你的人生更完整”。
所以，我们下面要做的事情就是让你跟我们一起痛苦，一起面对特别困难的问题。
然后希望我们讲完之后，能够解决你的一部分痛苦，然后承认另外一部分继续可以痛苦下去，这就是这门课的目标。
那这样的学习方式和通常我教你一堆知识真的是不一样的，我管它叫体验式、创造式、启发式的学习，也就是说你会跟我一样，一起来学着当年的这堆创造者们，一起来面对量子力学的问题，一起来问这个现象到底是什么，为什么这么奇怪，我到底怎么描述。
这件事情非常地不容易，我们看看效果。
1.6薛定谔的猫 在讲真正的量子力学知识之前，我把所有的量子力学是什么，给你用一个特别简短的例子先告诉你。
最著名的例子就是一会儿我要讲的光过玻璃的例子，还有你可能听说过的薛定谔的猫的例子。
这个简短的例子我们先讲，完了之后，我们会花一段时间来学习一下最基础的数学，接着再回到更多的量子的现象，为什么它们是不能解释的，因为这时候有了基础的数学之后，你能更深刻地体会到为什么不能解释，最后我们再来说真正解释它的理论大概长什么样，然后，最后的最后我们会说我们已经有了这个数学描述了，我们来看一看类似于量子状态远程传输这种量子信息，和量子计算的现象是怎么理解。
薛定谔的猫，它对比的对象是硬币，一个硬币它有正反两个状态，那么就算你把这个硬币变成一个很多很多面的，甚至变成连续的状态，也就是比如说你把十个硬币捆在一起，那么这时候它的面就有可能是第一个向上，第二个向下，第三个向上，第四个向下等等这种组合。
它只不过是一个具有更 1”Anyonewhoisnotshockedbyquantumtheoryhasnotunderstoodit 1.6薛定谔的猫 25 多的状态的一个分布函数，也就是每个这个状态上它都会有一个概率，那么就算是连续的呢，比如说一个x，这个x从−1到1都是可以连续取值的，那么它将来呢，只是在每个x值的情况下，有一个小小的概率，其实概率不是一个准确的词，有一个小小的概率密度，但是无所谓，你就先把它按照概率去理解。
那么，这样的东西有个什么特征呢？这个特征就是不管它概率长什么样，我如果对它做一次观测，我只能得到一个确定的值，也就是说，比如说现在有两个硬币，两个硬币它的状态我不知道，但是我只要打开盒子一看，我知道这两个硬币必然是，比如说两个都向上，或者两个都向下，或者这个向上，这个向下，或者这个向上，这个向下，反正这四个状态之
一。
那这件事情本身呢，如果你仔细想的话，其实还挺奇怪的。
因为一开始这两个硬币，我们不知道它是什么状态，打开之后呢，它就成了一个确定的状态，尽管那个确定到底确定到谁身上，那四个里头哪一个，我不知道，可是它肯定是一个确定的状态，一会儿我们再来说这件事情到底是怎么理解的，先把这个放在这儿。
薛定谔的猫是什么东西呢？它是说类似的，你把猫呢，连着一个会发生量子衰变的一个仪器，只要它衰变了呢，那个猫就死了，它就会放出毒素，如果不衰变，那个猫就是活的。
现在问，如果你打开会发生什么呢？那个猫要么就是死的，要么就是活的，这不神奇，对吧？你可以把这个猫看成一个硬币，也就是说如果这样来看的话，你完全可以用硬币来描述薛定谔的猫。
但是，神奇的事情是什么呢？你接着逼问自己说，在你打开之前，那个猫处于什么状态？如果它真的是个猫，它肯定是跟硬币是一样的，于是你就问自己，一个硬币放在这儿，它可能正面，可能反面，在你打开那个盒子之前，你觉得那个硬币是个什么状态？那个硬币肯定在那之前，它就已经是要么正面，要么反面的状态了，这就是硬币。
也就是说你扔一个硬币，再把它盖住，在你打开你的手之前，那个硬币的状态已经确定了。
这样的解释，这样的关于随机现象的理论叫随机现象的确定性的解释。
为什么会出现随机呢？是因为我们信息不够，就是说我们抛这个硬币，并且盖住的这个过程，有太多的信息，你的脑袋是抓不住的，但是原则上它是确定的，因为如果它是个万能的上帝，它是知道所有的风的情况，引力的情况，以及你手盖过去的那个角度，它的状态到底正面、还是反面向上是完全确定的，你只要按照这个理解，那么打开看这件事情呢，它不做任何行为，因为在你打开之前，它已经被确定了它是向上或者向下的。
这个确定性，加上信息不完整的解释，是你觉得最舒服的关于经典现象的解释。
那么我们想 26 第一章课程信息 想是不是将来那个连着一个衰减的量子，衰减的仪器的那个猫是不是也可以这么解释呢？如果可以，那就没什么可奇怪的。
所以，在我真的介绍数学之前，我已经把所有的量子力学告诉你了，告诉你的事情就是说，如果它将来所有的对象都像硬币一样的话，那么丝毫没有任何问题。
我们下面要告诉你的事情就是，哪些现象它长得不像这个硬币这样，不像硬币这样，我们又可以怎么解释，是不是稍微拓广一下经典的数学模型，换一个解释，我就可以来描述量子呢？还是说我整个数学都得变？我下面要给你们讲的具体知识，只不过就是我这里给你们介绍的什么是量子力学的具体例子的展开。
1.7费曼的三个秘密 好那下面所有的信息都是告诉你，到底哪些现象会看起来超过一个硬币所能描述的范围，而硬币呢是非常舒服的，确定性的现象加上信息不完整导致的。
除了具体的知识，我们再来说一下学习量子力学更加一般的意义，我这里分享Feynman所说的三个事情，第一个事情叫做，Feynman自己管它叫学习物理的小秘密，他说物理学得越高，就越“Advanced”，就叫高好了，那么它其实就越简单。
什么意思呢？就是说你在比较基础的物理学习的时候，你会发现物理太复杂了，有很多很多的数学公式，有很多很多的概念。
但是，你越往上学，你会发现它的概念越来越少，它的数学公式越来越少。
那当然现在还没有实现整个一个公式就解释所有的物理，但这是我们的梦想，就一个公式，一个概念包含所有其他的东西。
没准有一天会实现，已经非常接近了，就剩下引力了。
那么，另外两个Feynman分享的学习的技巧是什么呢？第一个，他说对于学习知识来说，你千万不要满足于知道那个东西的名字，而是得知道那个东西它本身是什么，而本身是什么要从这个东西和其他东西的关系里面得来（后面关于关系的半句是我补充的）。
当年，这个故事，在他自己的书里是这么分享的。
他说有一个小孩儿给了他一只鸟的图，就问他这个鸟是什么鸟。
然后Feynman说我不知道，那个小孩说：哇，你爸爸怎么什么也没教你，然后Feynman就说其实我知道名字，但是我拒绝回答这个问题。
我的爸爸是怎么告诉我的呢？我爸爸告诉我说这个鸟在英语，比如说叫什么什么，在日语叫哇卡哇卡，在中文叫什么莫沙莫沙，等等一堆名字。
他说，现在就算这些名字你都知道了，你知道这个鸟的什么吗，你还是什么都不知道。
如果你真的想知道这个鸟，你怎么办？你去看看那个鸟它在做什么，它吃的是什么，它跟什么样其他的鸟是竞争关系，它跟什么 1.7费曼的三个秘密 27 样的鸟是朋友关系，它跟什么样的鸟又比较像，这时候你就把这个鸟定位在整个生态当中，又明白它和自然的关系，这个就是知道一个东西的名字和知道一个东西是不一样的。
同样的，我也想分享一个我小时候的故事，我小时候就特别不懂事，老是说真话。
其实，现在也是。
有一天，有一个妈妈抱着她家小孩，抱过来说我家小孩能算1加1等于2了，特别自豪，我们就起哄说演示一下呗。
妈妈是这么演示的，某某某1加1等于几啊，那小孩说
2，特别自豪。
妈妈就这样转一圈，特别自豪，准备出去了。
然后我那时候特别不懂事，就站起来说，我说某某某“1”是啥意思，“加”是啥意思，“2”是啥意思，“等于”是啥意思。
然后那小孩挂了，因为那小孩大概我记得是两岁左右，确实是那时候能算1加
1，真的能算的话，还是很厉害的。
但是，你会发现他是怎么学会1加1的？他学会的办法是，有人问他1加1等于几，他如果答了不是
2，啪打一下，答得是
2，给一块糖。
这不是练小狗的方法吗？练着练着你就学会了。
其实你仔细想“1”这个概念本身就不容易，它不是具体的数量的
1，而是指描述之于各种各样的东西，它都可以有一个单位
1。
“2”是什么呢？两个在这种单位下的东西，比如说两双袜子。
这是一个神奇的事情，两双袜子实际上是四只，但我们为什么叫两双，因为我们改变了单位。
所以，数数这个事情本身就是一个，1和2这两个数数的东西，本身就是一个非常深刻的东西。
然后，“加”更加不知道什么含义了，“加”是把同样性质的东西合起来数一数，你只有明白之后，你就发现加法很简单，还是数数，因为同样性质的东西合起来数一数。
接着那个“等于”是什么更复杂，你想如果你真的认为等于就是相等，我这么答，一加一等于几？等于一加
一，这有啥错？所以，“等于”它其实还不是含义完全相同的意思，而是说含义要一样，但是呢，通常的结果要表示起来更简单，这叫等于。
哇，你让一个两岁的小孩明白这个，你觉得能吗？我觉得我去教都不一定教得会，所以抱着一个孩子说，我知道1加1等于
2，那个就（像）是，跟那个有一匹马说，它会算加减乘除，对吧。
那个故事就是讲它踢呀踢呀踢，它每踢一次就会等着大家爆出来的掌声，只要它听见掌声了，它就不再继续踢了。
狗和马都是这么练出来的。
Feynman分享的第二个学习方法，也就是Feynman分享第三点，是什么呢？他说用你自己的话举个例子说一说，这个我就不展开了，这也是非常非常重要的学习方法。
我说这些是为了告诉你什么呢？就说你学习量子力学这个东西来说，它 28 第一章课程信息 真的非常具有一般的意义，你在学它之前，可能没想到这个“加”是这么深刻的一种东西。
而只有学了它之后，你才会明白通常的加法和状态的加法真的是不一样的，然后你才会明白人类对于“科学到底是什么?
”的这个底线到底在哪里，科学真的不是直接就告诉你这个东西是怎么回事，怎么样的，而是找到一个能够描述这个现象，算出来的结果和实验一样的一个数学模型，以及构建出来这样的一个模型的方法，也就是科学研究方法。
而且，我们没有必要使得我们的模型描述的东西和你看见的东西真的是一模一样的东西，这个问题我们拒绝回答，我们只回答是不是你按照模型算出来的结果，和将来我做个实验的结果就是一样的。
而这些底线上的挑战，你真的只有遇到像量子力学，这种你想起来就头疼，就不可能理解，很难很难理解的那些这样的问题，你才会意识到原来你对这个世界的绝大多数的认识，你大多数的学习方法和别人教你的东西，都是需要仔细地通过理性去重新批判，重新审视的。
所以，不管是哲学家、教育家，还是科学家，还是数学家，都是非常非常有必要来学一下量子力学是什么的。
1.8关于吴金闪 介绍完整个课程之后，稍微地来介绍一下我自己。
我自己是物理学的背景，理论物理学，就是那个最没用的学问的那个学科。
由于学习理论物理学，就一不小心学了很多很多次的量子力学，比如说在北京师范大学学过两次，在一个叫SFU的大学学过一次，在UBC的时候学过三次。
其中UBC的三次中两次是物理学家教的，一次是数学家教的。
场论忽略不计，纯粹量子力学这么多。
那场论学过几门呢？大概学过三门、四门，所以我可能是迄今为止学量子力学次数最多的人。
然后，有了这个不同的被教的经历，再加上我自己做一点关于量子力学的研究——忘了说我到底做什么的，量子输运、量子力学、博弈论、系统科学、科学学、教和学的研究等各种感兴趣的问题——有了这个不同的学科的研究的背景，再加上被教了很多很多次量子力学，我就更加地深刻地能体会到如果作为一个一般的人，也就是说不是一个专业为了研究量子的人，如果想来了解一下量子力学，他到底最关键的是什么，所以这门课就是按照我自己的成长的经历，研究工作的经历，然后重新地梳理出来的结果。
更多的关于我自己，再跟大家分享几句话，这个叫“LivetoMakeADifference”，就是活着就是为了使得，就是为了做出点不一样。
第二个叫 1.9本章小结 29 “BeAmbitious，BeDetermined”，就是要有野心，而且要坚持去做，向着你认定的目标去做。
第三个叫“WorldSpinsonDreamersLikeYou”，世界是因为你而转的，没有你它肯定没有转得像现在这么漂亮。
“SeeThroughConnections”，你要穿过这个联系，把事情看透彻。
“TeachLess,LearnMore”，教的更少，学得更多。
那到底教得更少，怎么可能会学得更多呢？就是因为我们前面提到的理解型学习，也就是说我们不是为了学知识，学知识是为了体验到这个学科是研究什么的，大家是怎么想的。
而学完这个之后，你自己再来学习其他东西，你就很容易地去拓展你的知识。
“LearningforUnderstandingTheWorldandOurselves”，就是学习是为了理解这个世界和发现你自己，学习真的不是为了使得我将来去找一份好的工作。
当然，如果它是我学习的副产品，那也是可以的。
顺便有另外一个，好像是加州理工CIT的一个开学典礼上的说法，一个教授说的，他说学习就是给你一个欺骗自己的理由。
你觉得好像自己找到了人生目标一样，这就是学习最重要的目标，发现自己最善于干这件事情，最喜欢干这件事情，觉得我的生活有了目标，于是日常生活当中那种什么六点要起床，要开两个小时的车，每天回去还要做饭，还要接孩子等等所有的，还要被老板批，对吧？所有的这些东西全成了微不足道的事情，因为你有了足够欺骗自己的理由，说我真的是为了我喜欢的事情而在奋斗。
最后一个叫做“不要教我事实，让我想一想，不要教我知识，让我自己去学习”。
这个事情更多的是对教育者的忠告。
这是真的，这个信息和知识爆炸的时代，我们是不可能把所有的知识教得完的，那我们需要教会孩子们的是什么呢？真的是去探索，去学习，去思考的方法。
你记住这么多事实，是没有用的，所以我下面要给你讲的所有的量子的实验，都不是希望你记住量子实验的事实，而是用来体会为什么经典的不能解释这些实验。
另外，关于这个怎么教和怎么学的问题，如果你有兴趣，你可以关注一下一个叫“为理解而教和学”的公众号。
1.9本章小结 这一章主要介绍了课程的内容，课程的目的，课程建设背后的理念，课程学习要求，从课程可以学到什么，以及课程主讲人的一些信息。
我们特别强调了从学习量子力学的过程中，体会到什么是科学，什么是数学，以及体会到理解型学习的学习方法。
再次请我们的读者谨慎选择，本 30 第一章课程信息 课程对你的思维深度要求高，学习态度要求高，不一定适合你。
当然，如果你决定留下来试试这个挑战，我们非常欢迎，也祝愿你真的从中学到东西。
第二章量子力学初体验和数学准 备 我们终于到了真的开始讲量子力学的具体知识的时候了。
然后，通过大纲，你会发现，当然实际讲的肯定不可能跟设计的大纲的时间一样，但是你会发现我们会把主要的精力就放在下面所要讲的这四五个不同的实验上。
好，我们来讲量子力学的第一个实验。
2.1镜头——量子理论的第一个实验 第一个实验呢，需要你回去看一下你家的照相机的镜头,或者你的手机的镜头，现在大部分手机的镜头也是镀膜的，所以你能看得出来，它们是带颜色的。
那为什么要给照相机的镜头镀上颜色呢？你想如果是个照相机，它肯定希望光进入的越多越好，当然有的时候，你想把某些光过滤掉，把另外一些光放进来越多越好呢，它会再加上个滤镜，或者镀一层特殊的膜，反正它的基本的方法就是加更多层的膜。
这事不对啊，为什么？你想让更多的光进来，然后你的方法是给它镀一层膜，实在不行，再镀一层膜，现在大部分复杂的镜头都是镀了很多很多层膜的，这真不对呀，为什么？因为每镀一层膜，它就增加了一个光的反射界面，这个是光的反射的时候就学过的，如果你还有印象，就知道是有一个东西叫反射率和透射率的，也就是说每镀一层膜，它透过去的光会更少，你如果没学过这个知识，你就设想一下，你家有一个什么筛东西的筛子，然后你说我给它加更多层的筛子，然后还希望它通过的沙子越来越多，这是不可能的事情。
你每加一层这种过滤的装置，它总是要过滤掉一些东西，然后让透过去的东西更少。
那这是怎么回事呢？画出来图就是这个，这个图就是一个玻璃，上面有一个入射光，这有一个反射光，然后这个入射光，它会继续到 31 32 第二章量子力学初体验和数学准备 达玻璃的下一层，接着再一次发生反射，最后透过两层反射界面的那个光呢，才是透射过这个玻璃的光。
那实验上做出来，取决于这个玻璃的厚度，这个玻璃就是相当于我们现在的透射膜，取决于这个玻璃的厚度，它可以使得这个光以完全通过的形态，或者以最大反射的形态，最大反射的形态，假设比如说举个例子，假设我们每一层是4%是要被反射走的，那么它最大被反射走的状态，它可以做到16%，就说0%和16%的反射光都是可以的。
也就是说一层的时候，它是4%，两层的时候可以做到0%，这怎么可能呢？你按照这个筛子的经典模型想想，第一次过去，假设你来的是十个小球，第一次过去或者一百个小球，一百个小球过来了，其中平均来说4个要被反弹走，好了，跑走了，已经离开这个实验了，对吧？ 然后接着呢，这些96个下来的呢，它要经过第二个界面的，第二个界面平均来说又是4%，那约等于它还是
4，因为96乘以4%，还大约是
4。
好，也就是说大概来说一层4%的话，两层应该被弹走的是8%，也就穿过它的大概是92%。
我这个计算没有任何问题吧？说我家有个过滤器或者有个水坝或者有个什么东西，每一层我赶走的是4%，我问你两层赶走了多少？废话，那肯定是100%乘以4%，然后100%再减去这个100%乘以4%，然后我再拿它乘以4%，每一层都这么衰减下去。
完了，那越加更多的层，它透过的越少啊，怎么可能反射的是0呢？那这个实验真的是做出来的，它真的可以做到
0。
一个做到0的可能可以怎么解释呢？它说大概是这么解释的，这个解释来自于经典光学，它说第一个透过去，一束光波照过来，照到这个平面上，它就分成两束，这儿弹走一束，这儿射下来一束，这个弹走的强度也是4%，射下来这束，它会在另外一个表面上再发生一次弹过来，那么大约也是4%。
然后呢，它说这个出来的4%呢，它会经过上一个界面的时候呢，又发生这个透射和反射，那么忽略这个4%乘以96%，也认为它还是4%，其实已经略小于4%了，但是忽略这一点，那么也认为4%的话，也就是说我有两个光啊，都是沿这个方向的，一个是直接被弹走的，一个是出来之后再被弹走的。
然后它说呢，你看你不是有一团这样的光过来吗？所以你在你的光路上，在这个点上，有一些是直接弹走的，有一些是从下面来弹走的，于是在这个点上，这两束光有可能会被相消，那光为什么会相消呢？它这个经典力学是这么说的，它说光不过就是一个波嘛，如果一个波峰这种形状，碰到一个这种形状的波谷的时候呢，你把它们俩一叠起来，它就是平的，所以叫相消。
所以，为什么能够消呢？背后是牛顿力学。
也就是说你如果拽一根绳子，拽的效果是你抖动绳子的效果是在这点上这么个形状，我抖 2.1镜头——量子理论的第一个实验 33 动绳子的效果是这么个形状，那么绳子最后表现出来的就是一个平的，这叫波的相消。
好了，这就解释了，经典光波就解释了，为什么两层它反而增加了透射率。
简短地说就是第一次被反射走的，它在这个点上有，然后同样的第二次被反射走的又透出来的，也会在这个点上有，因为它是一大束光波过来。
然后这两个，因为它在同一个点上，它就消掉了，那消掉的能量要守恒，能量上哪去了呢？它说全被透过去了，好了，就这个解释。
这个解释看起来还不错，实际上我们在大学三年级之前，学的所有的解释都是这么解释的，后来有一天到了大学三年级学到量子力学，发现这个解释是胡扯呀，它怎么是胡扯呢？它说这样，我们现在这个仪器已经到达了非常高的地步，我们能够每次就打一个光子过去，那怎么验证它是一个光子呢？我们就用某种方式去探测这个光子的能量，我们发现小到一定程度以后，它就不可能再小了，所以它是有一个最小能量的。
当然，这个最小能量跟光的频率，也就是光的颜色有关，这个细节我们不管，但是对任何一个给定的光，我们总是可以探到一个最小能量的，这个东西我们就叫一个光子。
那既然它是最小能量，绝对不可能再分开的，对吧？刚才那个波的解释就错了呀。
好，我们来看一看，把它看成一个粒子，也就是一个乒乓球，会怎么样，一个乒乓球，光现在是一个乒乓球，因为它是个光子。
打过来了，它要么就透下去，要么就被弹走，对吧？因为它是一个，它不再分开了。
假设它被弹走了，故事结束了，它不可能有任何其他行为了，它被弹走了，你还想干嘛。
一个球打过来，吧唧，弹走了，你还想干嘛，你不可能发生任何事情啊，一会儿我找个乒乓球扔一下，看看会不会出现这样的事情。
说弹走了这个事情，将来还会和底下那个发生的事情，两个事情叠加起来相消，不可能啊，为什么不可能？因为这两件事情是不可能同时发生的，一个乒乓球过来，它要么吧唧被弹走，要么下去以后，发生其他的事情，它不可能同时被弹走，又经过下面返回来，然后再把它俩加起来，它不可能。
不可能同时发生的事情，你是怎么使得它们加起来又相消的？对吧，所以，如果我要解释得对，我的可能是就算一个光子它也会劈成两叉，这一叉从这儿走，这一叉从这儿走，然后在这儿合起来，这个已经被否定了，因为它是最小能量了。
或者我说就算它是直接这么弹走，第一个可能。
第二个可能是这么上来以后，再被透射出去，这两个可能，就算它不可能同时发生，我仍然数学上，形式上要把这两个东西加起来。
我如果允许我这么加，我这个事情就搞定了，也就是说它确实不可能同时发生，无论你怎么想，它也不可能把它加起来，但是你如果允许我加，我强行把它们俩加起来，它的数学就和我前面说 34 第二章量子力学初体验和数学准备 的这个波劈成两叉再合起来的是一模一样了，这时候就解释了现象。
好，我们来总结一下，也就是说这个光过玻璃的事情呢，是可以通过经典波来解释的，而经典波是怎么解释的呢？说一串光波过来，劈成两半，这一部分被反射走了，这部分透射，透射完了，它又弹回来，又透射，在某个地方处在同一个点上，这时候同一个点上的振动，由于有牛顿力学，它可以把它加起来相消了，这是经典波的解释，但是它是依赖于一团光过来的。
如果真的是个乒乓球经典的例子呢，我们发现它打到这儿，啪飞走了，或者穿透它再飞上来，它两个事情不可能同时发生，所以绝对不可能加起来。
所以，经典波能解释我们观测到的现象，但是它不能用于单个光子的解释。
而经典粒子呢，它不能解释这个现象。
那我们现在做的实验呢，真的是单个光子做的，那怎么办呢？按照经典粒子不能解释，它又不能做经典波的解释，因为它自己是不再分开的。
那将来我们会发现，我们只需要做一件事情，这件事情就是不管如何，你允许我这两个不可能同时发生的事情，给它加起来，你只要允许我这么干，我在数学上就是跟经典波是一样的，我就得到了解释。
我说的这番话，会有数学告诉你是怎么做的，但是这是我们所要学习的量子力学的第一个现象，光过玻璃这么简单的事情，它是一件非常非常神奇的事情。
你家的镜头镀很多层膜会增加透过率，这是疯了的事情，但是实验事实就是确实透过，要不然你镀膜干什么。
好，第一个实验我们就讲到这儿。
2.2论什么是科学：为解释实验现象做铺垫 我们来想办法找一个这个现象的解释，为了构造这个解释，我们需要一点点数学的基础，这个数学的基础可以用逻辑思辨来代替，在目前这个阶段，一会儿我会告诉你逻辑思辨是怎么想的，如果你想用数学符号来算，它又是怎么表示的，怎么算的。
科学家一般情况下认为，什么叫构造出一个理论，或者提供一个解释呢？指得就是我知道了事物的状态，可以写成一个什么数学对象，这个状态会不会发生变化，变化的原因是怎么导致的，这个变化到它的原因之间是不是可以写下一个方程。
完成这两件事情，就叫提供一个理论，那这个理论是不是对的，是不是科学的，怎么办呢？我们就去对这个理论的具体的情况说，一旦给了这么个初始条件，给了这么个环境的时候，它会发生什么事情呢？那我们下面就想办法来构造一下上面这个现象的理论的解释。
2.2论什么是科学：为解释实验现象做铺垫 35 为了构造这个理论的解释，我们需要补一点点的数学，这个数学就是概率论。
关于这个数学，你完全可以用逻辑思辨来代替，也可以写成数学符号来计算，下面我们会给你展示这个逻辑思辨以及数学符号这两种方式，以后我们会发现这些数学符号会使得我们的计算简单很多很多。
那科学家认为什么样的东西是提供一个理论呢？一般我们认为提供一个理论，就是我们对状态到底写成什么样的数学符号，写成什么样的数学结构有了一个描述，然后状态是不是会发生变化，变化的原因是什么，建立起来了状态变化和它的原因之间的方程，比如说一个例子就是牛顿运动定律，它的速度的变化，也就是加速度是和力相互联系的，这叫一个方程。
而它的状态，也就是速度或者位移是怎么描述的呢？是由三维空间的矢量描述的，那这叫做一个理论。
那一个理论是不是科学的，怎么办呢？我们就把这个理论拿过来，针对特殊的具体的情况，说给这样的环境，给这样的初始条件的情况下，我们去拿这个理论做一番计算，算出来之后的那个可观测的现象，我们再拿来做实验检验，最后发现说真的给这么个初始条件，真的给这么一个环境的话，它真的会发生这个事情，这个可检验性，检验完了，就是科学的。
有一个在科学实践当中不怎么用，但是在科学哲学当中用的非常多的代替可检验性的东西叫可证伪的，那什么意思呢？就是原则上来说任何一个理论都是不可检验的，为什么不可检验？不可证实的，为什么不可证实的呢？因为你就算检验过了所有的具体例子，你理论的结果都对，也不表示对所有的例子，这个理论都对。
比如说我做一个命题，这个命题是天下乌鸦都是黑的，然后我就去检验，我抓一只乌鸦检验黑的，抓一只乌鸦检验黑的，抓一只乌鸦检验，还黑的。
然后呢？我能告诉你什么，我只能说我检验过的一万只乌鸦都是黑的，于是我可能产生一个推断，这个推断就是下一只乌鸦来，它黑的可能性非常非常高，可是它也绝对不可能否认下面的可能，你有些乌鸦就是没观测到。
为了解决这个逻辑上的困难，也就是说任何理论原则上都是不可验证的，那一堆做科学哲学的人，提出了这样一个说法，说其实呀，只要是原则上可证伪的，又迄今为止没有被证伪的东西都被称为科学。
那被证伪是什么意思呢？就是说我找到了一个例子，在这个例子的情况下，这个理论是不对的，这叫证伪。
那一个理论必须是可证伪的，也就是说原则上我可以找到一个例子来证明我不对，这叫可证伪。
然后迄今为止没有被证伪呢，就是到现在为止，我都没找到一个例子来证明我确实是错的，那这样的东西就叫科学。
所以，天下乌鸦一般黑，迄今为止我们仍然可以认为它是科学，因为我现在检验过的，都告诉你是黑的。
我迄今为止没有发现任何
一 36 第二章量子力学初体验和数学准备 只乌鸦是白的，我不知道，没准真的有白乌鸦，我只是举个例子。
从这个意义上说，科学是什么呢？就是一个对状态对事物的描述的体系，这个描述一般情况下，还能建立起一个状态变化的方程，那么这样就叫一个数学模型，一个体系。
这个体系呢，算出来的结果和迄今为止做过的实验的检验都是对的，而且原则上存在着其他的例子，这个例子呢，有可能它只要实验出现了某个结果，就可以证明我不对，可是这个例子一直没找到，那这个就叫科学。
比如说有一些东西，它是不能算成科学的，为什么？比如说举个例子，上帝是存在的，我如果按照这个要求，如果想让它成为科学，它必须做什么呢？它必须先给我找个例子，这个例子就是如果下面的这件事情发生，那么上帝就是不存在的，也就是说找到一个能去证明它是错的这样一个例子，然后我们大家就一起齐心协力去找这个例子。
如果一直找了好多年都没找着，那么这个时候，它就可以认为是一个科学。
如果不满足这个要求，则连科学都算不上。
有一个非常著名的物理学家叫，他所说过的最著名的一句话，我特别喜欢的一句话，他说“你的理论竟然就不错”，他说“这个世界最糟糕的事情就是你竟然都不错”，所以是最糟糕的。
也就是说你的理论必须原则上就允许是错的，只是迄今为止，而我做过的所有的实验，都没有把你否定，这个才是一个好东西。
如果你说的东西，本来就该是对的，那它肯定是瞎扯淡。
顺便把这个状态的描述是什么，状态会不会发生变化，变化的原因是什么，这个东西叫做力学的世界观。
也就是说大多数时候，物理学家面对一个现象的时候，我们都思考这几个问题，状态是什么，怎么描述的，我们能不能把状态的变化和某个外界的原因之间建立起某个联系，这个联系通常还表现为一个方程。
然后除了这个可证伪性之外——也就是说实验、事实、理论，然后理论推出来的东西，得去允许有实验证明我错，但是我通过了检验，一直没证明我错——这个东西之外，科学还有一个稍微更高一点的要求，它叫系统性。
系统性是什么意思呢？就说我们希望绝大多数时候，不同的这个模型或者说不同的现象呢，可以呢，用类似的模型来解释，然后不同的模型呢，它们之间其实是有内部的关联性的，是有更基本的概念可以它们推出来的，这个系统性是科学的另外一个要求。
也就是说我们希望用更少的假设建立起来一个理论，这个理论可以描述尽可能多的事情。
第一个开创这种方法来描述，当然人家描述的不是科学，描述数学的就是。
他把整个几何建立在最基本的几个假设之上，然后从那儿开始，就可以把各个定理都证明出来。
这是 2.3概率论的基础：为解释实验现象做准备 37 一件非常非常神奇的事情。
如果你去看一下欧几里得的几何书，你就发现类似于比如说全等三角形的判定定理，什么边边边定理，边角边定理，什么之类的这些定理，它大概在三十五六条。
也就是说他其实已经知道了作为平面几何来说，这些结论是该有的，可是呢，他又想建立起一个有系统性的东西怎么办呢？所以，他特别神奇的，真的，如果是靠猜，你想想这不可能，他猜出五六条，然后就能把那些该有的都推出来，这是不可能的。
所以，它特别神奇的反向构造，也就是说我去找，我要证明的这些，比如说假设一百来条是我认为它就该有的，然后我怎么办呢？我去看看，我找到哪些中间产品，中间定理呢，是使得那一百来条都可以成立，然后再把这个中间再往前推，再推它的上一步的可能成立的前提，然后直到有一天他说我这么五六条放下去就够了，这是人类智慧的非凡的创造，极其了不起的创造。
这样一个系统性的视角，我不知道它之前有没有，但是就算有，也没有人把它做出来，只有他不仅有这个视角，而且把它做出来，这是非常了不起的。
后来整个科学的发展，基本上就走了这样一条道路，前面的实验检验、数学计算，就叫批判性思维的道路。
我不相信任何没有经过我自己的理性检验的东西，所谓理性检验就是要么是实验检验通过，要么是数学上能够证明或者能算出来。
没有经过我的理性检验的东西，从来不当成我进一步思考的基础，这是科学的一个基石。
还有另外一个东西就是系统化。
有了这几样东西，才使得我们科学能够往前发展。
我们今天要做的事情也是，企图对量子现象构造一个像这样的东西。
状态有个数学描述，然后如果可以的话，状态的演化还会得到一个方程，然后接着就去算，对于具体的情况去算，比如说光过玻璃的我们算一下，一会儿我们要解释的别的实验我们也算一下，算一下之后发现，我算出来的东西和实验是一模一样的。
而且，将来你会发现，我只需要三五个基本的概念，就可以把各种情况下的东西都算出来，也就是系统性。
2.3概率论的基础：为解释实验现象做准备 好，那下面就开始学习，为了构建这个理论所需要的数学基础，经典概率论的线性代数表示，或者说经典概率论的矢量表示，这部分我说了，你可以不学，你不学呢，你只要在下面的实验当中，通过逻辑思辨去代替我所做的所有的计算，一般情况下，我也会把那个逻辑思辨的过程告诉你。
但是，缺陷是你学到这个现象是什么，以及理解为什么理解不了之后，就不可能再 38 第二章量子力学初体验和数学准备 往下走了。
你只有学会了这样一套形式数学的计算的方法，我才能继续往下 走，告诉你，真的只要允许我将来加起来，我就能解释所有的一切了。
所以， 你自己去选择，对于不同的听众来说，你的学习的目标是不一样的。
如果你 能坚持，然后把这一段数学学明白，还会用，那就能保证后面的所有东西都 学得懂。
要不然呢，反正你就靠逻辑思辨。
整个概率论的数学，我们目前的阶段用的就是，在我们这门课里头用的 就是叫做古典概型，也就是说，你的基础是一堆等概率事件，你只需要学会 对等概率事件做数数，然后上面是个数出来的数，下面是另外一个数出来的 数，这个百分比一求就是概率，只要这么简单就可以了。
比如说一个例子就 是，如果你是一个六面的色子，我问出现
1的概率是多少呢？你就数满足
1 的面有多少，肯定只有一面，因为它是1,2,3,4,5,
6。
那出现的所有的概率 指的是什么意思呢？就是它各个面当中出现一面的是多少，它各个面有多少 个呢？有6个，好了，所以它就是61。
具体这个概率是什么意思呢？它指的是如果你扔上无穷多次，比如说扔上几万次、几亿次，然后你把几亿次当中 总共出现的那个面数当成分母，出现1的次数当成分子，那么除出来差不多 就是16。
这个就是概率这个东西对于色子是怎么算的。
然后，它的科学的含义，就指的是如果你真的拿个色子去扔的话，它从来不可能真的是61的，但是随着你扔的次数越来越多，它会越来越接近这个16。
也就是说，科学真的只是提供一个可检验的、可测量的或者说可证伪的这么一个算出来的结果， 我不保证你真的是一样的。
这个概率就这么简单。
那剩下的概率和均值怎么算呢？之前我也举过了12硬币的例子，现在我说凡是小于等于3的扔出来呢，我都赢十块钱，凡是大于3的呢，你赢 二十块钱。
那我说我们俩这个，你从我这儿赢走，我从你那儿赢来。
如果我 们俩是这么一个约定的话，这个平均收益怎么算呢？就是你看，扔到1,2,
3 面的时候，我赢十块钱，就是10×16+10×61+10×16。
接着我输的时候，就是(−20)×61+(−20)×16+(−20)×16。
把两者加起来，就是我最后平均来说赢钱的均值， P1=10×1+10×1+10×1+(−20)×1+(−20)×1+(−20)×1=−（5元）.
6 6
6 6
6 6 (2.1) 所以，你只要小学水平的概率论就够了，这些是你完全就懂的，我们只需要 这么多。
知道这么多以后，我们要学习的东西是什么呢？我们要换一套你现在看 起来非常抽象的，完全看不懂的数学符号来写一下，下面我们就完成这个任 2.3
概率论的基础：为解释实验现象做准备 39 务。
在完成之前呢，我们来稍微地说一下一点点概率论当中抽象的东西，叫 做互斥事件。
互斥事件是什么意思呢？就是说这个发生了，那个就不可能发 生的事情叫互斥事件。
比如说在硬币上，只要出现正面向上，就不可能出现 反面向上，因此正反面向上叫互斥事件，只要出现正面
1就不可能出现反 面
0。
所以，它有一条叫做互斥事件的加法，互斥事件的加法是怎么加的呢？ 就是如果我有一个大事件，这个事件是由两个互斥事件构成的，那么我这个 大事件的概率，就是这两个互斥事件加起来。
这个事情其实比较复杂，因为你得去验证那两个事件真的是互斥事件， 如果你懂得集合论的语言，就表示这两个集合是没有交集的。
那如果你不 懂，我就可以给你编出一些例子，好像看起来是互斥的，但实际上不是。
比 如说我可以说我扔出来小于
3，这个当成一个集合，然后奇数当成一个集合。
我说我要么小于等于
3，要么是奇数的概率是多少呢？这个时候你千万不能 把那俩概率加起来，为什么？因为奇数里头有小于等于3的，它会被重复 计数。
那重复了怎么办呢？你得还原到它的等概率事件集，（如果）说小于 3或者（是）奇数的这个集合是什么呢？是1,2,3加上5这四个数，于是你 将来要算的是把这四个东西的概率加起来，所以是46。
而如果你直接去算的 话，你想奇数是1,3,
5，所以是36。
小于等于3的是1,2,
3，有3个因此也 是36。
那合起来就成了 3+3=1.66 (2.2) 对吧？但是，它不可能等于
1，因为它不包含所有的事件：4,6就没在里面。
所以，互斥事件这一点是很重要的，只有互斥事件的时候，它中间那俩概率 才能加起来。
但是，注意它是把那俩概率加起来，它不表示把那个事件加起 来。
就算它是互斥的，比如说硬币的正面和反面，这两个事情是互斥的，我 可以说硬币出现正面或者反面的概率是多少，算出来肯定是
1，这没有问题。
但是，我绝对不表示硬币的正面或者反面意味着正面加反面的事件，就说硬 币的正面这个状态加上反面这个状态，这是不存在的事情。
在经典的世界里头不存在一个状态，这个状态是“硬币的正面加反面”。
硬币的状态只存在着一个集合，它是硬币的正面状态，比如说叫
1，并上
一 个集合硬币的反面状态，比如叫
0。
数学上记做{1,0}。
不过，如果你不懂 集合符号也没关系，这个符号你不用懂，只要知道意思就可以了：硬币的所 有可能状态的总和。
所以，硬币有“正面或反面状态”，没有“正面加反面 状态”。
“正面或反面状态”的概率是能被加起来的，这个是概率论的第
一 40 第二章
量子力学初体验和数学准备 条：互斥事件构成的事件的概率是分别每个事件的概率相加。
把上面的意思写成数学符号就是 P(A∪B)=P(A)+P(B),A∩B=ϕ. (2.3) 如果你不懂这些集合运算符号，就跳过。
这一行数学符号的意思就是“互斥 事件（
A,B，满足交集为空A∩B=ϕ）构成的事件（A∪B）的概率（P(A∪B)）是分别每个事件的概率相加（P(A)+P(B)）”。
你可以发现，其实A∪B就是把集合
A,B合起来构成新的集合的意思，A∩B就是把两个集合的共同的元素找到构成新的集合的意思，ϕ就是里面没有任何元素的集合，称为空集。
当然，我们也说过了，如果你决定就靠思辨，不希望运用数学运算来理 解，那就跳过这些符号的学习。
但是，数学不过就是用符号把你想说的意思 说一遍，因此，强烈推荐我们的读者来学习一下这些符号。
概率论的第二条叫独立事件的性质，独立事件的性质就是如果我有
一 个基本事件是
a，有另一个基本事件是b，然后两个事件发生不发生是完全独立的，这个时候ab同时发生的概率是什么呢？是Pa，也就是a的概率，乘上b发生的概率Pb， P(ab)=P(a)P(b). (2.4) 在这里，为了使得符号和概念更简单，我们用了基本事件a,b来表达这个独立事件的概率乘法公式。
基本事件在离散状态的对象上，就是一个对象可以出现的最基础的事件。
例如，硬币的正反面（也就是a=1或者a=0）、色子的六个面中的任何一个（a=1或者a=2等等一直到a=6）。
原则上，我们也可以用集合
A,B来写上面的公式。
不过，就要复杂一些。
我们举个例子来理解独立性。
当我们扔两个硬币的时候，只要两个硬币没有通过什么方式绑在一起，则一个硬币的状态和另一个硬币的状态是独立的，相互不影响的。
这个时候，两个硬币都正面向上的概率就是， P(11)=P
(1)P
(1)=1.4 (2.5) 这一条逻辑上也可以当做独立事件的定义，也就是只有满足这样的数 学关系的事件A和
B，才叫独立事件。
但是，往往在实际中，我们会对独 立性基于实际问题的背景先做一个计算之前的判断，然后，再运用这一条来 解决问题。
例如上面没有绑在一起的两个硬币的状态。
公式(2.3)和公式(2.4)这两个公式是在概率论里头最基本的公式。
好 了，有了前面所说的等概率的基础事件，还有了独立事件和互斥事件，那我 2.4概率论的DIRAC符号 41 们概率论整个逻辑思辨的基础就有了，下面我们教你数学符号是怎么回事。
2.4概率论的Dirac符号 为了更好地描述概率，把经典概率和量子概率的数学描述完全统
一，我 来引入一个符号——Dirac符号。
这是整个课程里面最复杂的数学。
但是， 相信我，只要初中数学水平，跟着下面介绍的规则来算，你就完全能够掌握。
至于为什么要学习这一套规则，以后遇到量子系统的时候你才能体会到。
坚 持把这些数学语言学会，你很快就能真的开始学习量子力学了。
我说凡是正面的，我就写个这样的向上箭头
|↑⟩⟨↑|。
将来，我们会学习 到，其实这个符号还可以拆开来看，其中的|↑⟩叫做一个右矢量记号，也称 作ket；其中的⟨↑|叫做一个左矢量记号，也称作bra。
目前，我们只需要懂 合起来的那个。
合起来，|↑⟩⟨↑|就表示“硬币处于正面向上的状态”这个含 义。
怎么代表向下的状态呢？就只需要把里面的向上箭头换成向下箭头，也 就是|↓⟩⟨↓|。
有了这套记号以后，干嘛用呢？我就能告诉你说，凡是你写下概率的时 候，我以后就用这个记号来表达，比如说一个硬币的状态，按照这种符号怎 么写呢？我就写成 ρc=1|↑⟩⟨↑|+1|↓⟩⟨↓|.
2 2 (2.6) 读作：一个随机硬币的状态是，12的概率处于向上态，21的概率处于向上态。
所以，更一般地， ρc=Ps|s⟩⟨s| s (2.7) 有如下含义：一个系统处于每一个可能状态s的概率是ps，也就是这堆用括号和箭头包起来的东西呢，就是指它的状态是什么，前面那个数呢，就是这个状态的几率。
这里的ρc称作状态密度矩阵。
如果你真的学过一点点概率论，你就会发现以前在教材上，它是写成一个大大的列表，这个列表就是向上的状态的几率是P↑，向下的是P↑，或者1的时候是P1，0的时候是P0等等一个列表。
我只不过把这个列表写成了什么呢？写成了一个公式(2.7)的样子。
所以，这里完全不引入任何新的理解，只是一个新的数学符号，也就是说它向上或者向下一定的概率，这件事情就写成公式(2.7)这么一个样子。
42 第二章量子力学初体验和数学准备 有了这个概率状态的表示符号，我们来看看各个状态的几率和相应的均值怎么算。
我们先来看均值。
跟以前的情形一样，我们来做猜硬币的游戏，付钱的规则也一样。
我们把之前算过的这套规则下我赚的钱的平均值算出来。
这个付钱的规则，算平均值的规则呢，将来我们管它叫做算符。
那它的这个规则怎么写呢？说如果我规定，向上的时候，我赢1块钱，向下的时候我输1块钱，那这个A怎么写呢？ Ac=1·|↑⟩⟨↑|+(−1)·|↓⟩⟨↓|. (2.8) 就是向上的这个状态右矢配左矢，减去这个向下的右矢配左矢，至于这个地方为什么是减呢？这是因为我要输1块钱。
如果我变成输100块钱怎么办呢？我就把前面那个向上状态的系数写成
1，后面那个向下状态的系数写成−100， Ac=1·|↑⟩⟨↑|+(−100)·|↓⟩⟨↓|. (2.9) 所以，一般地说，一个支付规则就是， Ac=Es·|s⟩⟨s|. (2.10) 其中Es就是系统处于s态的时候，我收到的钱。
如果这份钱是负的，就表示我在输钱。
有了这个算符Ac和我前面的这个状态表示的符号ρc之后呢，我怎么来算均值呢？ 均值就是，把Ac和ρc这两个东西乘积起来，乘积起来以后，再去把它的对角线元素——Dirac符号中那些出现在·|s⟩⟨s|前面的系数就称为对角线元素，简称对角元——的和求出来。
那对角线元素的和叫求迹（）。
计算乘积的时候，我们需要用到一个左右矢配对计算公式， ⟨i|j⟩≜⟨i||j⟩=δij. (2.11) 其含义是说，如果一个左矢量⟨i|遇到一个右矢量|j⟩，则其结果变成一个0或者1：当i=j的时候，δii=1；当ij的时候，δij=
0。
我们来用这个规则做一个计算试试。
2.4概率论的DIRAC符号 43 先算乘积， Acρc=(|↑⟩⟨↑|−100|↓⟩⟨↓|)1|↑⟩⟨↑|+1|↓⟩⟨↓|,
2 2 =1|↑⟩⟨↑||↑⟩⟨↑|+1|↑⟩⟨↑||↓⟩⟨↓|
2 2 −50|↓⟩⟨↓||↑⟩⟨↑|−50|↓⟩⟨↓||↓⟩⟨↓|, =1|↑⟩⟨↑|−50|↓⟩⟨↓|.2 再来算对角线元素的和， (2.12) (2.13)(2.14) Tr(Acρc)=1−50=−49.5.2 (2.15) 你会发现，按照你已经学会的概率求均值的知识，算出来也是49.5。
于是，我们发现，Dirac符号的计算结果和之前概率求均值得到相同的结果。
也就是，至少，在计算均值上，两套符号体系的结果完全相同。
求迹运算，也就是对角元的求和，还可以用下面的符号表示， Tr(B)=⟨s|B|s⟩. s (2.16) 你可以验算一下，顺便也熟悉一下这套Dirac符号的计算规则。
注意，其中最主要的规则就是公式(2.11)。
我们已经验算了Dirac符号下得到的均值和概率均值是一致的。
下面，我们来展示计算某个状态的概率怎么算， Ps=⟨s|ρc|s⟩, P(S)=⟨s|ρc|s⟩. s∈
S (2.17)(2.18) 其含义是，对于基本事件s，其概率Ps就是在状态密度矩阵ρc的左右两边分别乘上左矢量⟨s|和右矢量|s⟩；如果时间S中有很多个这样的基本事件s就把算出来的每一个这样的基本事件的概率都加起来。
我们来做几个计算概率的例子。
我们先算一下公式(2.6)的ρc情况下，硬币向上的概率，是否正好就是12， P↑=⟨↑|ρc|↑⟩=1⟨↑|↑⟩⟨↑|↑⟩+1⟨↑|↓⟩⟨↓|↑⟩=
1.
2 2
2 (2.19) 44 第二章量子力学初体验和数学准备 如果我们再算一下，硬币要么向上和要么向下的概率，就会得到 P↑=P↑+P↓=
1 (2.20) 完全正确。
更一般地，我们可以验证，对于公式(2.7)中的一般的状态密度矩阵， Ps=⟨s|ρc|s⟩=Ps. (2.21) 这正好就是预期的结果。
好了，我们已经验证了无论是均值还是概率，Dirac符号的计算结果和 通常概率计算的结果，或者依靠你的自然语言形式的推理的结果，完全相同。
我们甚至可以进一步，来验证一下，Dirac符号下，互斥事件的概率可加性，和独立事件的概率乘积，是否成立。
但是，在这里我们就不再验证了。
我们把它留给有心的学有余力的读者。
2.4.1Dirac符号和2×2矩阵运算，选读 这一小节仅仅是为了已经懂得矩阵计算的读者写得。
如果不是已经学 习过矩阵计算，我推荐你要么依靠Dirac符号的计算，要么依靠自然语言形 式的推理——也就是想明白。
对于已经懂得矩阵计算的读者，把Dirac符号 和矩阵的联系明确建立起来是有帮助的。
对了，所谓懂得矩阵运算，在我们 这里，只需要会2×2的矩阵的加法、乘法、求迹、求某一元素的计算就可 以。
例如，对于2×2矩阵 Ac=A11A21 A12,ρc=ρ11 A22 ρ21 ρ12,ρ22 (2.22) 我们有 Acρc=A11A21 A12ρ11A22ρ21 ρ12=A11ρ11+A12ρ21 ρ22 A21ρ11+A22ρ21 A11ρ12+A12ρ22.A21ρ12+A22ρ22 (2.23) 其一般规则是 (AB)ij=AikBkj. k 矩阵加法和求迹就不展示了。
(2.24) 2.4概率论的DIRAC符号 45 现在，我们来建立Dirac符号和矩阵符号的联系。
我们说，如果我们把 矩阵看做是这样的Dirac符号表达式， A=A11 A21 A12→Aˆ=A11|1⟩⟨1|+A12|1⟩⟨2|+A21|2⟩⟨1|+A22|2⟩⟨2|,A22 (2.25) 则上面的矩阵乘法的计算正好就是公式(2.11)规则下得到的结果。
我们来验证一下。
AˆBˆ=(A11|1⟩⟨1|+A12|1⟩⟨2|+A21|2⟩⟨1|+A22|2⟩⟨2|) ·(B11|1⟩⟨1|+B12|1⟩⟨2|+B21|2⟩⟨1|+B22|2⟩⟨2|), =(A11B11+A12B21)|1⟩⟨1|+(A11B12+A12B22)|2⟩⟨1| +(A21B11+A22B21)|1⟩⟨2|+(A21B12+A22B22)|2⟩⟨2|, →A11B11+A12B21A11B12+A12B22=AB. A21B11+A22B21A21B12+A22B22 (2.26)(2.27)(2.28) 乘积以后得到的矩阵正好和公式(2.24)的结果完全一致。
我们还可以通过左右矢量配对运算规则来得到的某个元素，例如 Aij=⟨i|Aˆ|j⟩=Aij. (2.29) 也就是说，求一个矩阵的某个元素Aij，在Dirac符号下就成了⟨i|Aˆ|j⟩。
至此，矩阵计算语言，概率计算语言，概率靠想，Dirac符号语言，完 全就统一了。
以后，我们绝大多数时候会使用Dirac符号语言，但是有的时候一不小心也会用矩阵语言。
例如，所谓求“对角元的和”这句话，就是借用了矩阵的语言，因为只有矩阵才有对角元，也就是 Tr(A)=Ass=⟨s|Aˆ|s⟩. s s (2.30) 2.4.2操作和测量 下面，我们来讨论对状态的操作和测量的数学表示。
首先，还是从实际对象的实际现象出发。
假设我们有一个真的随机的硬币，称为纯随机硬币。
你先不要问我有没有真实的纯随机硬币。
前面，我们已经学会了用数学来描述这个硬币的状态，以及计算某个支付规则下的平均值。
现在，我们来考察如何描述改变这个状态的操作，以及如何描述对这个硬币的测量。
46 第二章量子力学初体验和数学准备 一开始硬币有一个状态ρci，如果我们要去对这个状态做一个操作，比如说我要把硬币翻一下，这件事情的操作A和操作完了的末状态ρci我们怎么描述？为了描述这件事情，我们要引入一个东西叫做一个算符，一个操作。
也就是说如果原来是正面向上的状态，我呢，要找到一个翻这个操作的一个 矩阵或者说算符，这个矩阵正好对应着——凡是给我正面，我就把它变成反 面；凡是给我反面，我就把它变成正面。
你就想如果一个硬币是确
定的，只有正面，它怎么表达，它的表达方式是ρci=|↑⟩⟨↑|，或者说ρci=1000。
现在我们要把它变成一个向下的状态，向下的状态是什么呢？就是向上的概率是
0，向下的是
1，所以它是ρcf=|↓⟩⟨↓|，或者说ρcf=0001。
现在我们怎么把一个这样的ρci变成一个这样的ρcf呢，我告诉你，它的计算就是 ρcf=AρciA†, (2.31) 其中这里的A是 σx=|↓⟩⟨↑|+|↓⟩⟨↑|,A=01 10 A†称为A的复共轭转置，具体操作就是， (2.32) A† ∗ =Aji, ij (2.33) 这里的x∗就是一个复数的复共轭，也就是(a+bi)∗=a−bi。
不懂复数的不要担心，整个课程中绝大多数时候，我们的b都等于零，于是这时候复共轭就是不变的意思。
这里，为了帮助大家熟悉这些符号，我们提供了Dirac符号和矩阵两种形式。
将来，我们可能仅仅会采用其中之
一。
顺便，这里的符号σx称为。
但是，现在，你只需要把它当做一个代表上面那个具体的矩阵的记号就可以了。
我们可以验算这个σx确实是翻转操作， σx|↑⟩⟨↑|σ†x=|↓⟩⟨↓|,σx|↓⟩⟨↓|σ†x=|↑⟩⟨↑|. (2.34)(2.35) 类似地，我们引入保持原状态什么都不做的操作，单位矩阵，Identity 2.4概率论的DIRAC符号 47 矩阵， I=|↑⟩⟨↑|+|↓⟩⟨↓|,A=10 01 也可以验证，这个矩阵确实就是不翻的操作， (2.36) I|↑⟩⟨↑|I†=|↑⟩⟨↑|,I|↓⟩⟨↓|I†=|↓⟩⟨↓|. (2.37)(2.38) 有了操作的一般定义公式(2.31)，我们再来解决测量的数学描述的问题。
还是从实际对象的实际现象出发。
我们发现，对于一个纯随机硬币来说，打开看了之后，硬币的状态就确定了，不管是正面还是反面。
用数学语言来表示，这就是 Pm=⟨m|ρcbfm|m⟩,ρcafm=|m⟩⟨m|ρcbfm|m⟩⟨m|∼|m⟩⟨m|, (2.39)(2.40) 其含义是，对于一个测量前状态ρcbfm来说，测量完系统之后，发现系统处于m态的几率是Pm=⟨m|ρcbfm|m⟩，如果Pm0，也就是确实发现系统测量完了之后处于m态，则系统的测量后状态是，ρcafm=|m⟩⟨m|ρcbfm|m⟩⟨m|∼|m⟩⟨m|。
这里面有一个小小的技术细节：对于一个密度矩阵，通常，我们会先做 一个归一化再来看其含义。
对ρ的归一化就是 ρ=ρ,tr(ρ) (2.41) 因此，ρcafm直接算出来是|m⟩⟨m|ρcbfm|m⟩⟨m|=Pm|m⟩⟨m|，但是，重新归一化一下就得到ρcafm=Pm|Pmm⟩⟨m|=|m⟩⟨m|。
好，这就是所有的概率论所要学习的数学，第一个是状态是什么，状态是一个对角的矩阵。
第二个是要测量的量怎么表达，就比如说我要给多少钱，就叫一个测量的量，怎么表达，也是一个对角的矩阵，每一个地方就是该付多少钱，或者说以一个叫做十倍放大镜的作用来看，我只要看到色子上显示是1呢，我记录的数就是个10，2就是20，那个放大镜对应一个什么操作呢？就是10、20、30、40、50、60，写在对角上。
然后，将来它的平均值怎么算呢？平均值就是把ρc的矩阵和Ac的矩阵放在一起，把它先乘完，变成一个矩阵。
然后把所有的对角元素加起来。
加起来最后的结果就是P1×10+P2×20+P3×30+P4×40+P5×50+P6×60，这是你所熟悉的结 48 第二章量子力学初体验和数学准备 果。
最后所需要知道的事情是，如果我将来需要有一个状态去操作它，操作怎么办呢，是AA†，它的这个“†”怎么算呢？你就是去做一个转置，再做一个复共轭，不过在我们所要学习的里头复数基本上不会遇到，所以我们就直接做个转置就可以。
然后你怎么去验证这些例子是对的呢？我已经给了你硬币和色子的例子，你就自己去算一下。
那迄今为止，我们就学会了形式上的所有概率论的计算，但是我再强调一遍，我们没有任何新的东西，所有算出来的结果和你以前知道的东西都是一模一样的。
那为什么非得写成这个样子呢？就是因为将来当我们跨过经典概率去解释量子的时候，我们发现我们的数学不需要产生任何变化，我们的数学是完全一模一样的。
在经典现象本身而言，我们教你的这个数学，是比你通过你自己的逻辑推断、思考要更复杂的，当然也没复杂到哪去，对吧，只是你以前怎么算的，我现在告诉你写这个矩阵的模样，然后把它乘起来。
再重复一次，你只需要知道这个就可以了：
1.状态写成个矩阵放在对角上， ρc=pα|α⟩⟨α| α
2.测量的东西写成个矩阵放在对角上， (2.42) Ac=α|α⟩⟨α| α (2.43)
3.在状态ρc下对物理量Ac做测量，得到的均值怎么算：把它俩乘起来，乘完之后，把对角元素加起来， ⟨A⟩ρc=tr(Aρc)
4.测量得到的可能的结果的概率和测量后状态， (2.44) Pm=⟨m|ρcbfm|m⟩,ρcafm=|m⟩⟨m|ρcbfm|m⟩⟨m|∼|m⟩⟨m| (2.45)(2.46)
5.怎么去操作这个对象呢？你把那个操作所代表的矩阵
A，乘在这个状态ρ上，再乘上这个操作的共轭转置A†， ρcf=AρciA† (2.47) 2.4概率论的DIRAC符号 49
6.所有的计算只需要遵循这些Dirac符号之间的一条基本性质——“正交性”，也就是左矢量遇到代表相同状态的右矢量得到
1，遇到代表不同状态的右矢量得到零， ⟨α|β⟩=δαβ (2.48) 这是一个完整的描述：既有状态的描述，又有测量的描述，又有操作完了怎么描述。
我们把刚才所有的这个学过的关于经典概率论的东西写在同一页纸上，那这页纸就是公式公式(2.42)到公式(2.48)。
所有的你要算的东西都在这页纸上，而且其中最最关键的东西，只有两个，一个就是如果你遇到一个左矢量⟨α|和一个右矢量|β⟩合在一起的，它等于δαβ，也就是任何经典状态之间，它要么是完全一样的，要么是完全不一样的，这一点非常非常的重要。
也就是说一个硬币的正面，它只和正面一样，它和反面是完全不一样的，它们俩之间没有任何交叉。
在这里，所谓把它俩遇到一起的意思就是看看有多少交叉的意思。
将来我们要改变的就是这一点。
一个猫的死态和活态，它的死态和活态本身，确实也是完全不交叉的，但是它可以有死态+活态的东西，或者说前面的我们讲过的光的例子里头，它有第一次就弹走的，它有第二次就弹走的，对吧，在这两个弹走之间，它们本身确实是完全不可能同时发生的，完全不一样的，但是它可以存在的一些状态，这个状态可以把第一次弹走这件事情和第二次弹走这件事情加起来。
这个例子不太好，无所谓了，有更多的例子的时候再回来。
将来我们会发现我们只需要改变这一条，允许⟨α|β⟩δαβ，后面所有的都是不变的，我们就可以来解释量子的现象。
为了解释后面的更多的量子的现象的时候，还需要做一个小小的铺垫，这个铺垫叫做千万不要小看这个测量后状态。
首先我们也用这个逻辑思辨的方式，我说有一个硬币，它可能正面，可能反面，我一打开看它向上，我问这个时候硬币处于什么状态？废话，这个问题肯定是向上，这叫测量后状态。
就是就算对一个随机变量，它一旦被测量了，在测量之后的那个瞬时的状态，我不管以后会不会有人翻它，我不管，在我没有任何其他的因素在跟它作用的情况下，它的状态就是所测量到的那个状态。
所以，这是一件非常非常平庸的事情。
对吧。
你看马路上有个车，停在那儿被我看见了，那个地方有个车，那个车在哪儿？那个车肯定在我看见的地方，就这么简单一个事实，但是千万千万要注意这个事实其实非 50 第二章量子力学初体验和数学准备 常非常的深刻，一会儿我们再说它为什么深刻，但是这一条叫测量后状态。
就说一般情况下，我们希望一个东西被测量完了，它正好就是我们观测到的状态，这件事情是我们希望做到的，如果这一条被破坏的话，我们很多关于这个世界的理解都会出问题，对吧，要不然怎么叫测量，测量不就是想知道它的状态是什么吗？如果说我测完了它的状态不一定是这个，我测它干嘛。
但是，以后我们会挑战这一条的，非常深刻地挑战这一条的。
好，我们先把这个测量后状态也告诉大家。
这个测量后状态到底怎么算呢，这个就是公式公式(2.46)要解决的问题。
你只要按照这个方式去算，你得到的答案就是我刚才那个逻辑思辨得到的答案。
你把ρcbfm放中间，把测量到的状态左边、右边凑上去，你就会发现你只能留下来一个测量到的状态。
学这些数学就是为了将来我不再需要逻辑思辨来思考了。
我把所有的东西都按照这套数学代进去，我就能给你答案。
前面我们说的是对于要么是向上的状态，要么是向下的状态做的测量。
那如果是一个P的概率向上，1−P的概率向下的呢？那这个测量出来的结果是什么，和我们的逻辑思辨，和我们的直觉是不是一样呢？你自己验证一下，你就会发现算出来的答案正好就是你以前觉得就该这样，比如说均值就是2P−
1。
然后向上的概率就是
P，向下的概率就是1−
P，这些都是完全可以算出来的。
经过这个一般的公式，还有例子，以及它和逻辑思辨之间的等价性的论证之后，我们在这一页把所有的基本的公式做了一个小结。
我还准备了这门课程的一个小抄，它是两页纸，也会发布在网上提供大家下载。
本书也会加印一个活页。
大家可以在听课的时候把那两页纸打印出来，或者拿着这个活页，然后有需要的时候就翻过去看一下，噢，原来这些东西是这样算的，然后你就可以更方便地知道，更好地理解后面真的需要到你算的时候的知识。
2.5用这套符号来理解随机变量 有了这个数学描述之后，我们来讨论一个关于随机变量的，关于硬币的比较深刻、比较复杂的问题。
我们想问的问题是，在我们测量硬币之前，硬币到底是个什么状态。
这里有两种形式的硬币，第一种是每一个硬币它本身是两面的，一面是黄色，一面是红色。
那第二种是这个硬币呢，要么是黄的，要么是红的。
你把它看成硬币无所谓，反正乒乓球也是硬币。
好，那我说从你来，你的观测来反过来推这个随机变量的角度，也就是 2.5用这套符号来理解随机变量 51 说你先做一下实验，看看你会抽到什么，然后抽上几百次、几万次，之后你来猜，那个硬币的随机变量该怎么写，就是写成那个ρc该怎么写的角度。
我问一个问题，你能区分这两样硬币吗？来，我们来试试，我就做几次哈，几次肯定不准，但是试试。
蓝色的，蓝色的，蓝色的，红色的，红色的，我做了七次实验，有四个是蓝色的，三个是红色的。
我再抽一个，我还真抽到了一个红色的。
这真没这么准的啊，一般来说八次实验结果会有偏差的，不一定会一半一半。
它得到几百次，几万次以后偏差才比较小。
但是，我运气比较好，真的是四个蓝色的，四个红色的。
所以你一旦做上几百次，你就反过来可以推出来，这些硬币啊，真的是12向上，21向下的。
当然，这个事情，我得混均匀了。
因为我可能扔进去的时候，比如说以，某个面扔进去的，所以全是红的，所以我得混得很均匀的时候，才能保证它真的是在我抽的时候是基本上要么向上，要么向下，是12的。
不过是不是具体12无所谓，反正它是某个概率的。
我再试试，这是七个，然后，三个蓝色的，四个红色的，还行啊，差得不是特别大。
那么这时候假设你猜出来了，它是12。
那么对于这种两面每面一个颜色的硬币，你在观测它之前，你就可以认为它本身是两个状态的，它只是抽出来的时候显示为哪一面而已。
那回过头来再看这个每一个硬币本来就只有一种颜色的情况。
这个我随便抽。
我抓了四个，两个黄的，两个红的。
好你抓很多很多次以后，你也可以推断出来它的概率是12。
但是仔细想，它们两种硬币之间有差别，为什么？它这里每一个球，只显示一个颜色，对不对。
那个每一个硬币上，它其实显示两个颜色。
这两件事情，对应着背后不同的概率的理解。
这个每个都一种颜色的情况的概率的理解是，它其实是由很多个不同的东西造成的；这个每一个硬币都是有两面的情况，则其概率是由很多个一模一样的东西造成的。
当然它们俩也可以认为是一样的。
你说，其实呀，我把它躺下那个面就当成它的那个面，于是每一个硬币在我看之前，也已经知道它的状态了。
但是假设我们现在没有躺的状态，就是先不管它躺的状态，是我拿出来的过程当中决定它到底哪一面的，因为我拿的时候，我可能转动了它，所以我只有摊开手的时候，我才知道其状态。
那么这样来看的话，它这个两面的东西的随机性是怎么造成的呢？它是由某种内禀随机性的，也就是说每个变量它自己，它就是向上或者向下的。
然后，这个一面的呢，是每个变量自己是完全定了的，只看我抓的时候不同造成的。
你看，我理解它们，我特别喜欢，为什么？我看到的世界一点 52 第二章量子力学初体验和数学准备 也不复杂，对吧，我的世界特别干净，我掏出来什么就是什么，我掏之前它们还是这个。
理解这个两面的就不一样了，假设在这箱子里面的里头，它们自己是没状态的，只有捞到我手上才是有状态的，它相当于每一个东西是不是都是一个随机对象？ 那现在问经典的世界到底哪一个，每一个一面的还是每一个多面的？前者是我拿的过程中不知道哪了哪一个造成的随机，后者是每一个硬币本身是随机的。
这个问题在经典的世界里头特别简单，它都不是内秉随机性，而是我拿的过程造成的随机性，为什么？因为你可以认为两面不同的硬币，其实在我看之前，它们已经是某个特定的状态了，对吧？尽管有两面，但它总有一面已经躺着了，假设我掏的过程又不给它转，或者我转的次数是相同的，掏的动作是一样的，于是它看起来该是什么就是什么了。
那这件事情，使得我们对经典世界的理解特别地开心。
第一个层次是确定性的层次。
事情是如果是一个车或者一个月亮这种完全确定性的东西，我们更开心，我看见车在那儿，它就在那儿，它一点随机性也没有，特别好。
第二件层次是确定性由于信息不完整导致的随机性。
原则上，这样的随机性仍然是由确定性的东西导致的，只是我信息不够，才变成了随机性。
就好像这里的两种硬币，尤其是那个每个硬币其实都只有一种颜色的情况。
这样的随机性称为伪随机性。
这个情况我也挺开心，因为我也完全可解释。
唯一我解释不了的事情，很不爽的事情就是真随机性内秉随机性。
也就是一个随机硬币真的是没有事先摊好一面的，那么在我看它之前，它是既可以正面，又可以反面的。
而我看了之后，它只能正或者反的，这个事情我是理解不了的。
好像我观测这一个动作，我改变了我的世界，这怎么可能？这件事情跟我观测这个意义就不符，我观测的意思就是说我尽可能地使得你是什么样的，我看到的就什么样，对不对？所以，在经典概率里头，这么简单的数学，它仍然存在着这个问题，这个问题是什么呢？是纯随机课题，如果真的可以存在的话，我们是解释不了的，我们是理解不了的。
然后，我们目前是怎么来理解纯随机课题的呢？我们总是把它还原成伪随机性来理解的，就是说在我们看它之前，它其实已经有正有反了，只是不知道哪个正，哪个反，信息不够而已，然后你随便一抓，它才表现为看起来 2.5用这套符号来理解随机变量 53 的正反不同。
所以，就算是这么简单的经典的世界，它仍然存在着理解的问题。
这个真随机性的理解，还有另一个神奇的角度——多世界理论。
他说每一个随机变量在被观测的时候，这个世界都发生了分裂，听说过吗？叫平行世界。
就是每次我们对任何一个随机变量做观测，我们总是看到其中一个，对吧。
他说这意味着其实有另外一个可能的世界，在那个世界里头呢，你看到的是那个样子的。
这样如果把两个合起来，则回到真随机所描述的世界。
原则上，这样的世界还可以有很多很多个，只要显示为正面的数量和反面的一样多。
好吧，如果确实是可以这么来解释的话，没准能够使得我稍微好过一点。
但我不觉得它能好过到哪去啊。
由于有经典纯随机硬币的存在，我们的世界在每次观测随机硬币的时候，都发生了分裂，走向了不同的分支。
任何人的任何一次观测真随机世界都使得世界发生了分裂。
当然，电影里的平行世界就更神奇了，不仅走向了不同的分支，还可以从这个分支跳到那个分支，那是另外一回事。
但是，至少有人是觉得经典世界的纯随机对象的测量是想不通的事情的，企图去给它提供一个更好的解释。
我不是在这里卖这个解释是合理的，我只是告诉你说，有人觉得他想不通，我也想不通，但是我不觉得那个多世界的解释是必要的。
因为经典的世界本身就存在着这个问题，经典的随机变量在看之前和看之后，它会不一样。
当然我说了这个不一样呢，在经典的世界里头真的可以绕过去，绕过去的方法就是把它们还原成它，认为其实在你观测之前，它们已经成了这德性了，所以也就没问题了。
再说一遍，经典世界，经典随机变量的观测本身也是有问题的，只是由于永远可以还原成伪随机的东西，我们看起来好像没问题。
另外一个解决方法就是多世界理论，但是我不觉得它提供了任何一个新的东西。
在物理学里头，前面这个东西叫确定性的客观实在，就是说这个豆子或者是这个球在你不看它之前，它就是红色的，你看了还是红色的，这个就叫确定性的客观实在。
那这种叫随机性的客观实在，其本身是确定性的客观实在，仅仅因为信息不足，看起来好像随机。
这些对象的状态和状态的测量，我们完全能够理解。
但是，如果我们假装如果它是纯随机的，叫它随机性的客观实在，那么它在你看它之前是没状态的，不是正面，也不是反面，它只是正面、反面的几率都是12或者某个概率；但是，你一旦打开看呢，它就要么正面，要么反面。
这个对象的状态和状态的测量的理解是有问题的。
54 第二章量子力学初体验和数学准备 现在，说一下我自己对它的解释。
我说很简单啊：每次测量你只有一个硬币，一个硬币只能显示一个状态；如果你重复很多次，不正好就是一半的几率正面，一半的几率反面吗？所以，我认为不需要提供任何新的角度去解释这个随机硬币的测量，完全就是一个可以接受的事情。
当然你问我这件事情有多爽，我确实也不爽，但是这很显然啊，很简单啊，就是如果你观测一次嘛，就正面或者反面嘛。
如果你观测上几亿次，它其中一半是正面，一半是反面，不就这么个东西吗？它正好就是概率本身的含义啊，你非得说你测量干了什么，你问我这个问题干什么，我不回答这个问题。
经典的客体的测量就是这么回事，你拿过来，它可能显示为正面，再拿过来可能显示为反面。
但是，大样本的平均它一半正面，一半反面。
如果是更一般的
P，就是P的正面，1−P的反面，就这么简单而已。
当然，我再说过了，这是我自己的理解：无论经典确定性，经典伪随机性，还是经典真随机性客体的状态和状态的测量，都不需要任何额外的新的解释。
那当然总是有不爽的人，包括我自己也不是这么爽，那么总是有人会提供新的解释的，这个多世界解释就是其中之
一。
那将来我们在讲到量子现象的时候，会使得这个问题更加复杂，这时候你再回到我说的这个经典的解释。
也就是说确定性随机和纯随机的随机，无论从数学上，还是实验结果上，它都是完全不可分辨的。
物理学就是这么个东西，我们不管你理解起来有多困难，我们只强调数学上怎么描述的，测量出来有没有差别，这里是完全没有差别的。
为了使得你更熟悉经典概率论的线性代数的符号，我设计了几道，除了前面几道例题，还设计了几道作业题，希望你去完成一下，因为你只有经过大概三四个例子的练习，你才会发现这个东西特别容易看懂，要不然你会觉得它不容易看懂，就算你学懂了，也不容易看懂。
看懂的方法就是把它变成你自己的语言，顺便数学就这么一个东西，它就是用形式语言来表达你自己思想的东西，所以你得把它变成自己的。
也就是说以后当你看见右矢左矢的|↑⟩la↑的时候，你就知道了它就意味着向上态；右矢左矢的|0⟩la0的时候，你就知道了，它是显示为0的态，就这么简单。
然后怎么算呢？你就每次测量均值的时候，你就把这个ρ矩阵和这个A矩阵乘在一起，然后求迹tr(Aρ)就完了。
那怎么乘呢，乘的时候只要用上正交性，也就是⟨α|β⟩=δαβ这个公式。
其实，Pm=⟨m|ρc|m⟩也可以从tr(Aρ) 2.6本章小结 55 得到，只要选择A=|m⟩⟨m|就行。
我们来算一下：对于这个特殊情况， tr(Aρ)= ⟨s||m⟩⟨m|ρc|s⟩, s =δsm⟨m|ρc|s⟩, s =⟨m|ρc|m⟩. (2.49)(2.50)(2.51) 所以它整个就只有两个公式⟨α|β⟩=δαβ以及如果你要求物理量A在状态ρ下的均值，就是⟨A⟩ρ=tr(Aρ)。
只有把这两个公式变成自己的，你才可能做到我下面学的东西真的想明白的。
当然，我说了如果你觉得这实在是个挑战，你只需要学会量子的现象是怎么回事，为什么经典的解释不了就可以，也是可以的。
为了实现这个目的，你是没有必要非得把这套概率论的矢量的语言学会的，可以不学会。
但是，我强烈希望你学会，因为它真的很简单，它就是你以前所熟悉的硬币向上态和向下态的概率是P和1−P均值是多少啊这种问题的另外一套符号体系。
仅此而已。
所有的习题，我也在后面几页的PPT里头提供了答案，做完之后，你可以来对照一下，但是强烈推荐你在自己去算一下之前，不要去看答案，只有真的去算了，才能把它变成自己所熟悉的符号。
2.6本章小结 在这一章里面，我们感受了一下量子系统的行为的第一个例子——相机镜头的合适的镀膜可以增加光的透射率。
我们已经发现，在单光子的情形，经典波动光学不能解释这个现象。
经典概率论，也就是经典粒子的模型，也不能解释这个现象。
而无论经典波还是经典粒子，其背后都是Newton力学。
因此，我们发现，Newton力学解释不了相机的镀膜效果。
然后，在本章第二部分，在我们开始构建这样的理论可以解释这样的现象之前，我们做了思想上和数学上的而准备：我们讨论了什么是科学，尤其是数学建模和可证伪性；我们还学习了概率论的Dirac符号语言，概率论的矩阵语言。
最后，我们用这些学会的数学语言描述了经典对象的状态和状态测量。
我们发现，如果假设存在经典纯随机对象，则其状态的测量也是不太好用日常生活的经验来理解的。
但是，无论如何，其状态和状态的测量的数学描述没有任何问题：所给出的结果完全和实验相符。
56 第二章量子力学初体验和数学准备 再次提醒严肃的读者，完成一下习题，有助于熟悉这套数学语言。
第三章量子系统的行为 我们学习了概率论，以及概率论的矢量形式的表达之后，我们来做几个概率论的实验，然后再来做相应的量子的实验，看一看为什么前面是能解释的，后面是不能解释的。
将来，我们再来构建能够解释后面的现象的数学模型，也就是量子系统的理论——量子力学。
3.1窄门实验的现象 同样的这个箱子里面是红色的或者是蓝色的片子，这个是一个门，我们假设水平方向的是能让红色的过去，一会儿我会给一个竖直方向的，这个竖直方向的就意味着它能让蓝色的过去，也就是说它挡住的是红色。
我们看一看，这样的实验是不是能够用概率来解释，或者其实是反过来的，因为这个实验本来设计的，就是能用概率解释的。
我们来看一看这个实验是怎么回事，一会儿我来做量子版本的这个实验。
我随便拿出一个，我拿出一个向上的什么颜色就是什么颜色，这个向上的是蓝色的，那我要过第一个，我说第一个只能让红色的过去，所以它过不去，好了，那这个就过不去了，故事结束。
因为它就是这样一个片子，然后我再拿一个，我别又拿个蓝色的，我又拿个蓝色的，那没办法，它又过不去了。
终于有个红色的，我又拿了一个红色的，先来看过第一个片子，红色的第一个片子是能过的，对吧。
它肯定会跑到第一个片子的后面来，接着它会遇到什么呢？遇到让蓝色片子过去的，所以它过不去，因为它是要让蓝色片子过去的，好了，这就结束了。
也就是说，无论我拿到的是红色的，还是蓝色的这个片子，我永远没法过这一组门，那当然特别简单，如果你把两个都改成这个红色（水平方向）的呢？那就一半的可能是能过的，因为一半的你会拿到红色的片子，然后两个都拿成竖直方向的呢？那就同样是一半的是能过的，因为你有一半的可能拿到的是蓝色的片子。
57 58 第三章量子系统的行为 也就是说这个实验的结果是什么呢？结果就是单个片子有50%能过，两个片子如果一样的时候，有50%能过，两个片子如果垂直的时候呢，谁也过不去，这是这个实验的现象。
那么，反过来，本来我可以先告诉你们这个现象，然后我说我过的那个是什么，那你可以倒过来猜，按照你过的这个结果，你猜我拿上来的这个东西是50%向上，50%红色，50%蓝色的东西，这就是科学。
你先有个现象，再拿一个数学模型去描述它，后来发现，再重新做几百次实验，这个实验能得到验证结果。
神奇的事情是什么呢？我现在说，我要做这么件事情，我要维持这一对板是一个只让红色的过去，一个只让蓝色的过去，然后我说你能不能中间给我干件事，随便干，想干什么干什么，然后我得让这个片子，能从这边穿到这边来。
你想想你大概可以怎么做，你可以试试，你说第一个，我使得中间这个片子和第一片一样，不能过来，为什么？因为这两片相当于同一片，对吧，所以它跟之前的情景是一样的。
第二个，我使得中间这片和第二片一样，答案也是一样的，它也相当于这两个合起来是一片，两个一样的门，对吧？所以，它相当于同一个门，好了，这过不来。
也就是说中间我无论放什么样的门，它都是过不来的。
那么，我能不能放一个斜的呢？这种斜的方向的呢？这事不能干，为什么？因为我刚好抠的这个门的形状它是长方形的，所以它真的有个斜的方向。
可是你实际上想想，回到那个颜色，红色和蓝色，那斜的代表什么，它没法代表任何东西，这斜的它没法看作我这个时候的一个门。
因为它让一部分蓝色的过去，让一部分红色的过去是啥意思？在硬币的颜色这个事情上，我没法产生这样一个门。
那么有一个什么东西跟这个斜的很像很像呢，叫概率性的门跟它很像很像，但是一会儿你会看见它不是这个，什么意思呢？就说这道门，它本来没这个功能，这道门使得我这么过来，平着过来我也进不去，就是红色过来我也进不去，然后竖直着我也进不去，所以这道门它其实啥也干不了。
但是，它还可以看作一个什么事情呢？它说我看着一个概率性的选择的门，也就是说我这里有一个妖怪，那个妖怪我（要）干嘛呢？当我看到这个东西是红色的过来的时候，我以百分之多少的概率让它过，以百分之另外的概率不让它过。
当我看见蓝色的时候，我以Q和1-Q的概率让它过和不过，那两个概率不一定是一样的，也可以是一样的，对吧。
一样的就是说我都让，不管什么颜色过来，我都让50%能过，50%不能过。
所以，这个门它会有个什么效果呢？它需要上面站个妖，那个妖能识别我这个颜色。
识别完了之后，是不是这就能过来了呢？我们试试啊，就是选一个概率性的门。
第一个还是只让红色的过来的，第二个斜着，我假设来的是红色， 3.1窄门实验的现象 59 我能过第一个，我能不能过第二个？我以50%的可能能过第二个，但是我只要能过来，是不是它肯定是红的，这是测量后的状态的理论，对吧？一个测量，你观测之后，它马上去看，肯定还是这个状态，要不然这个测量就没有意义了。
也就是说当它到达最后一个这个方向的门的时候，它的颜色是什么？是红色，能过吗？还是不能过，所以就算你给我个概率性的门，我能够保证它能过来吗？过不来。
同样的，你让第一个蓝色的试试，蓝色的碰见第一个就过不来了，对吧？所以，也是都过不来。
我们增加了一个奇怪的概率性的门，可是就算有这个门，我们也不可能有任何一个硬币，能够从前面穿过来，除非它们是这种关系。
这个结论放在脑子里，非常的重要，这是经典的对象，你完全能解释的，你看见的行为是这个样子。
结论就是当你把前后两个，完全让它相互互补的时候，中间无论你做什么事情，你甚至允许概率门的存在，硬币也是过不来的。
我们现在来做一个让中间的这个振动，能够通过斜的传过去的实验，为了使得跟刚才的基本上一样，我们来重复刚才的步骤。
第一个就是所有的三个门相当于一个门的作用，它们都是一个方向，你看见什么呢？你看见我这个抖动能够非常容易地从我这边传到最远处，这就是第一个现象。
现在我们让第一个门变成直的，然后我们来看一看这时候传过去的振动会怎么样。
当然，由于这个缝宽，实际上还是有个实际的缝宽的，所以也能有小小的振动传过去，如果严格的就只能在这个竖直方向振动，而不能在水平方向振动的话，第一个门如果严格的是这么宽的话，那么远处的振动将完全没有。
但是现在还有一个小小的振动，可是你对比两个幅度来说，你会非常清楚地看见它们幅度上的差别。
现在的问题就是我们有没有办法，经过中间的那个门，这正好就是第一个门有个红色的球过去，最后一门只能让蓝色的球出来，它完全不能出球，对吧？现在我们放个斜的，看看能不能有东西出来。
我们把中间那个门改成斜的。
可以看到这个抖动的效果也已经完全不一样了，如果你仔细看这个抖动，你就会发现，在第一个门的时候，我的抖动可能还是竖直的，或者还是水平的。
但是，在第二个门的时候，它的抖动呢，它是这个斜方向的。
而由于第二个门是个斜方向的抖动，它这个第三个门，本来它水平方向的抖动，在之前第二个门还是水平（方向）的时候（是）很小很小的，可是这个斜方向的抖动使得我传过去的抖动，就要比刚才那个强很多很多，这就是中间那个斜着的门的效果。
然后你会发现很像很像我们刚才做的那个硬币的实验，颜色的实验，可是它结果完全不一样。
这是怎么回事呢？我们做一个跟刚才做过的颜色的实 60 第三章量子系统的行为 验完全平行的实验，但是结果完全不一样的实验。
在这个实验里头，我们每一道门，就是这个方向的槽，这个槽只能允许 这个绳子在这个方向振动。
第一个实验，我们看见我们有三个相同方向的槽，三个相同方向的槽就会使得我们的振动，基本上完整地被传了过去，所以那个振动是最强烈的。
接着，我们把第一个门改成竖直方向的门，这个时候，我这么去振动它，你看第二个门和第三个门的振动幅度，你就会发现它的幅度就小很多很多。
我也可以这么振，我这么振，第一个门的幅度很大，可是第二个门和第三个门的幅度很小很小，也就是说不管我怎么振，传到远方的振动总是很小。
现在我们来做一件神奇的事情，把中间的那个门换成一个斜的方向的门，差不多45度。
这时候你就发现它传过去的，比我刚才传过去的要大很多，如果你看得不是特别清楚，你可能把眼睛盯住那个门那儿，看它大概多少幅度在振动，可能会看得更清楚。
这个就是我们这个神奇的现象，经过中间那个斜着的门，你看本来是跟刚才的对比，一个挡住红颜色，一个挡住蓝颜色的，一个挡住一半红一半蓝的，它不可能有东西过去，对吧？但是，现在我们放个真的斜的门，竟然振动传过去了，这是为什么？好，谢谢大家！ 3.2窄门实验的解释 稍微来解释一下刚才这个实验，这个实验是怎么解释的呢？它是这么解释的，它说第一个门传过来的振动，就是一个这个方向的矢量，你把它看作这样一个矢量。
第二个方向的门，如果只有这个水平方向，那就是这么一个情况，也就是第一个矢量是这个方向的，然后问它有没有一个水平方向的分量，因为只有有分量，才能传过去，一会儿我再来解释为什么有分量才能传过去。
然后你发现它没有分量，所以只有前后两个门，没有
2 目录 第一章课程信息 15 1.1学习本课程的目的和所需要的基础...............15 1.2课程全貌.............................18 1.3为什么不能只靠“讲故事”学懂量子力学...........22 1.4其他学习材料...........................23 1.5量子力学只能被理解到哪里不能被理解.............23 1.6薛定谔的猫............................24 1.7费曼的三个秘密..........................26 1.8关于吴金闪............................28 1.9本章小结.............................29 第二章量子力学初体验和数学准备 31 2.1镜头——量子理论的第一个实验.................31 2.2论什么是科学：为解释实验现象做铺垫.............34 2.3概率论的基础：为解释实验现象做准备.............37 2.4概率论的Dirac符号.......................41 2.4.1Dirac符号和2×2矩阵运算，选读...........44 2.4.2操作和测量........................45 2.5用这套符号来理解随机变量...................50 2.6本章小结.............................55 第三章量子系统的行为 57 3.1窄门实验的现象..........................57 3.2窄门实验的解释..........................60 3.3窄门量子版：三个偏振片的实验.................61
3 4 目录 3.4三偏振片实验的计算与解释...................643.5偏振分束器实验解释.......................683.6光子到底从哪里走的？......................703.7单电子双缝干涉实验.......................703.8自旋的实验............................743.9自旋实验的解释..........................763.10多路自旋实验...........................773.11本章小结.............................81 第四章4.14.24.34.44.54.64.74.8 量子系统的数学模型——量子力学 85 科学家的科学史..........................85 矩阵、算符和本征态，选读...................88 量子理论的数学形式.......................91 量子理论的数学形式用于解释量子实验.............96 Which-Way实验的解释.....................101 概念地图形式的总结.......................106 量子态的演化，选读.......................108 本章小结.............................110 第五章5.15.25.35.45.55.6 拓展：纠缠和测量 113 双自旋系统关联态........................113 量子纠缠态............................115 量子计算.............................121 测量的含义：经典情况......................121 测量的含义：量子情形......................124 Die-hard教授的理论.......................128 第六章6.16.26.3 从本课程学到了什么 131 所学内容总结...........................131 我所期待的你的收获.......................132 最后的结束语...........................135 参考文献 135 名词索引 137 目录
5 人名与常用翻译 139 插图目录 140 举例目录 143
6 目录 献给 心儿、逸儿
7 8 目录 致谢 本书是“读书人”推出的《量子力学无基础入门》课程的讲稿版。
本书内
容上受吴金闪的《二态系统的量子力学》、Feynman的《Feynman物理学讲义》第三卷和Susskind的视频课程《量子力学》很大的影响。
而其中的《二态系统的量子力学》在内容和思想上受到Ballentine的《QuantumMechanics–amoderndevelopment》、喀兴林的《高等量子力学》、裴寿镛的量子力学课程、Affleck的高等量子力学课程非常大的影响。
在这里一并对这些深刻地影响了我对量子力学的理解的老师致谢。
感谢读书人逼我来推出这个面向大众的量子力学课程，感谢学习了本课程的学习者们，感谢本课程的编辑和助教。
感谢我的孩子们，吴逸兮和吴立心，你们给我很多的学习和教学上的启发。
感谢我的夫人冯倩对于我做各种探索的支持。
感谢我的岳母姚书君对孩子们的悉心照顾，使得我有更多的时间来做这些探索并完成本书。
本书的电子版可以从网页“吴金闪的书们”找到。
如果你是实体书的读者，需要输入网址的话，它是：/jinshanw/books。
9 10 目录 前言 帮助更多人学懂量子力学是一个巨大的挑战。
一方面，给物理系的学生开设的通常的量子力学课程需要复变函数、微分方程、原子物理学、光学的知识基础。
另一方面，量子力学的科普呢，基本上跳过了这些数学和物理知识的要求，就会导致对很多概念的理解不到位。
那么，有没有一种讲解量子力学的方法，能够在尽量少的数学物理知识的条件下，帮助学习者理解到位量子力学的概念呢？这就是本书的任务。
刚好，量子力学也是一个非常适合用来当做帮助学习者体会好什么是科学的课程。
通过学习量子力学，可以体会到科学家（至少物理学家）思考哪些问题、如何思考，科学研究追求什么，到底什么样的东西算科学。
甚至，通过量子力学的学习还可以体会到我称为“理解型学习”的学习方法，通过在已知概念的基础上来批判性地建构新的概念的方式，来让自己的认知结构成长。
因此，本书、本课程的目标包含：量子力学的基本概念，尤其是什么是量子现象、什么样的量子理论可以解释这样的量子现象、这个理论和经典物理（量子力学之前的物理，例如Newton力学）理论的最本质的区别到底是什么；从以上这些量子力学的基本概念的学习中，稍作提炼，帮助学习者体会好什么是科学；从这个基本概念的学习、什么是科学的提炼中，帮助学习者学会“理解型学习”。
那么，如何才能做到不太依赖于复变函数、微分方程、原子物理学、光学这些知识，就能大概把量子力学的基本概念，也就是上面那几个问题，学明白呢？其实，Feynman的《Feynman物理学讲义》第三卷、吴金闪的《二态系统的量子力学》和Susskind的视频课程《量子力学》在这方面都做了非常好的探索。
其核心思路就是，先学习量子现象，然后，通过尝试用经典理论来解释量子现象来发现，量子现象的解释需要新的数学结构，最后，基于二维空间的矢量运算、矢量和矩阵的运算的这套叫做“矢量代数”、“密度矩 11 12 目录 阵”的数学来构建量子力学，从而解释量子现象。
量子力学的这样的学习方式，只要求学习者具有二维空间的矢量运算 和矩阵的运算的数学基础。
但是，其实，这条学习量子力学的路，对学习者的思维深度和进行深度思考的态度和习惯的要求是非常之高的。
因此，本书和本课程所选择的这条路，尽管知识基础的要求比较低，但是，也并不适合所有人。
请学习者自己来谨慎选择。
从结构上，见图
1，本书分成几个部分：第一部分，量子系统的行为和这些行为的可能的经典数学模型的尝试；第二部分，线性空间的矢量和算符、Dirac符号，从经典概率论的密度分布函数到Dirac符号形式的密度矩阵；第三部分，量子系统的状态和测量，也就是用第二部分的数学来解释第一部分的行为。
从整体思路上，第一部分是发展量子理论的动机，第二部分是数学物理基础，而第三部分是量子理论的核心。
有线性空间知识基础的读者可以快速略读第二部分。
剩下的纠缠态和量子计算主要用于开阔一下眼界。
整本书，有一个主题贯穿始终，能不能用没有状态叠加原理的数学形式，来描述量子系统的行为，或者说，为什么量子系统的行为需要满足叠加原理的数学形式来描述。
也就是说，你只要牢牢围绕着“状态可相加”来学习和思考，你就能学懂量子力学。
希望读者在学习完了本书之后，第
一，了解量子系统的行为以及行为和满足状态叠加原理的数学形式之间的关系；第
二，思考和建立初步的对物理学（或者说科学）和数学的关系的认识；第
三，如果还能够对基于批判性思维和系联性思考的理解型学习有比较好的体会，就是额外有所得了。
目录 13 图1:本书的体系结构和大多数书不太一样，对于为什么量子系统的理论形式必须是基于矢量叠加原理（也就是“状态可相加”）的量子力学做了很多的讨论。
因此，量子系统的实验行为以及为什么经典理论不能解释这些行为在本书里面也占了很大的篇幅，而理论部分从“密度分布函数”到“密度矩阵”的转变以及转变的原因占了核心的地位。
通过这样的结构，我们希望读者除了了解量子力学是什么之外，还能够思考为什么量子力学会这样并对此形成一定的理解。
注意，我们整个课程都是围绕“状态可相加”的意思，为什么需要“状态和相加”，“状态可相加”了就会怎么样，来展开的。
14 目录 第一章课程信息 注意，我们的科普的目的永远不是给大家介绍科学知识，而是希望大家来欣赏和体验一下什么是科学，也就是科学研究什么对象，问什么样的问题，怎么做这样的研究，科学家大概怎么思考，科学对世界和其他学科甚至对“读者我”来说有什么意义。
因此，本书的这一部分绝对不是废话，而是给大家做好学习具体知识之前的心理、知识和意识的准备，从而是的学习更有目的和更有动力。
如果你仅仅想从本课程中获取一些科学知识，那么，本课程不适合你。
请你选择退课，以及把本书也退货。
1.1学习本课程的目的和所需要的基础 大家好，今天我要给大家讲的是量子力学，而且要做到基本上，你不懂得太多的数学和物理，就能差不多听明白，什么叫听明白呢？就是第一得知道量子力学它所描述的那些对象，它的行为是什么样子的。
然后有了行为之后，我们去看这个行为，大概可以怎么去理解，所谓的理解，一会儿我会告诉你，其实就是你用一套数学去描述它，并且会算，算出来的答案和它的行为一样。
那我需要做到的事情是让你明白现象是什么，用大概什么样的数学能够描述，以及为什么我们不用大家非常熟悉的经典力学，或者说一会儿会告诉你概率论来描述量子力学。
为什么要来讲量子力学这门课呢？直接的原因是因为大家对量子力学误解的程度实在太高了，比如说就有人说量子力学证明，人的意识和自然界的行为，和被观测的对象是直接相关的。
甚至有人说这个东西表示，跟佛学，是比量子力学更加高级的学问。
还有人说随着量子信息技术的发展，想去看一看量子信息技术到底是怎么回事，是如何能够帮助我们更好地，理解这个世界，或者有更好的生活。
如果有这个好奇心，这也是一个学习量子力 15 16 第一章课程信息 学的动机。
但是，实际上最最重要的事情，我想告诉大家的事情是从量子力学里头，我们可以体会到什么是科学，这一点比学任何其他的学科，都能体会得更好，而明白什么是科学，对于任何一个人来说，它真的具有一般的意义，因为科学原则上是解决，所有的能够描述现实，并且能够去改变现实的学问，原则上都应该是科学的事情。
也就是说我想明白这怎么回事，明白之后我想去看看，我能不能试着把它变得更好。
换句话说，所有的事情如果你企图，将来总有一天需要它去指导你的实践，那么原则上这个问题，应该是个科学问题。
当然，在现实当中，很有可能科学没有发展到那个地步，于是很多其实在指导实践的学科，它并没有完全的科学化，或者也是靠猜的、靠蒙的，或者甚至是靠信仰，你仍然可以用它来指导你的生活，指导你的实践，但这只是正说明科学在那个领域里头，它还没有发展到非常好的阶段，不表示它不是科学，原则上所有这样的问题都应该用科学的角度来回答，一会儿我会非常详细地，企图用量子力学突出什么是科学。
什么样的人可以来选这门课呢？我一开始在设计的时候，已经把基本上没有数学和物理的基础放在脑子里，可是实际上你会发现对于理解科学，任何一门科学来说，如果完全没有数学，我们是说不明白的，或者说你会觉得明白，但是你真的仔细去想一下你就发现，它不太容易明白。
所以，我在这里，要求你基本上具有初中的数学水平，初中的数学水平表现在两个方面，一个是你要能往前多想几步，也就是说，比如说在数学做证明题的时候，你能往前做两条辅助线，比如说这是已知的，这是要证明的，你能中间构造三四个步骤，从这儿证明过去，这是对你思维的深度和质量上的要求。
第二个你得知道什么是矢量，那什么是矢量呢？大概你在初中的时候学到过一些，比如说这是这个方向的，那是那个方向的，东南西北的，或者是什么这个斜的方向的，西北方向或者东北方向的，这个叫矢量。
更一般的呢，就是在一个表盘上，那个指针指向任何一个方位，那叫一个平面的矢量，你只需要知道这么多就可以了，在数学知识上。
数学知识需求总结：矢量有方向和大小。
然后最好还是有一点点物理知识，如果物理知识完全没有的话，那么，第一也是知道其实运动是分成矢量的，这样一个概念就可以，然后听说过牛顿第二定律，你甚至都不用会算，听说过的意思就是说，你知道物体的运动是由力造成的，而力作用在物体上呢，会改变物体的速度。
这个力呢，作用在哪个方向上，就会改变哪个方向的速度，知道这么多就可以了。
当然，如 1.1学习本课程的目的和所需要的基础 17 果我学过初中或者高中的力学，我不仅知道这么个概念，我还会算，那更好。
但是，如果你实在不知道物理知识，那这就是最起码的要求。
好，再说一遍，知道力是一个矢量，是分方向的，运动的、速度和位移也是个矢量，也是分方向的。
然后知道牛顿第二定律，任何一个方向上的力的作用，它会改变那个方向上的速度。
物理知识需求总结：知道哪个方向上有力就会改变那个方向的运动的速度。
然后有人说我不仅会这些，我还基本上学过了大学一年级的数学和物理，那就特别好，我就完全不用担心你的数学不够，数学和物理不够，因为在我们这里头真的只会用这么点数学，就是矢量，然后，运动的矢量性、牛顿第二定律。
我也给小学生讲过这门课的重点的部分，就是现象的部分，以及这个现象到底为什么用经典的解释不了，只是不去讲将来可以去解释它的那个描述，数学描述是什么，也就是说跳过最后一部分之后，小学生他也能想明白，甚至我记得有个小学生就问我说，就是我们一会儿会做男人、女人过三道门的实验。
然后有个小学生就说，为什么我们的光子是有这个实验现象的呢？而男人和女人是没有这个实验现象的呢？当然这个问题本身，一会儿我们会看到不是特别好，因为通常来说，科学家不回答这种“为什么它会有这个行为”这种层次上的为什么。
我们一般来说只回答这个行为到底我们怎么去描述它，但是通过这个问题，我知道了这个学生真的是把这个现象，两个现象的区别搞明白了。
然后呢，他只不过是后来问问题的时候呢，他企图去找这个现象为什么会有不同，而不是说描述它们这两套现象不同的数学会有什么不一样，这个不一样是由什么东西造成的。
那什么人不是我们这门课的对象呢？就是如果你真的只是为了学会几个名词，说将来跟人吹牛的时候，有更好的词，那么这不是我们这门课学习的潜在的对象，因为我们这门课的目标是使得你有些事情能想明白，以及明白什么地方想不明白，那这个要求是对你内在的一个驱动，也就是说你真的是为了满足自己的好奇心，对量子的现象感兴趣，或者是说我就特别想通过这个来了解科学家是怎么思考问题的，这些都是很好的目的，基本上我们能够达成。
但是，你要懂得一些词，然后不知道什么含义，就拿去用，这是我们不推荐的用法。
如何才能达成上面的目标呢？我们有几个要学习的具体的东西，通过学习它们，就可以实现自己的目标。
第一个要学习的东西自然就是前面提过的量子的现象，以及描述量子的数学模型，以及为什么这个数学 18 第一章课程信息 模型会长成这德性。
除了这个之外呢，剩下的问题更重要的事情是教会你一种叫做理解型学习的学习方法以及一种叫做批判性思维的思维方式。
什么是理解型学习呢？我先把这个词放在这儿，但是以后讲到具体的知识的时候，你会体会得更好，这个词叫做以学科大图景为目标的，以批判性思维和系联性思考为指导的，以概念地图为技术的理解型学习。
那什么是一个学科的大图景呢？就是明白这个学科是干什么用的，也就是说你要问这个学科典型的研究对象是什么，典型的研究问题是什么，典型的分析方法是什么，典型的思维方式是什么。
这个学科和整个世界以及其他学科的关系是什么，往往你会发现明白这个事情，比明白任何具体的知识要管用很多很多。
当然，当你脑子里没有具体知识和没有具体研究案例的时候，你想明白这个学科大图景也是扯淡，不可能的。
所以，一定要把知识和学科大图景结合，也就是说我们学习任何知识，原则上都不是为了学习那个知识本身，而是学会那个领域的研究者，他在想什么，他怎么想得，然后希望达成的目标是，有一天当我遇到也差不多和那个领域有关的问题的时候，我能把这个时候学会的这些思维方式用来解决那个问题。
至于批判性思维和系联性思考，进一步讲到具体内容的时候再解释。
顺便会讲批判性思维和科学，以及系联性思考和科学有非常深刻的关系。
数学和科学的关系，也会我们在这个课里头有所体现。
也就是说你学习完这门课，我们希望你拥有的事情，最最重要的事情是一副眼镜，这个眼镜能够帮助你去看透这个世界，以及你去戴上这副眼镜，去看透这个世界的好奇和愿望，这是最最重要的事情。
好，下面我们来介绍一下这门课所要学习的具体的知识上的内容。
学习态度和学习目标的总结：为了理解什么是科学，为了学会学习和思考的方法。
1.2课程全貌 第一个是量子系统的行为以及这个行为和经典系统的区别。
然后第二个，为了解释为什么经典系统描述的数学，不能来解释量子的现象，我们把经典系统的数学稍微地复习一下，其实也不叫复习，重新用另外一个方式表达一下，然后用这个方式来看看是不是能解释量子的现象。
当我们发现它们不能解释的时候，那么问下一个问题，到底有了，在经典的系统的数学形式上，加上什么东西就可以解释了，那个加上的东西到底是什么，我们也会解 1.2课程全貌 19 释这个加上的东西叫叠加原理，就是状态可以直接加起来这样一件事情。
当然，你现在不用明白，大概这就是我们这个主要的目标。
然后再往下，你一旦明白加上大概什么东西之后，下面的事情就是，好吧，我来试试把这个东西真的加到原来的数学里头，是不是真的可以解释这个现象了呢？这是课程的第二部分要解决的事情。
我们的重点是放在前一个部分，对于绝大多数的听众来说，我们只要完成前一个部分就可以了，也就是知道量子的现象以及为什么经典的数学模型不能来描述量子的现象。
但是，对于其中少数的这些听众，他有能力或者有这个意愿去搞清楚，到底这个态叠加原理是数学上长什么样，为什么加上之后就可以解释量子的现象，这是第二部分要完成的内容。
一旦完成第二部分内容之后，我们就可以继续来看一看，比如说类似于量子信息、量子计算，这里我取的一个例子叫做量子态的远程传输当例子，来看一看这些新加进去的数学是怎么帮助我们发现量子力学它奇特的地方，甚至在具体的场景当中，如何让这个奇特的地方发挥与众不同的作用。
这张图是前面所说的主要内容的另外一种呈现方式，叫概念地图。
就是你把各个重要的概念以及它们之间的关系画出来，在这里我们会发现，最主要的事情就是量子的现象以及量子的理论，以及为什么这个现象会需要这么一个量子的理论，下面会写下来告诉你说，有哪些量子的现象呢？实验
一、实验
二、实验三等等等等，以后我们会沿着这个具体实验展开。
接着我们会告诉你，说这个实验现象到底在什么地方不能由经典的解释，那么这个解释在量子的里头会成为什么样，从中间你可以看到一个非常关键的词叫做相干叠加，或者说状态可加性。
关于这个状态可加性，稍微提前先解释一下，通常的加法加的是什么，所谓的状态可加性加的是什么。
比如说我们可能一开始学数学的时候知道，通常的加法有苹果数量的加法、铅笔的数量的加法，这样的加法它加的是什么呢？其实它加的是事物的某种属性的量，它不是加的是事物本身。
比如说，当我们把一个苹果加上另外一个苹果的时候，我们知道它是两个苹果。
一个铅笔加另外一个铅笔，等于两个铅笔，这个时候我们其实是把所有的具体对象忘了，把它抽象成数，以后再做的加法。
如果你懂得一点点集合论，你就知道原来带着东西的叫苹果的集合，然后，另外的叫铅笔的集合。
现在呢，你不直接对集合里的元素做加减乘除，你加减的是什么呢？你加减的是那个集合的大小，所以一个苹果加一个苹果的时候，那个集合的大小变大了，所以叫两个苹果的集合。
20 第一章课程信息 如果我真的想要一个状态的加法，事物本身的加法，我该加成什么样呢？就是有个苹果，加个苹果，它等于一个大苹果或者等于一个小苹果，或者按量子力学的说法，以后你在实验当中会看到它等于一个香蕉，这叫事物的加法，叫状态的加法。
或者说如果我站在这儿，站在这儿，我把这两个状态加起来，我该是什么状态呢，你说我是不是用一下我初中所学的这个矢量的加法可以加，好，你可以凑合着试试，那也就说我以某个地方为原点，然后我把这个状态写一个矢量，我把这个状态写另外一个矢量，我把这两个矢量加起来，我有可能在那儿。
你想想在现实当中，你见过你站在这儿和站在这儿合起来的效果，相当于站在那儿这件事情吗？这是不可能的。
所以，通常的矢量加法也不是矢量状态本身的加法，位置本身的加法，而是位置所代表的那个值，是用来指代位置的那个矢量的值的加法。
还有一个稍微更复杂一点的加法叫做概率性的加法，回到我刚才说的站在这儿和站在那儿的例子，也就是说我既可能站在这儿，也可能站在那儿。
同样的道理，你发现它和我站在遥远的那个地方完全不是一回事。
所以，就算是概率的加法，它也是两个数量的加法，只不过它不是把这两个数量加起来，而是把这两个数量背后所指代的那个概率的值加起来，也就是说，如果我以0.1的概率在这儿，以0.2的概率在这儿，你问我，我以零点几的概率在这儿或者在那儿，这个时候你是先把那个集合里的元素合起来，然后把每个元素的概率加起来。
也就是说你永远不对这个集合里的元素真正做加法，要么是对这个元素的某种属性的值做加法，要么是对这个元素上出现的概率做加法。
这个叫概率相加，或者是数量相加，也就是说通常的加法它不是状态的加法，不是事物的加法。
以后我们会遇到事物的加法，例子就是一个苹果加一个苹果等于一个香蕉，你现在想想会说这是不可能的，对吧？那我们以后会遇到，什么样的情况会使得你的世界，变成苹果和苹果加起来得变成香蕉，两个苹果加起来啪地一摁，它真的成了一个大苹果或者成了一个香蕉，这个加法是最最关键的事情。
从这个角度来说，整个课程的目的就是帮助你看到这一点——量子系统的行为导致其数学描述必须允许事物的加法。
注意，这张课程鸟瞰图是有网络的版本的，在这个PPT里头，同样这个PPT也在网络上，我会把网络上的访问的网址发给大家，分享给大家，而且这个图是可以点击的，你看见里头有很多小小的符号，比如说一个图的符号，一个概念地图的符号，你点进去可以进一步展开，例如在这里就有什么是科学，你点进去就会进一步给你解释什么是科学。
也就是说这张图，其 1.2课程全貌 21 实完整地组织了我要讲的所有的内容，和整个这个PPT是完全等价的，一模一样的，甚至从某些信息的角度来说，这张图可以更好地使得你建立起知识之间的联系。
顺便，这个就是系联性思考，也就是说当你学习任何一个东西的时候，你永远是把它找到它最合适的位置，什么叫最合适的位置呢？就是从概念上来说，跟它联系最紧密的其他的概念，然后像拼图一样，把它插到那个最合适的位置去。
上面的所有的具体的知识的内容，我说了对听众有很高的要求，对不同的人可能有不同的效果，哪部分到底适合什么样水平的人来学习呢？第一部分，量子的现象的部分是真的不需要任何基础的，只要你的思维的深度稍微的深一点，能够跟着我一起想下去。
第二部分经典理论的数学形式，你大概需要懂得概率是怎么回事，懂得概率的均值是怎么算得，比如说举个例子，如果一个硬币它的状态是正面和反面两个状态，然后这个硬币是完全无偏的，你得大概明白差不多它以21的几率会出现正面，以12的几率会出现反面，这个明白就可以了。
接着还要明白什么呢？就是我如果说去参加一个以硬币为基础的赌博，我说如果它出现正面，你赢一块钱，否则你输一块钱，那么这个时候你可以把那个均值算出来，这个均值就是12乘上1加上21乘上−
1，它等于
0。
或者说如果那个−1我改成−100，那就是21乘上1加上12乘上−100等于多少多少，你只要会算概率以及概率的均值，这么简单的数学就可以了。
一般情况下，小学基本上就是明白的，为了保险起见，你有初中的知识的基础那就更好。
然后，如果你从这点关于概率的知识开始企图去描述量子，我会启发你说，这里头缺个什么东西。
你领会到大概缺什么样的一项，那也不需要有太多的基础。
需要基础的事情是真的那个缺的东西，也就是我们前面提的状态相加。
你把那个缺的东西真的把它用数学表示出来，并且用来解释这个现象，这部分要求比较高，大概需要你高中阶段的数学、物理的知识，或者说如果你是初中的话，那你的数学、物理都学得比较好才行。
然后我们会用前面学过的这些理论以及现象，来试着解释一下量子信息，比如说我举的远程传输的例子，这个时候就稍微地复杂一点，你必须把前面的这些都学会，才能听得明白，为什么量子的状态相加可以用来帮助你实现状态的远程传输，这是比较难的地方。
22 第一章课程信息 1.3为什么不能只靠“讲故事”学懂量子力学 一个解决这个难题的方法是你本来就有大学一年级的数学、物理水平，那完全没有问题。
那另外一个方法就是你真的把我前面所讲的这些都学会了，也就是说不管你是小学，还是初中的水平，你把前面的这部分都跟下来了，这也会没有问题。
为什么一定要坚持这种数学和科学的讲法，而不是给你讲故事就可以呢？原因是因为量子力学真的理解它非常非常地困难，一会儿我会给你展示几个量子力学它本身的创造者说的关于量子力学的理解的说法，所以一旦不用数学，我说话就得非常地小心翼翼，我说的任何一句话，你都可能做多重的解释，而其中大概只有一种解释才真的是我所指的意思，所以没有办法，我只有用明确的符号体系去代替它，而不用自然语言来表达量子力学是什么。
当然你说我学完了，可能我也就知道了量子现象是什么，大概模模糊糊地知道了它不能用经典的数学来解释，后面的完全听不懂，那也没关系，你需要一种能力，这种能力叫做你把具体的我讨论的知识和问题忘了，但是抓住“我为什么要来讨论这些问题”，“为什么要企图这么做”，也就是说整体的思路如果你能把握，当然我说了这很难，因为一旦你不懂具体知识的时候，整体思路真的是件难的事情，可是也不是做不到。
那么这个时候，你也有一个收获，这个收获是至少明白了物理学家是在做什么事情，怎么想得，那这个也是有意义的。
这样的课程和一般的量子力学有什么不一样呢？一般的量子力学呢，要么就是用纯语言的给你讲故事，这个时候我说了，这个产生错误理解的可能性非常非常高。
还有一种是正式的物理系的量子力学课，他们是怎么上的呢？它会告诉你，上来就告诉你波函数是什么，然后波函数和概率怎么建立起联系，接着告诉你这个波函数是怎么演化的，它的演化方程叫做薛定谔方程，如果有机会我们也会提到。
然后，你学了这个演化方程，又学了波函数之后，下面你干什么呢？给你一堆问题，这堆问题呢，你就去求解，薛定谔方程把那演化的波函数的初态给了以后，把末态求出来，然后去做测量，整个学会的是这样一套东西。
学会这样一套东西以后，因为它是非常直接和正面的学习，而不是去构造一个逻辑的链条，让你明白为什么非得这样，所以呢，你能学得会，来一个量子力学的问题我就会算，可是我想不通这个理论到底告诉了我什么，这个理论到底为什么长成这样，为什么我不换一个以前我就知道的理论来解释。
所以，我们的目标是不一样的。
当然，如果说是真正的一门好的量子力学课，它应该这两个问题都解决，既教你薛定谔方程和将来怎么算，能够用它来解 1.4其他学习材料 23 决物理学本身学科的现象的描述的问题，还能让你明白这个理论为什么得长成这个样子，每一个计算都告诉了我们什么事情，这个理论有哪些地方是想得明白的，毫无问题的，有哪些地方是真的想不明白的，而且是可以想不明白的。
1.4其他学习材料 除了听这门课之外，如果你想进一步的学习，或者有些你认为没有太讲明白的，想需要更详细的，如何把它自己想明白的，关于这门课的内容，有其他的学习材料，我推荐一下。
第一个是我自己写的书叫《二态系统的量子力学》[?
]，第二个是《Feynman物理学讲义》第三卷[?
]，这两个都是非常推荐的材料。
然后，关于学习方法，你也可以看一本我写的另外一本书叫《教得更少，学得更多》[?
]。
除了这门课之外，或者说这门课一定程度上，其实偶然地非常和另外一门课很像很像，“偶然地”是因为在我设计这门课之前，我并没有真的去仔细琢磨人家那门课，但是后来我设计完课程之后，我才发现其实在整个精神上和内容上都有非常非常相似的地方，那门课叫Susskind《量子力学》公开课[?
]，这个你可以在网上找到，也非常的推荐，不过那门课是英文的。
所以，从这个角度来说，我所讲的这门课只不过是使得那个英文的课能够让你更加容易地听懂而已。
当然，你也会发现真正的，尽管知识的内容一样，但是为什么而教它，以及侧重点，以及对问题细致的解释还是有很多不一样的地方的。
这门课有一个简化的版本，其实也不叫简化，就是针对大学三年级以上的数学和物理水平的人讲的版本，叫《系统科学导引》[]，里头专门有一节是关于量子力学的。
然后，其他的学习材料，在需要它的时候，我会进一步提供。
1.5量子力学只能被理解到哪里不能被理解 我们前面说了量子力学是一个连它的创造者都不觉得它是能理解的东西，那说这些话的人有几个呢？比如说据谣传，但是我确实在某书上见过这个说法，Schrödinger快去世的时候，他说他这辈子最后悔的事情就是创造了量子力学。
Schrödinger是方程的创造者，整个量子力学的缔造者之
一。
还有人拿着这个问题去问Feynman，Feynman说如果大家说，有一个说法叫做 24 第一章课程信息 相对论没几个人搞得懂，然后，当年另外一个科学家，大概是还是谁说，全世界能够搞懂相对论的人就是两个半，他说他自己算半个。
Feynman就拿这个例子来做对比，他说如果说相对论是两个半搞懂的话，那么在他发表出来之后，后来就有12个或者更多的人搞懂了，当然也不是特别多。
但是，你把这个问题问量子力学，他说他不相信有任何一个人是搞懂了量子力学。
量子力学的另外一个缔造者是怎么说的呢？他说“如果你没有被量子力学痛苦（震惊）过，那么你就是完全没有明白量子力学”
1。
我的量子力学的启蒙老师name:裴寿镛是怎么说的呢？他说“不学量子力学，你的人生是不完整的”。
然后，我这门课的副标题就是这个，就是“给你一门量子力学，让你的人生更完整”。
所以，我们下面要做的事情就是让你跟我们一起痛苦，一起面对特别困难的问题。
然后希望我们讲完之后，能够解决你的一部分痛苦，然后承认另外一部分继续可以痛苦下去，这就是这门课的目标。
那这样的学习方式和通常我教你一堆知识真的是不一样的，我管它叫体验式、创造式、启发式的学习，也就是说你会跟我一样，一起来学着当年的这堆创造者们，一起来面对量子力学的问题，一起来问这个现象到底是什么，为什么这么奇怪，我到底怎么描述。
这件事情非常地不容易，我们看看效果。
1.6薛定谔的猫 在讲真正的量子力学知识之前，我把所有的量子力学是什么，给你用一个特别简短的例子先告诉你。
最著名的例子就是一会儿我要讲的光过玻璃的例子，还有你可能听说过的薛定谔的猫的例子。
这个简短的例子我们先讲，完了之后，我们会花一段时间来学习一下最基础的数学，接着再回到更多的量子的现象，为什么它们是不能解释的，因为这时候有了基础的数学之后，你能更深刻地体会到为什么不能解释，最后我们再来说真正解释它的理论大概长什么样，然后，最后的最后我们会说我们已经有了这个数学描述了，我们来看一看类似于量子状态远程传输这种量子信息，和量子计算的现象是怎么理解。
薛定谔的猫，它对比的对象是硬币，一个硬币它有正反两个状态，那么就算你把这个硬币变成一个很多很多面的，甚至变成连续的状态，也就是比如说你把十个硬币捆在一起，那么这时候它的面就有可能是第一个向上，第二个向下，第三个向上，第四个向下等等这种组合。
它只不过是一个具有更 1”Anyonewhoisnotshockedbyquantumtheoryhasnotunderstoodit 1.6薛定谔的猫 25 多的状态的一个分布函数，也就是每个这个状态上它都会有一个概率，那么就算是连续的呢，比如说一个x，这个x从−1到1都是可以连续取值的，那么它将来呢，只是在每个x值的情况下，有一个小小的概率，其实概率不是一个准确的词，有一个小小的概率密度，但是无所谓，你就先把它按照概率去理解。
那么，这样的东西有个什么特征呢？这个特征就是不管它概率长什么样，我如果对它做一次观测，我只能得到一个确定的值，也就是说，比如说现在有两个硬币，两个硬币它的状态我不知道，但是我只要打开盒子一看，我知道这两个硬币必然是，比如说两个都向上，或者两个都向下，或者这个向上，这个向下，或者这个向上，这个向下，反正这四个状态之
一。
那这件事情本身呢，如果你仔细想的话，其实还挺奇怪的。
因为一开始这两个硬币，我们不知道它是什么状态，打开之后呢，它就成了一个确定的状态，尽管那个确定到底确定到谁身上，那四个里头哪一个，我不知道，可是它肯定是一个确定的状态，一会儿我们再来说这件事情到底是怎么理解的，先把这个放在这儿。
薛定谔的猫是什么东西呢？它是说类似的，你把猫呢，连着一个会发生量子衰变的一个仪器，只要它衰变了呢，那个猫就死了，它就会放出毒素，如果不衰变，那个猫就是活的。
现在问，如果你打开会发生什么呢？那个猫要么就是死的，要么就是活的，这不神奇，对吧？你可以把这个猫看成一个硬币，也就是说如果这样来看的话，你完全可以用硬币来描述薛定谔的猫。
但是，神奇的事情是什么呢？你接着逼问自己说，在你打开之前，那个猫处于什么状态？如果它真的是个猫，它肯定是跟硬币是一样的，于是你就问自己，一个硬币放在这儿，它可能正面，可能反面，在你打开那个盒子之前，你觉得那个硬币是个什么状态？那个硬币肯定在那之前，它就已经是要么正面，要么反面的状态了，这就是硬币。
也就是说你扔一个硬币，再把它盖住，在你打开你的手之前，那个硬币的状态已经确定了。
这样的解释，这样的关于随机现象的理论叫随机现象的确定性的解释。
为什么会出现随机呢？是因为我们信息不够，就是说我们抛这个硬币，并且盖住的这个过程，有太多的信息，你的脑袋是抓不住的，但是原则上它是确定的，因为如果它是个万能的上帝，它是知道所有的风的情况，引力的情况，以及你手盖过去的那个角度，它的状态到底正面、还是反面向上是完全确定的，你只要按照这个理解，那么打开看这件事情呢，它不做任何行为，因为在你打开之前，它已经被确定了它是向上或者向下的。
这个确定性，加上信息不完整的解释，是你觉得最舒服的关于经典现象的解释。
那么我们想 26 第一章课程信息 想是不是将来那个连着一个衰减的量子，衰减的仪器的那个猫是不是也可以这么解释呢？如果可以，那就没什么可奇怪的。
所以，在我真的介绍数学之前，我已经把所有的量子力学告诉你了，告诉你的事情就是说，如果它将来所有的对象都像硬币一样的话，那么丝毫没有任何问题。
我们下面要告诉你的事情就是，哪些现象它长得不像这个硬币这样，不像硬币这样，我们又可以怎么解释，是不是稍微拓广一下经典的数学模型，换一个解释，我就可以来描述量子呢？还是说我整个数学都得变？我下面要给你们讲的具体知识，只不过就是我这里给你们介绍的什么是量子力学的具体例子的展开。
1.7费曼的三个秘密 好那下面所有的信息都是告诉你，到底哪些现象会看起来超过一个硬币所能描述的范围，而硬币呢是非常舒服的，确定性的现象加上信息不完整导致的。
除了具体的知识，我们再来说一下学习量子力学更加一般的意义，我这里分享Feynman所说的三个事情，第一个事情叫做，Feynman自己管它叫学习物理的小秘密，他说物理学得越高，就越“Advanced”，就叫高好了，那么它其实就越简单。
什么意思呢？就是说你在比较基础的物理学习的时候，你会发现物理太复杂了，有很多很多的数学公式，有很多很多的概念。
但是，你越往上学，你会发现它的概念越来越少，它的数学公式越来越少。
那当然现在还没有实现整个一个公式就解释所有的物理，但这是我们的梦想，就一个公式，一个概念包含所有其他的东西。
没准有一天会实现，已经非常接近了，就剩下引力了。
那么，另外两个Feynman分享的学习的技巧是什么呢？第一个，他说对于学习知识来说，你千万不要满足于知道那个东西的名字，而是得知道那个东西它本身是什么，而本身是什么要从这个东西和其他东西的关系里面得来（后面关于关系的半句是我补充的）。
当年，这个故事，在他自己的书里是这么分享的。
他说有一个小孩儿给了他一只鸟的图，就问他这个鸟是什么鸟。
然后Feynman说我不知道，那个小孩说：哇，你爸爸怎么什么也没教你，然后Feynman就说其实我知道名字，但是我拒绝回答这个问题。
我的爸爸是怎么告诉我的呢？我爸爸告诉我说这个鸟在英语，比如说叫什么什么，在日语叫哇卡哇卡，在中文叫什么莫沙莫沙，等等一堆名字。
他说，现在就算这些名字你都知道了，你知道这个鸟的什么吗，你还是什么都不知道。
如果你真的想知道这个鸟，你怎么办？你去看看那个鸟它在做什么，它吃的是什么，它跟什么样其他的鸟是竞争关系，它跟什么 1.7费曼的三个秘密 27 样的鸟是朋友关系，它跟什么样的鸟又比较像，这时候你就把这个鸟定位在整个生态当中，又明白它和自然的关系，这个就是知道一个东西的名字和知道一个东西是不一样的。
同样的，我也想分享一个我小时候的故事，我小时候就特别不懂事，老是说真话。
其实，现在也是。
有一天，有一个妈妈抱着她家小孩，抱过来说我家小孩能算1加1等于2了，特别自豪，我们就起哄说演示一下呗。
妈妈是这么演示的，某某某1加1等于几啊，那小孩说
2，特别自豪。
妈妈就这样转一圈，特别自豪，准备出去了。
然后我那时候特别不懂事，就站起来说，我说某某某“1”是啥意思，“加”是啥意思，“2”是啥意思，“等于”是啥意思。
然后那小孩挂了，因为那小孩大概我记得是两岁左右，确实是那时候能算1加
1，真的能算的话，还是很厉害的。
但是，你会发现他是怎么学会1加1的？他学会的办法是，有人问他1加1等于几，他如果答了不是
2，啪打一下，答得是
2，给一块糖。
这不是练小狗的方法吗？练着练着你就学会了。
其实你仔细想“1”这个概念本身就不容易，它不是具体的数量的
1，而是指描述之于各种各样的东西，它都可以有一个单位
1。
“2”是什么呢？两个在这种单位下的东西，比如说两双袜子。
这是一个神奇的事情，两双袜子实际上是四只，但我们为什么叫两双，因为我们改变了单位。
所以，数数这个事情本身就是一个，1和2这两个数数的东西，本身就是一个非常深刻的东西。
然后，“加”更加不知道什么含义了，“加”是把同样性质的东西合起来数一数，你只有明白之后，你就发现加法很简单，还是数数，因为同样性质的东西合起来数一数。
接着那个“等于”是什么更复杂，你想如果你真的认为等于就是相等，我这么答，一加一等于几？等于一加
一，这有啥错？所以，“等于”它其实还不是含义完全相同的意思，而是说含义要一样，但是呢，通常的结果要表示起来更简单，这叫等于。
哇，你让一个两岁的小孩明白这个，你觉得能吗？我觉得我去教都不一定教得会，所以抱着一个孩子说，我知道1加1等于
2，那个就（像）是，跟那个有一匹马说，它会算加减乘除，对吧。
那个故事就是讲它踢呀踢呀踢，它每踢一次就会等着大家爆出来的掌声，只要它听见掌声了，它就不再继续踢了。
狗和马都是这么练出来的。
Feynman分享的第二个学习方法，也就是Feynman分享第三点，是什么呢？他说用你自己的话举个例子说一说，这个我就不展开了，这也是非常非常重要的学习方法。
我说这些是为了告诉你什么呢？就说你学习量子力学这个东西来说，它 28 第一章课程信息 真的非常具有一般的意义，你在学它之前，可能没想到这个“加”是这么深刻的一种东西。
而只有学了它之后，你才会明白通常的加法和状态的加法真的是不一样的，然后你才会明白人类对于“科学到底是什么?
”的这个底线到底在哪里，科学真的不是直接就告诉你这个东西是怎么回事，怎么样的，而是找到一个能够描述这个现象，算出来的结果和实验一样的一个数学模型，以及构建出来这样的一个模型的方法，也就是科学研究方法。
而且，我们没有必要使得我们的模型描述的东西和你看见的东西真的是一模一样的东西，这个问题我们拒绝回答，我们只回答是不是你按照模型算出来的结果，和将来我做个实验的结果就是一样的。
而这些底线上的挑战，你真的只有遇到像量子力学，这种你想起来就头疼，就不可能理解，很难很难理解的那些这样的问题，你才会意识到原来你对这个世界的绝大多数的认识，你大多数的学习方法和别人教你的东西，都是需要仔细地通过理性去重新批判，重新审视的。
所以，不管是哲学家、教育家，还是科学家，还是数学家，都是非常非常有必要来学一下量子力学是什么的。
1.8关于吴金闪 介绍完整个课程之后，稍微地来介绍一下我自己。
我自己是物理学的背景，理论物理学，就是那个最没用的学问的那个学科。
由于学习理论物理学，就一不小心学了很多很多次的量子力学，比如说在北京师范大学学过两次，在一个叫SFU的大学学过一次，在UBC的时候学过三次。
其中UBC的三次中两次是物理学家教的，一次是数学家教的。
场论忽略不计，纯粹量子力学这么多。
那场论学过几门呢？大概学过三门、四门，所以我可能是迄今为止学量子力学次数最多的人。
然后，有了这个不同的被教的经历，再加上我自己做一点关于量子力学的研究——忘了说我到底做什么的，量子输运、量子力学、博弈论、系统科学、科学学、教和学的研究等各种感兴趣的问题——有了这个不同的学科的研究的背景，再加上被教了很多很多次量子力学，我就更加地深刻地能体会到如果作为一个一般的人，也就是说不是一个专业为了研究量子的人，如果想来了解一下量子力学，他到底最关键的是什么，所以这门课就是按照我自己的成长的经历，研究工作的经历，然后重新地梳理出来的结果。
更多的关于我自己，再跟大家分享几句话，这个叫“LivetoMakeADifference”，就是活着就是为了使得，就是为了做出点不一样。
第二个叫 1.9本章小结 29 “BeAmbitious，BeDetermined”，就是要有野心，而且要坚持去做，向着你认定的目标去做。
第三个叫“WorldSpinsonDreamersLikeYou”，世界是因为你而转的，没有你它肯定没有转得像现在这么漂亮。
“SeeThroughConnections”，你要穿过这个联系，把事情看透彻。
“TeachLess,LearnMore”，教的更少，学得更多。
那到底教得更少，怎么可能会学得更多呢？就是因为我们前面提到的理解型学习，也就是说我们不是为了学知识，学知识是为了体验到这个学科是研究什么的，大家是怎么想的。
而学完这个之后，你自己再来学习其他东西，你就很容易地去拓展你的知识。
“LearningforUnderstandingTheWorldandOurselves”，就是学习是为了理解这个世界和发现你自己，学习真的不是为了使得我将来去找一份好的工作。
当然，如果它是我学习的副产品，那也是可以的。
顺便有另外一个，好像是加州理工CIT的一个开学典礼上的说法，一个教授说的，他说学习就是给你一个欺骗自己的理由。
你觉得好像自己找到了人生目标一样，这就是学习最重要的目标，发现自己最善于干这件事情，最喜欢干这件事情，觉得我的生活有了目标，于是日常生活当中那种什么六点要起床，要开两个小时的车，每天回去还要做饭，还要接孩子等等所有的，还要被老板批，对吧？所有的这些东西全成了微不足道的事情，因为你有了足够欺骗自己的理由，说我真的是为了我喜欢的事情而在奋斗。
最后一个叫做“不要教我事实，让我想一想，不要教我知识，让我自己去学习”。
这个事情更多的是对教育者的忠告。
这是真的，这个信息和知识爆炸的时代，我们是不可能把所有的知识教得完的，那我们需要教会孩子们的是什么呢？真的是去探索，去学习，去思考的方法。
你记住这么多事实，是没有用的，所以我下面要给你讲的所有的量子的实验，都不是希望你记住量子实验的事实，而是用来体会为什么经典的不能解释这些实验。
另外，关于这个怎么教和怎么学的问题，如果你有兴趣，你可以关注一下一个叫“为理解而教和学”的公众号。
1.9本章小结 这一章主要介绍了课程的内容，课程的目的，课程建设背后的理念，课程学习要求，从课程可以学到什么，以及课程主讲人的一些信息。
我们特别强调了从学习量子力学的过程中，体会到什么是科学，什么是数学，以及体会到理解型学习的学习方法。
再次请我们的读者谨慎选择，本 30 第一章课程信息 课程对你的思维深度要求高，学习态度要求高，不一定适合你。
当然，如果你决定留下来试试这个挑战，我们非常欢迎，也祝愿你真的从中学到东西。
第二章量子力学初体验和数学准 备 我们终于到了真的开始讲量子力学的具体知识的时候了。
然后，通过大纲，你会发现，当然实际讲的肯定不可能跟设计的大纲的时间一样，但是你会发现我们会把主要的精力就放在下面所要讲的这四五个不同的实验上。
好，我们来讲量子力学的第一个实验。
2.1镜头——量子理论的第一个实验 第一个实验呢，需要你回去看一下你家的照相机的镜头,或者你的手机的镜头，现在大部分手机的镜头也是镀膜的，所以你能看得出来，它们是带颜色的。
那为什么要给照相机的镜头镀上颜色呢？你想如果是个照相机，它肯定希望光进入的越多越好，当然有的时候，你想把某些光过滤掉，把另外一些光放进来越多越好呢，它会再加上个滤镜，或者镀一层特殊的膜，反正它的基本的方法就是加更多层的膜。
这事不对啊，为什么？你想让更多的光进来，然后你的方法是给它镀一层膜，实在不行，再镀一层膜，现在大部分复杂的镜头都是镀了很多很多层膜的，这真不对呀，为什么？因为每镀一层膜，它就增加了一个光的反射界面，这个是光的反射的时候就学过的，如果你还有印象，就知道是有一个东西叫反射率和透射率的，也就是说每镀一层膜，它透过去的光会更少，你如果没学过这个知识，你就设想一下，你家有一个什么筛东西的筛子，然后你说我给它加更多层的筛子，然后还希望它通过的沙子越来越多，这是不可能的事情。
你每加一层这种过滤的装置，它总是要过滤掉一些东西，然后让透过去的东西更少。
那这是怎么回事呢？画出来图就是这个，这个图就是一个玻璃，上面有一个入射光，这有一个反射光，然后这个入射光，它会继续到 31 32 第二章量子力学初体验和数学准备 达玻璃的下一层，接着再一次发生反射，最后透过两层反射界面的那个光呢，才是透射过这个玻璃的光。
那实验上做出来，取决于这个玻璃的厚度，这个玻璃就是相当于我们现在的透射膜，取决于这个玻璃的厚度，它可以使得这个光以完全通过的形态，或者以最大反射的形态，最大反射的形态，假设比如说举个例子，假设我们每一层是4%是要被反射走的，那么它最大被反射走的状态，它可以做到16%，就说0%和16%的反射光都是可以的。
也就是说一层的时候，它是4%，两层的时候可以做到0%，这怎么可能呢？你按照这个筛子的经典模型想想，第一次过去，假设你来的是十个小球，第一次过去或者一百个小球，一百个小球过来了，其中平均来说4个要被反弹走，好了，跑走了，已经离开这个实验了，对吧？ 然后接着呢，这些96个下来的呢，它要经过第二个界面的，第二个界面平均来说又是4%，那约等于它还是
4，因为96乘以4%，还大约是
4。
好，也就是说大概来说一层4%的话，两层应该被弹走的是8%，也就穿过它的大概是92%。
我这个计算没有任何问题吧？说我家有个过滤器或者有个水坝或者有个什么东西，每一层我赶走的是4%，我问你两层赶走了多少？废话，那肯定是100%乘以4%，然后100%再减去这个100%乘以4%，然后我再拿它乘以4%，每一层都这么衰减下去。
完了，那越加更多的层，它透过的越少啊，怎么可能反射的是0呢？那这个实验真的是做出来的，它真的可以做到
0。
一个做到0的可能可以怎么解释呢？它说大概是这么解释的，这个解释来自于经典光学，它说第一个透过去，一束光波照过来，照到这个平面上，它就分成两束，这儿弹走一束，这儿射下来一束，这个弹走的强度也是4%，射下来这束，它会在另外一个表面上再发生一次弹过来，那么大约也是4%。
然后呢，它说这个出来的4%呢，它会经过上一个界面的时候呢，又发生这个透射和反射，那么忽略这个4%乘以96%，也认为它还是4%，其实已经略小于4%了，但是忽略这一点，那么也认为4%的话，也就是说我有两个光啊，都是沿这个方向的，一个是直接被弹走的，一个是出来之后再被弹走的。
然后它说呢，你看你不是有一团这样的光过来吗？所以你在你的光路上，在这个点上，有一些是直接弹走的，有一些是从下面来弹走的，于是在这个点上，这两束光有可能会被相消，那光为什么会相消呢？它这个经典力学是这么说的，它说光不过就是一个波嘛，如果一个波峰这种形状，碰到一个这种形状的波谷的时候呢，你把它们俩一叠起来，它就是平的，所以叫相消。
所以，为什么能够消呢？背后是牛顿力学。
也就是说你如果拽一根绳子，拽的效果是你抖动绳子的效果是在这点上这么个形状，我抖 2.1镜头——量子理论的第一个实验 33 动绳子的效果是这么个形状，那么绳子最后表现出来的就是一个平的，这叫波的相消。
好了，这就解释了，经典光波就解释了，为什么两层它反而增加了透射率。
简短地说就是第一次被反射走的，它在这个点上有，然后同样的第二次被反射走的又透出来的，也会在这个点上有，因为它是一大束光波过来。
然后这两个，因为它在同一个点上，它就消掉了，那消掉的能量要守恒，能量上哪去了呢？它说全被透过去了，好了，就这个解释。
这个解释看起来还不错，实际上我们在大学三年级之前，学的所有的解释都是这么解释的，后来有一天到了大学三年级学到量子力学，发现这个解释是胡扯呀，它怎么是胡扯呢？它说这样，我们现在这个仪器已经到达了非常高的地步，我们能够每次就打一个光子过去，那怎么验证它是一个光子呢？我们就用某种方式去探测这个光子的能量，我们发现小到一定程度以后，它就不可能再小了，所以它是有一个最小能量的。
当然，这个最小能量跟光的频率，也就是光的颜色有关，这个细节我们不管，但是对任何一个给定的光，我们总是可以探到一个最小能量的，这个东西我们就叫一个光子。
那既然它是最小能量，绝对不可能再分开的，对吧？刚才那个波的解释就错了呀。
好，我们来看一看，把它看成一个粒子，也就是一个乒乓球，会怎么样，一个乒乓球，光现在是一个乒乓球，因为它是个光子。
打过来了，它要么就透下去，要么就被弹走，对吧？因为它是一个，它不再分开了。
假设它被弹走了，故事结束了，它不可能有任何其他行为了，它被弹走了，你还想干嘛。
一个球打过来，吧唧，弹走了，你还想干嘛，你不可能发生任何事情啊，一会儿我找个乒乓球扔一下，看看会不会出现这样的事情。
说弹走了这个事情，将来还会和底下那个发生的事情，两个事情叠加起来相消，不可能啊，为什么不可能？因为这两件事情是不可能同时发生的，一个乒乓球过来，它要么吧唧被弹走，要么下去以后，发生其他的事情，它不可能同时被弹走，又经过下面返回来，然后再把它俩加起来，它不可能。
不可能同时发生的事情，你是怎么使得它们加起来又相消的？对吧，所以，如果我要解释得对，我的可能是就算一个光子它也会劈成两叉，这一叉从这儿走，这一叉从这儿走，然后在这儿合起来，这个已经被否定了，因为它是最小能量了。
或者我说就算它是直接这么弹走，第一个可能。
第二个可能是这么上来以后，再被透射出去，这两个可能，就算它不可能同时发生，我仍然数学上，形式上要把这两个东西加起来。
我如果允许我这么加，我这个事情就搞定了，也就是说它确实不可能同时发生，无论你怎么想，它也不可能把它加起来，但是你如果允许我加，我强行把它们俩加起来，它的数学就和我前面说 34 第二章量子力学初体验和数学准备 的这个波劈成两叉再合起来的是一模一样了，这时候就解释了现象。
好，我们来总结一下，也就是说这个光过玻璃的事情呢，是可以通过经典波来解释的，而经典波是怎么解释的呢？说一串光波过来，劈成两半，这一部分被反射走了，这部分透射，透射完了，它又弹回来，又透射，在某个地方处在同一个点上，这时候同一个点上的振动，由于有牛顿力学，它可以把它加起来相消了，这是经典波的解释，但是它是依赖于一团光过来的。
如果真的是个乒乓球经典的例子呢，我们发现它打到这儿，啪飞走了，或者穿透它再飞上来，它两个事情不可能同时发生，所以绝对不可能加起来。
所以，经典波能解释我们观测到的现象，但是它不能用于单个光子的解释。
而经典粒子呢，它不能解释这个现象。
那我们现在做的实验呢，真的是单个光子做的，那怎么办呢？按照经典粒子不能解释，它又不能做经典波的解释，因为它自己是不再分开的。
那将来我们会发现，我们只需要做一件事情，这件事情就是不管如何，你允许我这两个不可能同时发生的事情，给它加起来，你只要允许我这么干，我在数学上就是跟经典波是一样的，我就得到了解释。
我说的这番话，会有数学告诉你是怎么做的，但是这是我们所要学习的量子力学的第一个现象，光过玻璃这么简单的事情，它是一件非常非常神奇的事情。
你家的镜头镀很多层膜会增加透过率，这是疯了的事情，但是实验事实就是确实透过，要不然你镀膜干什么。
好，第一个实验我们就讲到这儿。
2.2论什么是科学：为解释实验现象做铺垫 我们来想办法找一个这个现象的解释，为了构造这个解释，我们需要一点点数学的基础，这个数学的基础可以用逻辑思辨来代替，在目前这个阶段，一会儿我会告诉你逻辑思辨是怎么想的，如果你想用数学符号来算，它又是怎么表示的，怎么算的。
科学家一般情况下认为，什么叫构造出一个理论，或者提供一个解释呢？指得就是我知道了事物的状态，可以写成一个什么数学对象，这个状态会不会发生变化，变化的原因是怎么导致的，这个变化到它的原因之间是不是可以写下一个方程。
完成这两件事情，就叫提供一个理论，那这个理论是不是对的，是不是科学的，怎么办呢？我们就去对这个理论的具体的情况说，一旦给了这么个初始条件，给了这么个环境的时候，它会发生什么事情呢？那我们下面就想办法来构造一下上面这个现象的理论的解释。
2.2论什么是科学：为解释实验现象做铺垫 35 为了构造这个理论的解释，我们需要补一点点的数学，这个数学就是概率论。
关于这个数学，你完全可以用逻辑思辨来代替，也可以写成数学符号来计算，下面我们会给你展示这个逻辑思辨以及数学符号这两种方式，以后我们会发现这些数学符号会使得我们的计算简单很多很多。
那科学家认为什么样的东西是提供一个理论呢？一般我们认为提供一个理论，就是我们对状态到底写成什么样的数学符号，写成什么样的数学结构有了一个描述，然后状态是不是会发生变化，变化的原因是什么，建立起来了状态变化和它的原因之间的方程，比如说一个例子就是牛顿运动定律，它的速度的变化，也就是加速度是和力相互联系的，这叫一个方程。
而它的状态，也就是速度或者位移是怎么描述的呢？是由三维空间的矢量描述的，那这叫做一个理论。
那一个理论是不是科学的，怎么办呢？我们就把这个理论拿过来，针对特殊的具体的情况，说给这样的环境，给这样的初始条件的情况下，我们去拿这个理论做一番计算，算出来之后的那个可观测的现象，我们再拿来做实验检验，最后发现说真的给这么个初始条件，真的给这么一个环境的话，它真的会发生这个事情，这个可检验性，检验完了，就是科学的。
有一个在科学实践当中不怎么用，但是在科学哲学当中用的非常多的代替可检验性的东西叫可证伪的，那什么意思呢？就是原则上来说任何一个理论都是不可检验的，为什么不可检验？不可证实的，为什么不可证实的呢？因为你就算检验过了所有的具体例子，你理论的结果都对，也不表示对所有的例子，这个理论都对。
比如说我做一个命题，这个命题是天下乌鸦都是黑的，然后我就去检验，我抓一只乌鸦检验黑的，抓一只乌鸦检验黑的，抓一只乌鸦检验，还黑的。
然后呢？我能告诉你什么，我只能说我检验过的一万只乌鸦都是黑的，于是我可能产生一个推断，这个推断就是下一只乌鸦来，它黑的可能性非常非常高，可是它也绝对不可能否认下面的可能，你有些乌鸦就是没观测到。
为了解决这个逻辑上的困难，也就是说任何理论原则上都是不可验证的，那一堆做科学哲学的人，提出了这样一个说法，说其实呀，只要是原则上可证伪的，又迄今为止没有被证伪的东西都被称为科学。
那被证伪是什么意思呢？就是说我找到了一个例子，在这个例子的情况下，这个理论是不对的，这叫证伪。
那一个理论必须是可证伪的，也就是说原则上我可以找到一个例子来证明我不对，这叫可证伪。
然后迄今为止没有被证伪呢，就是到现在为止，我都没找到一个例子来证明我确实是错的，那这样的东西就叫科学。
所以，天下乌鸦一般黑，迄今为止我们仍然可以认为它是科学，因为我现在检验过的，都告诉你是黑的。
我迄今为止没有发现任何
一 36 第二章量子力学初体验和数学准备 只乌鸦是白的，我不知道，没准真的有白乌鸦，我只是举个例子。
从这个意义上说，科学是什么呢？就是一个对状态对事物的描述的体系，这个描述一般情况下，还能建立起一个状态变化的方程，那么这样就叫一个数学模型，一个体系。
这个体系呢，算出来的结果和迄今为止做过的实验的检验都是对的，而且原则上存在着其他的例子，这个例子呢，有可能它只要实验出现了某个结果，就可以证明我不对，可是这个例子一直没找到，那这个就叫科学。
比如说有一些东西，它是不能算成科学的，为什么？比如说举个例子，上帝是存在的，我如果按照这个要求，如果想让它成为科学，它必须做什么呢？它必须先给我找个例子，这个例子就是如果下面的这件事情发生，那么上帝就是不存在的，也就是说找到一个能去证明它是错的这样一个例子，然后我们大家就一起齐心协力去找这个例子。
如果一直找了好多年都没找着，那么这个时候，它就可以认为是一个科学。
如果不满足这个要求，则连科学都算不上。
有一个非常著名的物理学家叫，他所说过的最著名的一句话，我特别喜欢的一句话，他说“你的理论竟然就不错”，他说“这个世界最糟糕的事情就是你竟然都不错”，所以是最糟糕的。
也就是说你的理论必须原则上就允许是错的，只是迄今为止，而我做过的所有的实验，都没有把你否定，这个才是一个好东西。
如果你说的东西，本来就该是对的，那它肯定是瞎扯淡。
顺便把这个状态的描述是什么，状态会不会发生变化，变化的原因是什么，这个东西叫做力学的世界观。
也就是说大多数时候，物理学家面对一个现象的时候，我们都思考这几个问题，状态是什么，怎么描述的，我们能不能把状态的变化和某个外界的原因之间建立起某个联系，这个联系通常还表现为一个方程。
然后除了这个可证伪性之外——也就是说实验、事实、理论，然后理论推出来的东西，得去允许有实验证明我错，但是我通过了检验，一直没证明我错——这个东西之外，科学还有一个稍微更高一点的要求，它叫系统性。
系统性是什么意思呢？就说我们希望绝大多数时候，不同的这个模型或者说不同的现象呢，可以呢，用类似的模型来解释，然后不同的模型呢，它们之间其实是有内部的关联性的，是有更基本的概念可以它们推出来的，这个系统性是科学的另外一个要求。
也就是说我们希望用更少的假设建立起来一个理论，这个理论可以描述尽可能多的事情。
第一个开创这种方法来描述，当然人家描述的不是科学，描述数学的就是。
他把整个几何建立在最基本的几个假设之上，然后从那儿开始，就可以把各个定理都证明出来。
这是 2.3概率论的基础：为解释实验现象做准备 37 一件非常非常神奇的事情。
如果你去看一下欧几里得的几何书，你就发现类似于比如说全等三角形的判定定理，什么边边边定理，边角边定理，什么之类的这些定理，它大概在三十五六条。
也就是说他其实已经知道了作为平面几何来说，这些结论是该有的，可是呢，他又想建立起一个有系统性的东西怎么办呢？所以，他特别神奇的，真的，如果是靠猜，你想想这不可能，他猜出五六条，然后就能把那些该有的都推出来，这是不可能的。
所以，它特别神奇的反向构造，也就是说我去找，我要证明的这些，比如说假设一百来条是我认为它就该有的，然后我怎么办呢？我去看看，我找到哪些中间产品，中间定理呢，是使得那一百来条都可以成立，然后再把这个中间再往前推，再推它的上一步的可能成立的前提，然后直到有一天他说我这么五六条放下去就够了，这是人类智慧的非凡的创造，极其了不起的创造。
这样一个系统性的视角，我不知道它之前有没有，但是就算有，也没有人把它做出来，只有他不仅有这个视角，而且把它做出来，这是非常了不起的。
后来整个科学的发展，基本上就走了这样一条道路，前面的实验检验、数学计算，就叫批判性思维的道路。
我不相信任何没有经过我自己的理性检验的东西，所谓理性检验就是要么是实验检验通过，要么是数学上能够证明或者能算出来。
没有经过我的理性检验的东西，从来不当成我进一步思考的基础，这是科学的一个基石。
还有另外一个东西就是系统化。
有了这几样东西，才使得我们科学能够往前发展。
我们今天要做的事情也是，企图对量子现象构造一个像这样的东西。
状态有个数学描述，然后如果可以的话，状态的演化还会得到一个方程，然后接着就去算，对于具体的情况去算，比如说光过玻璃的我们算一下，一会儿我们要解释的别的实验我们也算一下，算一下之后发现，我算出来的东西和实验是一模一样的。
而且，将来你会发现，我只需要三五个基本的概念，就可以把各种情况下的东西都算出来，也就是系统性。
2.3概率论的基础：为解释实验现象做准备 好，那下面就开始学习，为了构建这个理论所需要的数学基础，经典概率论的线性代数表示，或者说经典概率论的矢量表示，这部分我说了，你可以不学，你不学呢，你只要在下面的实验当中，通过逻辑思辨去代替我所做的所有的计算，一般情况下，我也会把那个逻辑思辨的过程告诉你。
但是，缺陷是你学到这个现象是什么，以及理解为什么理解不了之后，就不可能再 38 第二章量子力学初体验和数学准备 往下走了。
你只有学会了这样一套形式数学的计算的方法，我才能继续往下 走，告诉你，真的只要允许我将来加起来，我就能解释所有的一切了。
所以， 你自己去选择，对于不同的听众来说，你的学习的目标是不一样的。
如果你 能坚持，然后把这一段数学学明白，还会用，那就能保证后面的所有东西都 学得懂。
要不然呢，反正你就靠逻辑思辨。
整个概率论的数学，我们目前的阶段用的就是，在我们这门课里头用的 就是叫做古典概型，也就是说，你的基础是一堆等概率事件，你只需要学会 对等概率事件做数数，然后上面是个数出来的数，下面是另外一个数出来的 数，这个百分比一求就是概率，只要这么简单就可以了。
比如说一个例子就 是，如果你是一个六面的色子，我问出现
1的概率是多少呢？你就数满足
1 的面有多少，肯定只有一面，因为它是1,2,3,4,5,
6。
那出现的所有的概率 指的是什么意思呢？就是它各个面当中出现一面的是多少，它各个面有多少 个呢？有6个，好了，所以它就是61。
具体这个概率是什么意思呢？它指的是如果你扔上无穷多次，比如说扔上几万次、几亿次，然后你把几亿次当中 总共出现的那个面数当成分母，出现1的次数当成分子，那么除出来差不多 就是16。
这个就是概率这个东西对于色子是怎么算的。
然后，它的科学的含义，就指的是如果你真的拿个色子去扔的话，它从来不可能真的是61的，但是随着你扔的次数越来越多，它会越来越接近这个16。
也就是说，科学真的只是提供一个可检验的、可测量的或者说可证伪的这么一个算出来的结果， 我不保证你真的是一样的。
这个概率就这么简单。
那剩下的概率和均值怎么算呢？之前我也举过了12硬币的例子，现在我说凡是小于等于3的扔出来呢，我都赢十块钱，凡是大于3的呢，你赢 二十块钱。
那我说我们俩这个，你从我这儿赢走，我从你那儿赢来。
如果我 们俩是这么一个约定的话，这个平均收益怎么算呢？就是你看，扔到1,2,
3 面的时候，我赢十块钱，就是10×16+10×61+10×16。
接着我输的时候，就是(−20)×61+(−20)×16+(−20)×16。
把两者加起来，就是我最后平均来说赢钱的均值， P1=10×1+10×1+10×1+(−20)×1+(−20)×1+(−20)×1=−（5元）.
6 6
6 6
6 6 (2.1) 所以，你只要小学水平的概率论就够了，这些是你完全就懂的，我们只需要 这么多。
知道这么多以后，我们要学习的东西是什么呢？我们要换一套你现在看 起来非常抽象的，完全看不懂的数学符号来写一下，下面我们就完成这个任 2.3
概率论的基础：为解释实验现象做准备 39 务。
在完成之前呢，我们来稍微地说一下一点点概率论当中抽象的东西，叫 做互斥事件。
互斥事件是什么意思呢？就是说这个发生了，那个就不可能发 生的事情叫互斥事件。
比如说在硬币上，只要出现正面向上，就不可能出现 反面向上，因此正反面向上叫互斥事件，只要出现正面
1就不可能出现反 面
0。
所以，它有一条叫做互斥事件的加法，互斥事件的加法是怎么加的呢？ 就是如果我有一个大事件，这个事件是由两个互斥事件构成的，那么我这个 大事件的概率，就是这两个互斥事件加起来。
这个事情其实比较复杂，因为你得去验证那两个事件真的是互斥事件， 如果你懂得集合论的语言，就表示这两个集合是没有交集的。
那如果你不 懂，我就可以给你编出一些例子，好像看起来是互斥的，但实际上不是。
比 如说我可以说我扔出来小于
3，这个当成一个集合，然后奇数当成一个集合。
我说我要么小于等于
3，要么是奇数的概率是多少呢？这个时候你千万不能 把那俩概率加起来，为什么？因为奇数里头有小于等于3的，它会被重复 计数。
那重复了怎么办呢？你得还原到它的等概率事件集，（如果）说小于 3或者（是）奇数的这个集合是什么呢？是1,2,3加上5这四个数，于是你 将来要算的是把这四个东西的概率加起来，所以是46。
而如果你直接去算的 话，你想奇数是1,3,
5，所以是36。
小于等于3的是1,2,
3，有3个因此也 是36。
那合起来就成了 3+3=1.66 (2.2) 对吧？但是，它不可能等于
1，因为它不包含所有的事件：4,6就没在里面。
所以，互斥事件这一点是很重要的，只有互斥事件的时候，它中间那俩概率 才能加起来。
但是，注意它是把那俩概率加起来，它不表示把那个事件加起 来。
就算它是互斥的，比如说硬币的正面和反面，这两个事情是互斥的，我 可以说硬币出现正面或者反面的概率是多少，算出来肯定是
1，这没有问题。
但是，我绝对不表示硬币的正面或者反面意味着正面加反面的事件，就说硬 币的正面这个状态加上反面这个状态，这是不存在的事情。
在经典的世界里头不存在一个状态，这个状态是“硬币的正面加反面”。
硬币的状态只存在着一个集合，它是硬币的正面状态，比如说叫
1，并上
一 个集合硬币的反面状态，比如叫
0。
数学上记做{1,0}。
不过，如果你不懂 集合符号也没关系，这个符号你不用懂，只要知道意思就可以了：硬币的所 有可能状态的总和。
所以，硬币有“正面或反面状态”，没有“正面加反面 状态”。
“正面或反面状态”的概率是能被加起来的，这个是概率论的第
一 40 第二章
量子力学初体验和数学准备 条：互斥事件构成的事件的概率是分别每个事件的概率相加。
把上面的意思写成数学符号就是 P(A∪B)=P(A)+P(B),A∩B=ϕ. (2.3) 如果你不懂这些集合运算符号，就跳过。
这一行数学符号的意思就是“互斥 事件（
A,B，满足交集为空A∩B=ϕ）构成的事件（A∪B）的概率（P(A∪B)）是分别每个事件的概率相加（P(A)+P(B)）”。
你可以发现，其实A∪B就是把集合
A,B合起来构成新的集合的意思，A∩B就是把两个集合的共同的元素找到构成新的集合的意思，ϕ就是里面没有任何元素的集合，称为空集。
当然，我们也说过了，如果你决定就靠思辨，不希望运用数学运算来理 解，那就跳过这些符号的学习。
但是，数学不过就是用符号把你想说的意思 说一遍，因此，强烈推荐我们的读者来学习一下这些符号。
概率论的第二条叫独立事件的性质，独立事件的性质就是如果我有
一 个基本事件是
a，有另一个基本事件是b，然后两个事件发生不发生是完全独立的，这个时候ab同时发生的概率是什么呢？是Pa，也就是a的概率，乘上b发生的概率Pb， P(ab)=P(a)P(b). (2.4) 在这里，为了使得符号和概念更简单，我们用了基本事件a,b来表达这个独立事件的概率乘法公式。
基本事件在离散状态的对象上，就是一个对象可以出现的最基础的事件。
例如，硬币的正反面（也就是a=1或者a=0）、色子的六个面中的任何一个（a=1或者a=2等等一直到a=6）。
原则上，我们也可以用集合
A,B来写上面的公式。
不过，就要复杂一些。
我们举个例子来理解独立性。
当我们扔两个硬币的时候，只要两个硬币没有通过什么方式绑在一起，则一个硬币的状态和另一个硬币的状态是独立的，相互不影响的。
这个时候，两个硬币都正面向上的概率就是， P(11)=P
(1)P
(1)=1.4 (2.5) 这一条逻辑上也可以当做独立事件的定义，也就是只有满足这样的数 学关系的事件A和
B，才叫独立事件。
但是，往往在实际中，我们会对独 立性基于实际问题的背景先做一个计算之前的判断，然后，再运用这一条来 解决问题。
例如上面没有绑在一起的两个硬币的状态。
公式(2.3)和公式(2.4)这两个公式是在概率论里头最基本的公式。
好 了，有了前面所说的等概率的基础事件，还有了独立事件和互斥事件，那我 2.4概率论的DIRAC符号 41 们概率论整个逻辑思辨的基础就有了，下面我们教你数学符号是怎么回事。
2.4概率论的Dirac符号 为了更好地描述概率，把经典概率和量子概率的数学描述完全统
一，我 来引入一个符号——Dirac符号。
这是整个课程里面最复杂的数学。
但是， 相信我，只要初中数学水平，跟着下面介绍的规则来算，你就完全能够掌握。
至于为什么要学习这一套规则，以后遇到量子系统的时候你才能体会到。
坚 持把这些数学语言学会，你很快就能真的开始学习量子力学了。
我说凡是正面的，我就写个这样的向上箭头
|↑⟩⟨↑|。
将来，我们会学习 到，其实这个符号还可以拆开来看，其中的|↑⟩叫做一个右矢量记号，也称 作ket；其中的⟨↑|叫做一个左矢量记号，也称作bra。
目前，我们只需要懂 合起来的那个。
合起来，|↑⟩⟨↑|就表示“硬币处于正面向上的状态”这个含 义。
怎么代表向下的状态呢？就只需要把里面的向上箭头换成向下箭头，也 就是|↓⟩⟨↓|。
有了这套记号以后，干嘛用呢？我就能告诉你说，凡是你写下概率的时 候，我以后就用这个记号来表达，比如说一个硬币的状态，按照这种符号怎 么写呢？我就写成 ρc=1|↑⟩⟨↑|+1|↓⟩⟨↓|.
2 2 (2.6) 读作：一个随机硬币的状态是，12的概率处于向上态，21的概率处于向上态。
所以，更一般地， ρc=Ps|s⟩⟨s| s (2.7) 有如下含义：一个系统处于每一个可能状态s的概率是ps，也就是这堆用括号和箭头包起来的东西呢，就是指它的状态是什么，前面那个数呢，就是这个状态的几率。
这里的ρc称作状态密度矩阵。
如果你真的学过一点点概率论，你就会发现以前在教材上，它是写成一个大大的列表，这个列表就是向上的状态的几率是P↑，向下的是P↑，或者1的时候是P1，0的时候是P0等等一个列表。
我只不过把这个列表写成了什么呢？写成了一个公式(2.7)的样子。
所以，这里完全不引入任何新的理解，只是一个新的数学符号，也就是说它向上或者向下一定的概率，这件事情就写成公式(2.7)这么一个样子。
42 第二章量子力学初体验和数学准备 有了这个概率状态的表示符号，我们来看看各个状态的几率和相应的均值怎么算。
我们先来看均值。
跟以前的情形一样，我们来做猜硬币的游戏，付钱的规则也一样。
我们把之前算过的这套规则下我赚的钱的平均值算出来。
这个付钱的规则，算平均值的规则呢，将来我们管它叫做算符。
那它的这个规则怎么写呢？说如果我规定，向上的时候，我赢1块钱，向下的时候我输1块钱，那这个A怎么写呢？ Ac=1·|↑⟩⟨↑|+(−1)·|↓⟩⟨↓|. (2.8) 就是向上的这个状态右矢配左矢，减去这个向下的右矢配左矢，至于这个地方为什么是减呢？这是因为我要输1块钱。
如果我变成输100块钱怎么办呢？我就把前面那个向上状态的系数写成
1，后面那个向下状态的系数写成−100， Ac=1·|↑⟩⟨↑|+(−100)·|↓⟩⟨↓|. (2.9) 所以，一般地说，一个支付规则就是， Ac=Es·|s⟩⟨s|. (2.10) 其中Es就是系统处于s态的时候，我收到的钱。
如果这份钱是负的，就表示我在输钱。
有了这个算符Ac和我前面的这个状态表示的符号ρc之后呢，我怎么来算均值呢？ 均值就是，把Ac和ρc这两个东西乘积起来，乘积起来以后，再去把它的对角线元素——Dirac符号中那些出现在·|s⟩⟨s|前面的系数就称为对角线元素，简称对角元——的和求出来。
那对角线元素的和叫求迹（）。
计算乘积的时候，我们需要用到一个左右矢配对计算公式， ⟨i|j⟩≜⟨i||j⟩=δij. (2.11) 其含义是说，如果一个左矢量⟨i|遇到一个右矢量|j⟩，则其结果变成一个0或者1：当i=j的时候，δii=1；当ij的时候，δij=
0。
我们来用这个规则做一个计算试试。
2.4概率论的DIRAC符号 43 先算乘积， Acρc=(|↑⟩⟨↑|−100|↓⟩⟨↓|)1|↑⟩⟨↑|+1|↓⟩⟨↓|,
2 2 =1|↑⟩⟨↑||↑⟩⟨↑|+1|↑⟩⟨↑||↓⟩⟨↓|
2 2 −50|↓⟩⟨↓||↑⟩⟨↑|−50|↓⟩⟨↓||↓⟩⟨↓|, =1|↑⟩⟨↑|−50|↓⟩⟨↓|.2 再来算对角线元素的和， (2.12) (2.13)(2.14) Tr(Acρc)=1−50=−49.5.2 (2.15) 你会发现，按照你已经学会的概率求均值的知识，算出来也是49.5。
于是，我们发现，Dirac符号的计算结果和之前概率求均值得到相同的结果。
也就是，至少，在计算均值上，两套符号体系的结果完全相同。
求迹运算，也就是对角元的求和，还可以用下面的符号表示， Tr(B)=⟨s|B|s⟩. s (2.16) 你可以验算一下，顺便也熟悉一下这套Dirac符号的计算规则。
注意，其中最主要的规则就是公式(2.11)。
我们已经验算了Dirac符号下得到的均值和概率均值是一致的。
下面，我们来展示计算某个状态的概率怎么算， Ps=⟨s|ρc|s⟩, P(S)=⟨s|ρc|s⟩. s∈
S (2.17)(2.18) 其含义是，对于基本事件s，其概率Ps就是在状态密度矩阵ρc的左右两边分别乘上左矢量⟨s|和右矢量|s⟩；如果时间S中有很多个这样的基本事件s就把算出来的每一个这样的基本事件的概率都加起来。
我们来做几个计算概率的例子。
我们先算一下公式(2.6)的ρc情况下，硬币向上的概率，是否正好就是12， P↑=⟨↑|ρc|↑⟩=1⟨↑|↑⟩⟨↑|↑⟩+1⟨↑|↓⟩⟨↓|↑⟩=
1.
2 2
2 (2.19) 44 第二章量子力学初体验和数学准备 如果我们再算一下，硬币要么向上和要么向下的概率，就会得到 P↑=P↑+P↓=
1 (2.20) 完全正确。
更一般地，我们可以验证，对于公式(2.7)中的一般的状态密度矩阵， Ps=⟨s|ρc|s⟩=Ps. (2.21) 这正好就是预期的结果。
好了，我们已经验证了无论是均值还是概率，Dirac符号的计算结果和 通常概率计算的结果，或者依靠你的自然语言形式的推理的结果，完全相同。
我们甚至可以进一步，来验证一下，Dirac符号下，互斥事件的概率可加性，和独立事件的概率乘积，是否成立。
但是，在这里我们就不再验证了。
我们把它留给有心的学有余力的读者。
2.4.1Dirac符号和2×2矩阵运算，选读 这一小节仅仅是为了已经懂得矩阵计算的读者写得。
如果不是已经学 习过矩阵计算，我推荐你要么依靠Dirac符号的计算，要么依靠自然语言形 式的推理——也就是想明白。
对于已经懂得矩阵计算的读者，把Dirac符号 和矩阵的联系明确建立起来是有帮助的。
对了，所谓懂得矩阵运算，在我们 这里，只需要会2×2的矩阵的加法、乘法、求迹、求某一元素的计算就可 以。
例如，对于2×2矩阵 Ac=A11A21 A12,ρc=ρ11 A22 ρ21 ρ12,ρ22 (2.22) 我们有 Acρc=A11A21 A12ρ11A22ρ21 ρ12=A11ρ11+A12ρ21 ρ22 A21ρ11+A22ρ21 A11ρ12+A12ρ22.A21ρ12+A22ρ22 (2.23) 其一般规则是 (AB)ij=AikBkj. k 矩阵加法和求迹就不展示了。
(2.24) 2.4概率论的DIRAC符号 45 现在，我们来建立Dirac符号和矩阵符号的联系。
我们说，如果我们把 矩阵看做是这样的Dirac符号表达式， A=A11 A21 A12→Aˆ=A11|1⟩⟨1|+A12|1⟩⟨2|+A21|2⟩⟨1|+A22|2⟩⟨2|,A22 (2.25) 则上面的矩阵乘法的计算正好就是公式(2.11)规则下得到的结果。
我们来验证一下。
AˆBˆ=(A11|1⟩⟨1|+A12|1⟩⟨2|+A21|2⟩⟨1|+A22|2⟩⟨2|) ·(B11|1⟩⟨1|+B12|1⟩⟨2|+B21|2⟩⟨1|+B22|2⟩⟨2|), =(A11B11+A12B21)|1⟩⟨1|+(A11B12+A12B22)|2⟩⟨1| +(A21B11+A22B21)|1⟩⟨2|+(A21B12+A22B22)|2⟩⟨2|, →A11B11+A12B21A11B12+A12B22=AB. A21B11+A22B21A21B12+A22B22 (2.26)(2.27)(2.28) 乘积以后得到的矩阵正好和公式(2.24)的结果完全一致。
我们还可以通过左右矢量配对运算规则来得到的某个元素，例如 Aij=⟨i|Aˆ|j⟩=Aij. (2.29) 也就是说，求一个矩阵的某个元素Aij，在Dirac符号下就成了⟨i|Aˆ|j⟩。
至此，矩阵计算语言，概率计算语言，概率靠想，Dirac符号语言，完 全就统一了。
以后，我们绝大多数时候会使用Dirac符号语言，但是有的时候一不小心也会用矩阵语言。
例如，所谓求“对角元的和”这句话，就是借用了矩阵的语言，因为只有矩阵才有对角元，也就是 Tr(A)=Ass=⟨s|Aˆ|s⟩. s s (2.30) 2.4.2操作和测量 下面，我们来讨论对状态的操作和测量的数学表示。
首先，还是从实际对象的实际现象出发。
假设我们有一个真的随机的硬币，称为纯随机硬币。
你先不要问我有没有真实的纯随机硬币。
前面，我们已经学会了用数学来描述这个硬币的状态，以及计算某个支付规则下的平均值。
现在，我们来考察如何描述改变这个状态的操作，以及如何描述对这个硬币的测量。
46 第二章量子力学初体验和数学准备 一开始硬币有一个状态ρci，如果我们要去对这个状态做一个操作，比如说我要把硬币翻一下，这件事情的操作A和操作完了的末状态ρci我们怎么描述？为了描述这件事情，我们要引入一个东西叫做一个算符，一个操作。
也就是说如果原来是正面向上的状态，我呢，要找到一个翻这个操作的一个 矩阵或者说算符，这个矩阵正好对应着——凡是给我正面，我就把它变成反 面；凡是给我反面，我就把它变成正面。
你就想如果一个硬币是确
定的，只有正面，它怎么表达，它的表达方式是ρci=|↑⟩⟨↑|，或者说ρci=1000。
现在我们要把它变成一个向下的状态，向下的状态是什么呢？就是向上的概率是
0，向下的是
1，所以它是ρcf=|↓⟩⟨↓|，或者说ρcf=0001。
现在我们怎么把一个这样的ρci变成一个这样的ρcf呢，我告诉你，它的计算就是 ρcf=AρciA†, (2.31) 其中这里的A是 σx=|↓⟩⟨↑|+|↓⟩⟨↑|,A=01 10 A†称为A的复共轭转置，具体操作就是， (2.32) A† ∗ =Aji, ij (2.33) 这里的x∗就是一个复数的复共轭，也就是(a+bi)∗=a−bi。
不懂复数的不要担心，整个课程中绝大多数时候，我们的b都等于零，于是这时候复共轭就是不变的意思。
这里，为了帮助大家熟悉这些符号，我们提供了Dirac符号和矩阵两种形式。
将来，我们可能仅仅会采用其中之
一。
顺便，这里的符号σx称为。
但是，现在，你只需要把它当做一个代表上面那个具体的矩阵的记号就可以了。
我们可以验算这个σx确实是翻转操作， σx|↑⟩⟨↑|σ†x=|↓⟩⟨↓|,σx|↓⟩⟨↓|σ†x=|↑⟩⟨↑|. (2.34)(2.35) 类似地，我们引入保持原状态什么都不做的操作，单位矩阵，Identity 2.4概率论的DIRAC符号 47 矩阵， I=|↑⟩⟨↑|+|↓⟩⟨↓|,A=10 01 也可以验证，这个矩阵确实就是不翻的操作， (2.36) I|↑⟩⟨↑|I†=|↑⟩⟨↑|,I|↓⟩⟨↓|I†=|↓⟩⟨↓|. (2.37)(2.38) 有了操作的一般定义公式(2.31)，我们再来解决测量的数学描述的问题。
还是从实际对象的实际现象出发。
我们发现，对于一个纯随机硬币来说，打开看了之后，硬币的状态就确定了，不管是正面还是反面。
用数学语言来表示，这就是 Pm=⟨m|ρcbfm|m⟩,ρcafm=|m⟩⟨m|ρcbfm|m⟩⟨m|∼|m⟩⟨m|, (2.39)(2.40) 其含义是，对于一个测量前状态ρcbfm来说，测量完系统之后，发现系统处于m态的几率是Pm=⟨m|ρcbfm|m⟩，如果Pm0，也就是确实发现系统测量完了之后处于m态，则系统的测量后状态是，ρcafm=|m⟩⟨m|ρcbfm|m⟩⟨m|∼|m⟩⟨m|。
这里面有一个小小的技术细节：对于一个密度矩阵，通常，我们会先做 一个归一化再来看其含义。
对ρ的归一化就是 ρ=ρ,tr(ρ) (2.41) 因此，ρcafm直接算出来是|m⟩⟨m|ρcbfm|m⟩⟨m|=Pm|m⟩⟨m|，但是，重新归一化一下就得到ρcafm=Pm|Pmm⟩⟨m|=|m⟩⟨m|。
好，这就是所有的概率论所要学习的数学，第一个是状态是什么，状态是一个对角的矩阵。
第二个是要测量的量怎么表达，就比如说我要给多少钱，就叫一个测量的量，怎么表达，也是一个对角的矩阵，每一个地方就是该付多少钱，或者说以一个叫做十倍放大镜的作用来看，我只要看到色子上显示是1呢，我记录的数就是个10，2就是20，那个放大镜对应一个什么操作呢？就是10、20、30、40、50、60，写在对角上。
然后，将来它的平均值怎么算呢？平均值就是把ρc的矩阵和Ac的矩阵放在一起，把它先乘完，变成一个矩阵。
然后把所有的对角元素加起来。
加起来最后的结果就是P1×10+P2×20+P3×30+P4×40+P5×50+P6×60，这是你所熟悉的结 48 第二章量子力学初体验和数学准备 果。
最后所需要知道的事情是，如果我将来需要有一个状态去操作它，操作怎么办呢，是AA†，它的这个“†”怎么算呢？你就是去做一个转置，再做一个复共轭，不过在我们所要学习的里头复数基本上不会遇到，所以我们就直接做个转置就可以。
然后你怎么去验证这些例子是对的呢？我已经给了你硬币和色子的例子，你就自己去算一下。
那迄今为止，我们就学会了形式上的所有概率论的计算，但是我再强调一遍，我们没有任何新的东西，所有算出来的结果和你以前知道的东西都是一模一样的。
那为什么非得写成这个样子呢？就是因为将来当我们跨过经典概率去解释量子的时候，我们发现我们的数学不需要产生任何变化，我们的数学是完全一模一样的。
在经典现象本身而言，我们教你的这个数学，是比你通过你自己的逻辑推断、思考要更复杂的，当然也没复杂到哪去，对吧，只是你以前怎么算的，我现在告诉你写这个矩阵的模样，然后把它乘起来。
再重复一次，你只需要知道这个就可以了：
1.状态写成个矩阵放在对角上， ρc=pα|α⟩⟨α| α
2.测量的东西写成个矩阵放在对角上， (2.42) Ac=α|α⟩⟨α| α (2.43)
3.在状态ρc下对物理量Ac做测量，得到的均值怎么算：把它俩乘起来，乘完之后，把对角元素加起来， ⟨A⟩ρc=tr(Aρc)
4.测量得到的可能的结果的概率和测量后状态， (2.44) Pm=⟨m|ρcbfm|m⟩,ρcafm=|m⟩⟨m|ρcbfm|m⟩⟨m|∼|m⟩⟨m| (2.45)(2.46)
5.怎么去操作这个对象呢？你把那个操作所代表的矩阵
A，乘在这个状态ρ上，再乘上这个操作的共轭转置A†， ρcf=AρciA† (2.47) 2.4概率论的DIRAC符号 49
6.所有的计算只需要遵循这些Dirac符号之间的一条基本性质——“正交性”，也就是左矢量遇到代表相同状态的右矢量得到
1，遇到代表不同状态的右矢量得到零， ⟨α|β⟩=δαβ (2.48) 这是一个完整的描述：既有状态的描述，又有测量的描述，又有操作完了怎么描述。
我们把刚才所有的这个学过的关于经典概率论的东西写在同一页纸上，那这页纸就是公式公式(2.42)到公式(2.48)。
所有的你要算的东西都在这页纸上，而且其中最最关键的东西，只有两个，一个就是如果你遇到一个左矢量⟨α|和一个右矢量|β⟩合在一起的，它等于δαβ，也就是任何经典状态之间，它要么是完全一样的，要么是完全不一样的，这一点非常非常的重要。
也就是说一个硬币的正面，它只和正面一样，它和反面是完全不一样的，它们俩之间没有任何交叉。
在这里，所谓把它俩遇到一起的意思就是看看有多少交叉的意思。
将来我们要改变的就是这一点。
一个猫的死态和活态，它的死态和活态本身，确实也是完全不交叉的，但是它可以有死态+活态的东西，或者说前面的我们讲过的光的例子里头，它有第一次就弹走的，它有第二次就弹走的，对吧，在这两个弹走之间，它们本身确实是完全不可能同时发生的，完全不一样的，但是它可以存在的一些状态，这个状态可以把第一次弹走这件事情和第二次弹走这件事情加起来。
这个例子不太好，无所谓了，有更多的例子的时候再回来。
将来我们会发现我们只需要改变这一条，允许⟨α|β⟩δαβ，后面所有的都是不变的，我们就可以来解释量子的现象。
为了解释后面的更多的量子的现象的时候，还需要做一个小小的铺垫，这个铺垫叫做千万不要小看这个测量后状态。
首先我们也用这个逻辑思辨的方式，我说有一个硬币，它可能正面，可能反面，我一打开看它向上，我问这个时候硬币处于什么状态？废话，这个问题肯定是向上，这叫测量后状态。
就是就算对一个随机变量，它一旦被测量了，在测量之后的那个瞬时的状态，我不管以后会不会有人翻它，我不管，在我没有任何其他的因素在跟它作用的情况下，它的状态就是所测量到的那个状态。
所以，这是一件非常非常平庸的事情。
对吧。
你看马路上有个车，停在那儿被我看见了，那个地方有个车，那个车在哪儿？那个车肯定在我看见的地方，就这么简单一个事实，但是千万千万要注意这个事实其实非 50 第二章量子力学初体验和数学准备 常非常的深刻，一会儿我们再说它为什么深刻，但是这一条叫测量后状态。
就说一般情况下，我们希望一个东西被测量完了，它正好就是我们观测到的状态，这件事情是我们希望做到的，如果这一条被破坏的话，我们很多关于这个世界的理解都会出问题，对吧，要不然怎么叫测量，测量不就是想知道它的状态是什么吗？如果说我测完了它的状态不一定是这个，我测它干嘛。
但是，以后我们会挑战这一条的，非常深刻地挑战这一条的。
好，我们先把这个测量后状态也告诉大家。
这个测量后状态到底怎么算呢，这个就是公式公式(2.46)要解决的问题。
你只要按照这个方式去算，你得到的答案就是我刚才那个逻辑思辨得到的答案。
你把ρcbfm放中间，把测量到的状态左边、右边凑上去，你就会发现你只能留下来一个测量到的状态。
学这些数学就是为了将来我不再需要逻辑思辨来思考了。
我把所有的东西都按照这套数学代进去，我就能给你答案。
前面我们说的是对于要么是向上的状态，要么是向下的状态做的测量。
那如果是一个P的概率向上，1−P的概率向下的呢？那这个测量出来的结果是什么，和我们的逻辑思辨，和我们的直觉是不是一样呢？你自己验证一下，你就会发现算出来的答案正好就是你以前觉得就该这样，比如说均值就是2P−
1。
然后向上的概率就是
P，向下的概率就是1−
P，这些都是完全可以算出来的。
经过这个一般的公式，还有例子，以及它和逻辑思辨之间的等价性的论证之后，我们在这一页把所有的基本的公式做了一个小结。
我还准备了这门课程的一个小抄，它是两页纸，也会发布在网上提供大家下载。
本书也会加印一个活页。
大家可以在听课的时候把那两页纸打印出来，或者拿着这个活页，然后有需要的时候就翻过去看一下，噢，原来这些东西是这样算的，然后你就可以更方便地知道，更好地理解后面真的需要到你算的时候的知识。
2.5用这套符号来理解随机变量 有了这个数学描述之后，我们来讨论一个关于随机变量的，关于硬币的比较深刻、比较复杂的问题。
我们想问的问题是，在我们测量硬币之前，硬币到底是个什么状态。
这里有两种形式的硬币，第一种是每一个硬币它本身是两面的，一面是黄色，一面是红色。
那第二种是这个硬币呢，要么是黄的，要么是红的。
你把它看成硬币无所谓，反正乒乓球也是硬币。
好，那我说从你来，你的观测来反过来推这个随机变量的角度，也就是 2.5用这套符号来理解随机变量 51 说你先做一下实验，看看你会抽到什么，然后抽上几百次、几万次，之后你来猜，那个硬币的随机变量该怎么写，就是写成那个ρc该怎么写的角度。
我问一个问题，你能区分这两样硬币吗？来，我们来试试，我就做几次哈，几次肯定不准，但是试试。
蓝色的，蓝色的，蓝色的，红色的，红色的，我做了七次实验，有四个是蓝色的，三个是红色的。
我再抽一个，我还真抽到了一个红色的。
这真没这么准的啊，一般来说八次实验结果会有偏差的，不一定会一半一半。
它得到几百次，几万次以后偏差才比较小。
但是，我运气比较好，真的是四个蓝色的，四个红色的。
所以你一旦做上几百次，你就反过来可以推出来，这些硬币啊，真的是12向上，21向下的。
当然，这个事情，我得混均匀了。
因为我可能扔进去的时候，比如说以，某个面扔进去的，所以全是红的，所以我得混得很均匀的时候，才能保证它真的是在我抽的时候是基本上要么向上，要么向下，是12的。
不过是不是具体12无所谓，反正它是某个概率的。
我再试试，这是七个，然后，三个蓝色的，四个红色的，还行啊，差得不是特别大。
那么这时候假设你猜出来了，它是12。
那么对于这种两面每面一个颜色的硬币，你在观测它之前，你就可以认为它本身是两个状态的，它只是抽出来的时候显示为哪一面而已。
那回过头来再看这个每一个硬币本来就只有一种颜色的情况。
这个我随便抽。
我抓了四个，两个黄的，两个红的。
好你抓很多很多次以后，你也可以推断出来它的概率是12。
但是仔细想，它们两种硬币之间有差别，为什么？它这里每一个球，只显示一个颜色，对不对。
那个每一个硬币上，它其实显示两个颜色。
这两件事情，对应着背后不同的概率的理解。
这个每个都一种颜色的情况的概率的理解是，它其实是由很多个不同的东西造成的；这个每一个硬币都是有两面的情况，则其概率是由很多个一模一样的东西造成的。
当然它们俩也可以认为是一样的。
你说，其实呀，我把它躺下那个面就当成它的那个面，于是每一个硬币在我看之前，也已经知道它的状态了。
但是假设我们现在没有躺的状态，就是先不管它躺的状态，是我拿出来的过程当中决定它到底哪一面的，因为我拿的时候，我可能转动了它，所以我只有摊开手的时候，我才知道其状态。
那么这样来看的话，它这个两面的东西的随机性是怎么造成的呢？它是由某种内禀随机性的，也就是说每个变量它自己，它就是向上或者向下的。
然后，这个一面的呢，是每个变量自己是完全定了的，只看我抓的时候不同造成的。
你看，我理解它们，我特别喜欢，为什么？我看到的世界一点 52 第二章量子力学初体验和数学准备 也不复杂，对吧，我的世界特别干净，我掏出来什么就是什么，我掏之前它们还是这个。
理解这个两面的就不一样了，假设在这箱子里面的里头，它们自己是没状态的，只有捞到我手上才是有状态的，它相当于每一个东西是不是都是一个随机对象？ 那现在问经典的世界到底哪一个，每一个一面的还是每一个多面的？前者是我拿的过程中不知道哪了哪一个造成的随机，后者是每一个硬币本身是随机的。
这个问题在经典的世界里头特别简单，它都不是内秉随机性，而是我拿的过程造成的随机性，为什么？因为你可以认为两面不同的硬币，其实在我看之前，它们已经是某个特定的状态了，对吧？尽管有两面，但它总有一面已经躺着了，假设我掏的过程又不给它转，或者我转的次数是相同的，掏的动作是一样的，于是它看起来该是什么就是什么了。
那这件事情，使得我们对经典世界的理解特别地开心。
第一个层次是确定性的层次。
事情是如果是一个车或者一个月亮这种完全确定性的东西，我们更开心，我看见车在那儿，它就在那儿，它一点随机性也没有，特别好。
第二件层次是确定性由于信息不完整导致的随机性。
原则上，这样的随机性仍然是由确定性的东西导致的，只是我信息不够，才变成了随机性。
就好像这里的两种硬币，尤其是那个每个硬币其实都只有一种颜色的情况。
这样的随机性称为伪随机性。
这个情况我也挺开心，因为我也完全可解释。
唯一我解释不了的事情，很不爽的事情就是真随机性内秉随机性。
也就是一个随机硬币真的是没有事先摊好一面的，那么在我看它之前，它是既可以正面，又可以反面的。
而我看了之后，它只能正或者反的，这个事情我是理解不了的。
好像我观测这一个动作，我改变了我的世界，这怎么可能？这件事情跟我观测这个意义就不符，我观测的意思就是说我尽可能地使得你是什么样的，我看到的就什么样，对不对？所以，在经典概率里头，这么简单的数学，它仍然存在着这个问题，这个问题是什么呢？是纯随机课题，如果真的可以存在的话，我们是解释不了的，我们是理解不了的。
然后，我们目前是怎么来理解纯随机课题的呢？我们总是把它还原成伪随机性来理解的，就是说在我们看它之前，它其实已经有正有反了，只是不知道哪个正，哪个反，信息不够而已，然后你随便一抓，它才表现为看起来 2.5用这套符号来理解随机变量 53 的正反不同。
所以，就算是这么简单的经典的世界，它仍然存在着理解的问题。
这个真随机性的理解，还有另一个神奇的角度——多世界理论。
他说每一个随机变量在被观测的时候，这个世界都发生了分裂，听说过吗？叫平行世界。
就是每次我们对任何一个随机变量做观测，我们总是看到其中一个，对吧。
他说这意味着其实有另外一个可能的世界，在那个世界里头呢，你看到的是那个样子的。
这样如果把两个合起来，则回到真随机所描述的世界。
原则上，这样的世界还可以有很多很多个，只要显示为正面的数量和反面的一样多。
好吧，如果确实是可以这么来解释的话，没准能够使得我稍微好过一点。
但我不觉得它能好过到哪去啊。
由于有经典纯随机硬币的存在，我们的世界在每次观测随机硬币的时候，都发生了分裂，走向了不同的分支。
任何人的任何一次观测真随机世界都使得世界发生了分裂。
当然，电影里的平行世界就更神奇了，不仅走向了不同的分支，还可以从这个分支跳到那个分支，那是另外一回事。
但是，至少有人是觉得经典世界的纯随机对象的测量是想不通的事情的，企图去给它提供一个更好的解释。
我不是在这里卖这个解释是合理的，我只是告诉你说，有人觉得他想不通，我也想不通，但是我不觉得那个多世界的解释是必要的。
因为经典的世界本身就存在着这个问题，经典的随机变量在看之前和看之后，它会不一样。
当然我说了这个不一样呢，在经典的世界里头真的可以绕过去，绕过去的方法就是把它们还原成它，认为其实在你观测之前，它们已经成了这德性了，所以也就没问题了。
再说一遍，经典世界，经典随机变量的观测本身也是有问题的，只是由于永远可以还原成伪随机的东西，我们看起来好像没问题。
另外一个解决方法就是多世界理论，但是我不觉得它提供了任何一个新的东西。
在物理学里头，前面这个东西叫确定性的客观实在，就是说这个豆子或者是这个球在你不看它之前，它就是红色的，你看了还是红色的，这个就叫确定性的客观实在。
那这种叫随机性的客观实在，其本身是确定性的客观实在，仅仅因为信息不足，看起来好像随机。
这些对象的状态和状态的测量，我们完全能够理解。
但是，如果我们假装如果它是纯随机的，叫它随机性的客观实在，那么它在你看它之前是没状态的，不是正面，也不是反面，它只是正面、反面的几率都是12或者某个概率；但是，你一旦打开看呢，它就要么正面，要么反面。
这个对象的状态和状态的测量的理解是有问题的。
54 第二章量子力学初体验和数学准备 现在，说一下我自己对它的解释。
我说很简单啊：每次测量你只有一个硬币，一个硬币只能显示一个状态；如果你重复很多次，不正好就是一半的几率正面，一半的几率反面吗？所以，我认为不需要提供任何新的角度去解释这个随机硬币的测量，完全就是一个可以接受的事情。
当然你问我这件事情有多爽，我确实也不爽，但是这很显然啊，很简单啊，就是如果你观测一次嘛，就正面或者反面嘛。
如果你观测上几亿次，它其中一半是正面，一半是反面，不就这么个东西吗？它正好就是概率本身的含义啊，你非得说你测量干了什么，你问我这个问题干什么，我不回答这个问题。
经典的客体的测量就是这么回事，你拿过来，它可能显示为正面，再拿过来可能显示为反面。
但是，大样本的平均它一半正面，一半反面。
如果是更一般的
P，就是P的正面，1−P的反面，就这么简单而已。
当然，我再说过了，这是我自己的理解：无论经典确定性，经典伪随机性，还是经典真随机性客体的状态和状态的测量，都不需要任何额外的新的解释。
那当然总是有不爽的人，包括我自己也不是这么爽，那么总是有人会提供新的解释的，这个多世界解释就是其中之
一。
那将来我们在讲到量子现象的时候，会使得这个问题更加复杂，这时候你再回到我说的这个经典的解释。
也就是说确定性随机和纯随机的随机，无论从数学上，还是实验结果上，它都是完全不可分辨的。
物理学就是这么个东西，我们不管你理解起来有多困难，我们只强调数学上怎么描述的，测量出来有没有差别，这里是完全没有差别的。
为了使得你更熟悉经典概率论的线性代数的符号，我设计了几道，除了前面几道例题，还设计了几道作业题，希望你去完成一下，因为你只有经过大概三四个例子的练习，你才会发现这个东西特别容易看懂，要不然你会觉得它不容易看懂，就算你学懂了，也不容易看懂。
看懂的方法就是把它变成你自己的语言，顺便数学就这么一个东西，它就是用形式语言来表达你自己思想的东西，所以你得把它变成自己的。
也就是说以后当你看见右矢左矢的|↑⟩la↑的时候，你就知道了它就意味着向上态；右矢左矢的|0⟩la0的时候，你就知道了，它是显示为0的态，就这么简单。
然后怎么算呢？你就每次测量均值的时候，你就把这个ρ矩阵和这个A矩阵乘在一起，然后求迹tr(Aρ)就完了。
那怎么乘呢，乘的时候只要用上正交性，也就是⟨α|β⟩=δαβ这个公式。
其实，Pm=⟨m|ρc|m⟩也可以从tr(Aρ) 2.6本章小结 55 得到，只要选择A=|m⟩⟨m|就行。
我们来算一下：对于这个特殊情况， tr(Aρ)= ⟨s||m⟩⟨m|ρc|s⟩, s =δsm⟨m|ρc|s⟩, s =⟨m|ρc|m⟩. (2.49)(2.50)(2.51) 所以它整个就只有两个公式⟨α|β⟩=δαβ以及如果你要求物理量A在状态ρ下的均值，就是⟨A⟩ρ=tr(Aρ)。
只有把这两个公式变成自己的，你才可能做到我下面学的东西真的想明白的。
当然，我说了如果你觉得这实在是个挑战，你只需要学会量子的现象是怎么回事，为什么经典的解释不了就可以，也是可以的。
为了实现这个目的，你是没有必要非得把这套概率论的矢量的语言学会的，可以不学会。
但是，我强烈希望你学会，因为它真的很简单，它就是你以前所熟悉的硬币向上态和向下态的概率是P和1−P均值是多少啊这种问题的另外一套符号体系。
仅此而已。
所有的习题，我也在后面几页的PPT里头提供了答案，做完之后，你可以来对照一下，但是强烈推荐你在自己去算一下之前，不要去看答案，只有真的去算了，才能把它变成自己所熟悉的符号。
2.6本章小结 在这一章里面，我们感受了一下量子系统的行为的第一个例子——相机镜头的合适的镀膜可以增加光的透射率。
我们已经发现，在单光子的情形，经典波动光学不能解释这个现象。
经典概率论，也就是经典粒子的模型，也不能解释这个现象。
而无论经典波还是经典粒子，其背后都是Newton力学。
因此，我们发现，Newton力学解释不了相机的镀膜效果。
然后，在本章第二部分，在我们开始构建这样的理论可以解释这样的现象之前，我们做了思想上和数学上的而准备：我们讨论了什么是科学，尤其是数学建模和可证伪性；我们还学习了概率论的Dirac符号语言，概率论的矩阵语言。
最后，我们用这些学会的数学语言描述了经典对象的状态和状态测量。
我们发现，如果假设存在经典纯随机对象，则其状态的测量也是不太好用日常生活的经验来理解的。
但是，无论如何，其状态和状态的测量的数学描述没有任何问题：所给出的结果完全和实验相符。
56 第二章量子力学初体验和数学准备 再次提醒严肃的读者，完成一下习题，有助于熟悉这套数学语言。
第三章量子系统的行为 我们学习了概率论，以及概率论的矢量形式的表达之后，我们来做几个概率论的实验，然后再来做相应的量子的实验，看一看为什么前面是能解释的，后面是不能解释的。
将来，我们再来构建能够解释后面的现象的数学模型，也就是量子系统的理论——量子力学。
3.1窄门实验的现象 同样的这个箱子里面是红色的或者是蓝色的片子，这个是一个门，我们假设水平方向的是能让红色的过去，一会儿我会给一个竖直方向的，这个竖直方向的就意味着它能让蓝色的过去，也就是说它挡住的是红色。
我们看一看，这样的实验是不是能够用概率来解释，或者其实是反过来的，因为这个实验本来设计的，就是能用概率解释的。
我们来看一看这个实验是怎么回事，一会儿我来做量子版本的这个实验。
我随便拿出一个，我拿出一个向上的什么颜色就是什么颜色，这个向上的是蓝色的，那我要过第一个，我说第一个只能让红色的过去，所以它过不去，好了，那这个就过不去了，故事结束。
因为它就是这样一个片子，然后我再拿一个，我别又拿个蓝色的，我又拿个蓝色的，那没办法，它又过不去了。
终于有个红色的，我又拿了一个红色的，先来看过第一个片子，红色的第一个片子是能过的，对吧。
它肯定会跑到第一个片子的后面来，接着它会遇到什么呢？遇到让蓝色片子过去的，所以它过不去，因为它是要让蓝色片子过去的，好了，这就结束了。
也就是说，无论我拿到的是红色的，还是蓝色的这个片子，我永远没法过这一组门，那当然特别简单，如果你把两个都改成这个红色（水平方向）的呢？那就一半的可能是能过的，因为一半的你会拿到红色的片子，然后两个都拿成竖直方向的呢？那就同样是一半的是能过的，因为你有一半的可能拿到的是蓝色的片子。
57 58 第三章量子系统的行为 也就是说这个实验的结果是什么呢？结果就是单个片子有50%能过，两个片子如果一样的时候，有50%能过，两个片子如果垂直的时候呢，谁也过不去，这是这个实验的现象。
那么，反过来，本来我可以先告诉你们这个现象，然后我说我过的那个是什么，那你可以倒过来猜，按照你过的这个结果，你猜我拿上来的这个东西是50%向上，50%红色，50%蓝色的东西，这就是科学。
你先有个现象，再拿一个数学模型去描述它，后来发现，再重新做几百次实验，这个实验能得到验证结果。
神奇的事情是什么呢？我现在说，我要做这么件事情，我要维持这一对板是一个只让红色的过去，一个只让蓝色的过去，然后我说你能不能中间给我干件事，随便干，想干什么干什么，然后我得让这个片子，能从这边穿到这边来。
你想想你大概可以怎么做，你可以试试，你说第一个，我使得中间这个片子和第一片一样，不能过来，为什么？因为这两片相当于同一片，对吧，所以它跟之前的情景是一样的。
第二个，我使得中间这片和第二片一样，答案也是一样的，它也相当于这两个合起来是一片，两个一样的门，对吧？所以，它相当于同一个门，好了，这过不来。
也就是说中间我无论放什么样的门，它都是过不来的。
那么，我能不能放一个斜的呢？这种斜的方向的呢？这事不能干，为什么？因为我刚好抠的这个门的形状它是长方形的，所以它真的有个斜的方向。
可是你实际上想想，回到那个颜色，红色和蓝色，那斜的代表什么，它没法代表任何东西，这斜的它没法看作我这个时候的一个门。
因为它让一部分蓝色的过去，让一部分红色的过去是啥意思？在硬币的颜色这个事情上，我没法产生这样一个门。
那么有一个什么东西跟这个斜的很像很像呢，叫概率性的门跟它很像很像，但是一会儿你会看见它不是这个，什么意思呢？就说这道门，它本来没这个功能，这道门使得我这么过来，平着过来我也进不去，就是红色过来我也进不去，然后竖直着我也进不去，所以这道门它其实啥也干不了。
但是，它还可以看作一个什么事情呢？它说我看着一个概率性的选择的门，也就是说我这里有一个妖怪，那个妖怪我（要）干嘛呢？当我看到这个东西是红色的过来的时候，我以百分之多少的概率让它过，以百分之另外的概率不让它过。
当我看见蓝色的时候，我以Q和1-Q的概率让它过和不过，那两个概率不一定是一样的，也可以是一样的，对吧。
一样的就是说我都让，不管什么颜色过来，我都让50%能过，50%不能过。
所以，这个门它会有个什么效果呢？它需要上面站个妖，那个妖能识别我这个颜色。
识别完了之后，是不是这就能过来了呢？我们试试啊，就是选一个概率性的门。
第一个还是只让红色的过来的，第二个斜着，我假设来的是红色， 3.1窄门实验的现象 59 我能过第一个，我能不能过第二个？我以50%的可能能过第二个，但是我只要能过来，是不是它肯定是红的，这是测量后的状态的理论，对吧？一个测量，你观测之后，它马上去看，肯定还是这个状态，要不然这个测量就没有意义了。
也就是说当它到达最后一个这个方向的门的时候，它的颜色是什么？是红色，能过吗？还是不能过，所以就算你给我个概率性的门，我能够保证它能过来吗？过不来。
同样的，你让第一个蓝色的试试，蓝色的碰见第一个就过不来了，对吧？所以，也是都过不来。
我们增加了一个奇怪的概率性的门，可是就算有这个门，我们也不可能有任何一个硬币，能够从前面穿过来，除非它们是这种关系。
这个结论放在脑子里，非常的重要，这是经典的对象，你完全能解释的，你看见的行为是这个样子。
结论就是当你把前后两个，完全让它相互互补的时候，中间无论你做什么事情，你甚至允许概率门的存在，硬币也是过不来的。
我们现在来做一个让中间的这个振动，能够通过斜的传过去的实验，为了使得跟刚才的基本上一样，我们来重复刚才的步骤。
第一个就是所有的三个门相当于一个门的作用，它们都是一个方向，你看见什么呢？你看见我这个抖动能够非常容易地从我这边传到最远处，这就是第一个现象。
现在我们让第一个门变成直的，然后我们来看一看这时候传过去的振动会怎么样。
当然，由于这个缝宽，实际上还是有个实际的缝宽的，所以也能有小小的振动传过去，如果严格的就只能在这个竖直方向振动，而不能在水平方向振动的话，第一个门如果严格的是这么宽的话，那么远处的振动将完全没有。
但是现在还有一个小小的振动，可是你对比两个幅度来说，你会非常清楚地看见它们幅度上的差别。
现在的问题就是我们有没有办法，经过中间的那个门，这正好就是第一个门有个红色的球过去，最后一门只能让蓝色的球出来，它完全不能出球，对吧？现在我们放个斜的，看看能不能有东西出来。
我们把中间那个门改成斜的。
可以看到这个抖动的效果也已经完全不一样了，如果你仔细看这个抖动，你就会发现，在第一个门的时候，我的抖动可能还是竖直的，或者还是水平的。
但是，在第二个门的时候，它的抖动呢，它是这个斜方向的。
而由于第二个门是个斜方向的抖动，它这个第三个门，本来它水平方向的抖动，在之前第二个门还是水平（方向）的时候（是）很小很小的，可是这个斜方向的抖动使得我传过去的抖动，就要比刚才那个强很多很多，这就是中间那个斜着的门的效果。
然后你会发现很像很像我们刚才做的那个硬币的实验，颜色的实验，可是它结果完全不一样。
这是怎么回事呢？我们做一个跟刚才做过的颜色的实 60 第三章量子系统的行为 验完全平行的实验，但是结果完全不一样的实验。
在这个实验里头，我们每一道门，就是这个方向的槽，这个槽只能允许 这个绳子在这个方向振动。
第一个实验，我们看见我们有三个相同方向的槽，三个相同方向的槽就会使得我们的振动，基本上完整地被传了过去，所以那个振动是最强烈的。
接着，我们把第一个门改成竖直方向的门，这个时候，我这么去振动它，你看第二个门和第三个门的振动幅度，你就会发现它的幅度就小很多很多。
我也可以这么振，我这么振，第一个门的幅度很大，可是第二个门和第三个门的幅度很小很小，也就是说不管我怎么振，传到远方的振动总是很小。
现在我们来做一件神奇的事情，把中间的那个门换成一个斜的方向的门，差不多45度。
这时候你就发现它传过去的，比我刚才传过去的要大很多，如果你看得不是特别清楚，你可能把眼睛盯住那个门那儿，看它大概多少幅度在振动，可能会看得更清楚。
这个就是我们这个神奇的现象，经过中间那个斜着的门，你看本来是跟刚才的对比，一个挡住红颜色，一个挡住蓝颜色的，一个挡住一半红一半蓝的，它不可能有东西过去，对吧？但是，现在我们放个真的斜的门，竟然振动传过去了，这是为什么？好，谢谢大家！ 3.2窄门实验的解释 稍微来解释一下刚才这个实验，这个实验是怎么解释的呢？它是这么解释的，它说第一个门传过来的振动，就是一个这个方向的矢量，你把它看作这样一个矢量。
第二个方向的门，如果只有这个水平方向，那就是这么一个情况，也就是第一个矢量是这个方向的，然后问它有没有一个水平方向的分量，因为只有有分量，才能传过去，一会儿我再来解释为什么有分量才能传过去。
然后你发现它没有分量，所以只有前后两个门，没有
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