JapaneselanguageeditionKikaiKoushikiKatsuyouPocketBookEditedbyShuichiOkanoCopyright　1967byShuichiOkanoPublishedbyOhmsha,Ltd.ThisChineseversionpublishedbySciencePress,BeijingUnderlicensefromOhmsha,Ltd.Copyright　2004Allrightsreserved 機械公式活用ポケツトブツク 岡野修一オ　ム社2004 执笔者一览 阿部和男(前东京都立羽田工业高等学校教师)冈野修一(曾就职于东工学园工业教育研究所)小町弘(曾就职于东京都立工业高等专科学校)高桥丰次(曾任东京都立小石川工业高等学校校长)直井清(曾任东京都立工艺高等学校教师)仲正文(曾就职于日本工业大学) 冈野修一 1932年 编者简介 神户高等工业学校机械科毕业曾就职于东工学园工业教育研究所 OHM公式手册系列 机械公式应用手册 〔日〕冈野修一编杨晓辉白彦华译 段振云校 北京 图字:01-2004-5415号 内容简介 本书是“OHM公式手册系列”之
一。
本书针对高等工科院校机械类专业的学生选定重要及必要的公式,以既能够应用公式又能够培养计算能力为原则,精选典型的例题进行解析。
其中包括二力合成、力距、匀加速运动、动量与冲量、功、转动惯量、单摆、弯曲应力、欧拉公式、扭转、组合应力、摩擦离合器、棘轮等。
本书应用性强,携带方便,是机械专业学生及技术人员的必备手册。
图书在版编目(CIP)数据 机械公式应用手册/(日)冈野修一编;杨晓辉,白彦华译,段振云校.—北京:科学出版社,2005 (OHM公式手册系列)ISBN7-03-014423-
6 Ⅰ.机…Ⅱ.①冈…②杨…计-公式-手册Ⅳ.TH12-62 ③白… ④段… Ⅲ.机械设 中国版本图书馆CIP数据核字(2004)第106515号 责任编辑:杨凯崔炳哲/责任制作:魏谨责任印制:刘士平/封面设计:科龙创作室抒音 出版 北京东黄城根北街16号 邮政编码:100717 北京东方科龙图文有限公司制作 源海印刷有限责任公司印刷 科学出版社发行各地新华书店经销 * 2005年1月第一版开本:B6(720×1000) 2006年6月第三次印刷印张:63/8 印数:7001—8500 字数:107000 定价:14.50元 (如有印装质量问题,我社负责调换〈新欣〉) 数学符号符号 意义 + 加,正 - 减,负 ± 加或减,正或负 × 乘 ÷ 除 = 相等 ≠ 不相等 ≈ 近似相等 > 大于 < 小于 ≯ 不大于 ≮ 不小于 ≥ 大于或等于 ≤ 小于或等于 　 远大于 　 远小于 符号
≡　∶∝∞xnxnxn!
|x||| ∑　ei,jπ 意义恒等不恒等 比成比例无穷大x的n次方x的平方根x的n次方根n的阶乘x的绝对值行列式 总和相乘积自然对数的底函数的单位圆周率 符号()[]{} a%
G.C.M.L.C.M.∠R∥∽∴∵θ°θ′θ″rad 意义小括号中括号大括号a的平均值百分号最大公约数最小公倍数 直角平行相似所以因为 度分秒弧度 希腊字母希腊字母 αβγδεζηθ 中文阿尔法 贝塔伽马德耳塔文普西隆截塔艾塔西塔 希腊字母ικλμνξοπ 中文约塔卡帕兰布达米尤 纽克西奥密克戎 派 希腊字母ρστυφχφω 中文洛 西格马陶 宁普西隆斐喜 普西奥里伽 前言 工业的基础是机械行业,因此希望加强对从事机械行业的技术人员的培养,进而推动整个工业的发展。
虽然日本的机械技术进步较快,但要掌握机械技术,就必须对各个基础领域有充分的认识。
我们针对机械技术的基础,以及如何掌握它们等问题进行了广泛地探讨,如灵活运用公式是否对培养解决问题的能力很重要?
至今为止我们已出版了许多习题和练习册,而本书的着眼点则是公式的应用,并将他们整理成简洁的手册,使之能够经常地带在身边查看。
本书编写的侧重点如下:
1.针对高等工科院校机械类专业的学生选定重要及必要的公式。

2.公式是根据相互间的有机联系组织的,从而避免了公式的简单罗列。

3.着眼于将一个公式变形后的应用。

4.以既能够应用公式又能够培养计算能力的原则来选择合适的例题。

5.计算值原则上保留3位有效数字,并采用了设计值的数值圆整,以及应用标准数等。
需要注意的是齿轮关系等的数值取到小数点后2位,但也有要求取到3位的。
本书执笔者的愿望是不仅能够在高等工科院校培养出专业技术人员,还要将多年积累的经验传授给学生。
但是,要完成当初的设想有许多的困难,所以,希望大家多提宝贵意见,使本书更加完善。
编者 目录
1.二力合成………………………………………………………………12.力矩…………………………………………………………………23.多个力的合成…………………………………………………………34.平行力系的合成………………………………………………………45.重心与形心……………………………………………………………56.作用于一点的力的平衡………………………………………………67.作用点不同的力系平衡………………………………………………78.桁架的解法……………………………………………………………89.滑动摩擦………………………………………………………………910.速度与相对速度……………………………………………………1011.匀加速运动…………………………………………………………1112.落体运动……………………………………………………………1213.抛物运动……………………………………………………………1314.圆周运动……………………………………………………………1415.力与运动的关系……………………………………………………1516.向心力与离心力……………………………………………………1617.动量与冲量…………………………………………………………1718.动量守恒定律与碰撞………………………………………………1819.功……………………………………………………………………1920.功率………………………………………………………………2021.能……………………………………………………………………2122.功与能的关系………………………………………………………2223.功的原理……………………………………………………………2324.斜面………………………………………………………………2425.螺纹………………………………………………………………2526.卷筒………………………………………………………………2627.滑轮………………………………………………………………2728.转动惯量……………………………………………………………2829.转矩和旋转运动……………………………………………………2930.转动的功、功率及能量……………………………………………3031.滚动摩擦……………………………………………………………3132.简谐振动……………………………………………………………3233.单摆………………………………………………………………33 34.弹簧摆………………………………………………………………3435.扭摆………………………………………………………………3536.正应力………………………………………………………………3637.剪切应力……………………………………………………………3738.应变………………………………………………………………3839.弹性模量……………………………………………………………3940.泊松比………………………………………………………………4041.应力集中……………………………………………………………4142.热应力………………………………………………………………4243.许用应力和安全系数………………………………………………4344.薄壁圆筒压力容器…………………………………………………4445.厚壁圆筒压力容器…………………………………………………4546.弹性能………………………………………………………………4647.冲击载荷……………………………………………………………4748.梁的支点反力………………………………………………………4849.梁的剪切力和弯矩…………………………………………………4950.承受集中载荷的悬臂梁……………………………………………5051.承受均布载荷的悬臂梁……………………………………………5152.承受集中载荷的简支梁……………………………………………5253.承受均布载荷的简支梁……………………………………………5354.多载荷作用的梁……………………………………………………5455.截面惯性矩和截面系数……………………………………………5556.弯曲应力……………………………………………………………5657.梁的挠度……………………………………………………………5758.等强度梁……………………………………………………………5859.欧拉公式……………………………………………………………5960.朗肯公式……………………………………………………………6061.扭转
(1)……………………………………………………………6162.扭转
(2)……………………………………………………………6263.组合应力
(1)………………………………………………………6364.组合应力
(2)………………………………………………………6465.组合应力
(3)………………………………………………………6566.螺纹的旋合长度及其面压力………………………………………6667.螺栓直径……………………………………………………………6768.压力容器与管………………………………………………………6869.弯矩作用的轴直径…………………………………………………6970.扭矩作用的轴直径…………………………………………………7071.扭转和弯曲同时作用的轴直径……………………………………71 ⅳ 72.传动轴的直径和跨度………………………………………………7273.摩擦离合器…………………………………………………………7374.轴端为径向轴承的轴颈设计………………………………………7475.轴中间为径向轴承的轴颈设计……………………………………7576.摩擦生热时轴承的尺寸……………………………………………7677.止推轴承轴颈的轴承压力与摩擦弯矩……………………………7778.止推轴颈的设计……………………………………………………7879.轴颈凸缘的设计……………………………………………………7980.四杆回转机构………………………………………………………8081.往复滑块曲柄机构…………………………………………………8182.带传动的传动比、长度及包角……………………………………8283.皮带轮的尺寸………………………………………………………8384.皮带的张紧力………………………………………………………8485.皮带低速传动时的张紧力…………………………………………8586.皮带的传递功率与强度……………………………………………8687.平带传动装置的设计………………………………………………8788.V带的传递功率……………………………………………………8889.链轮的尺寸…………………………………………………………8990.滚子链的链节数与传递的功率……………………………………9091.滚子链传动装置的设计……………………………………………9192.摩擦传动装置………………………………………………………9293.齿轮的模数与径节…………………………………………………9394.基节………………………………………………………………9495.标准直齿轮的尺寸…………………………………………………9596.最小根切齿数………………………………………………………9697.变位系数与变位量…………………………………………………9798.变位齿轮的尺寸
(1)………………………………………………9899.变位齿轮的尺寸
(2)………………………………………………99100.公法线长度………………………………………………………100101.刘易斯公式………………………………………………………101102.面压强与圆周力…………………………………………………102103.斜齿轮的尺寸……………………………………………………103104.斜齿轮的当量齿数与强度………………………………………104105.锥齿轮的锥顶角…………………………………………………105106.直齿圆锥齿轮的尺寸……………………………………………106107.螺旋齿轮的传动比………………………………………………107108.蜗轮蜗杆的尺寸
(1)……………………………………………108109.蜗轮蜗杆的尺寸
(2)……………………………………………109 ⅴ 110.齿轮系的传动比…………………………………………………110111.行星齿轮装置……………………………………………………111112.差动齿轮装置……………………………………………………112113.棘轮……………………………………………………………113114.单片式制动器……………………………………………………114115.带式制动器
(1)…………………………………………………115116.带式制动器
(2)…………………………………………………116117.螺旋弹簧…………………………………………………………117118.三角板簧…………………………………………………………118119.板弹簧……………………………………………………………119120.铸造型砂的透气性………………………………………………120121.金属液对铸型的压力……………………………………………121122.坯料的尺寸………………………………………………………122123.钢球规测量内径…………………………………………………123124.锥形轴及锥孔的测量……………………………………………124125.三针量规测量螺纹中径…………………………………………125126.压强……………………………………………………………126127.液柱压力计(压力计)……………………………………………127128.水压机的原理(帕斯卡原理)……………………………………128129.作用于侧壁面上的压力…………………………………………129130.连续性方程式……………………………………………………130131.伯努利定理………………………………………………………131132.托里拆利定理……………………………………………………132133.雷诺数……………………………………………………………133134.水头损失…………………………………………………………134135.管路的局部损失…………………………………………………135136.流量的测量
(1)…………………………………………………136137.流量的测量
(2)…………………………………………………137138.射流冲击反力
(1)………………………………………………138139.射流冲击反力
(2)………………………………………………139140.水轮机的特性……………………………………………………140141.佩尔顿冲动式水轮机……………………………………………141142.法兰西斯式水轮机………………………………………………142143.泵的功率和效率…………………………………………………143144.离心泵……………………………………………………………144145.热力学第一定律…………………………………………………145146.P-υ曲线与焓……………………………………………………146147.理想气体的状态方程……………………………………………147 ⅵ 148.理想气体的状态变化
(1)………………………………………148149.理想气体的状态变化
(2)………………………………………149150.多变过程…………………………………………………………150151.理想气体的混合…………………………………………………151152.热力学第二定律…………………………………………………152153.蒸气的状态量……………………………………………………153154.朗肯循环…………………………………………………………154155.蒸气流的基础方程………………………………………………155156.热交换器…………………………………………………………156157.燃烧……………………………………………………………157158.燃烧装置…………………………………………………………158159.锅炉的性能………………………………………………………159160.汽轮机的作用……………………………………………………160161.汽轮机的性能……………………………………………………161162.内燃机的理想循环………………………………………………162163.内燃机的功率与效率……………………………………………163附录…………………………………………………………………164 ⅶ 1二力合成 [1]二力的夹角为α时(参见图1) R=F12+F22+2F1F2cosα(kg)1)tan　=F2sinα F1+F2cosα　:合力R与F1的夹角[2]二力的夹角为直角时(参见图2) R=tan　= F12+F22F2F1 (kg)
(1)(2) 图
1
(3)(4) 图
2 例题已知30kg和40kg的两个力作用在一点上,两个力夹角为60°,求其合力。
解答将F1=30kg,F2=40kg,α=60°代入式
(1),式
(2)得 R=302+402+2×30×40×cos60°=3700=60.8(kg) 40×sin60° 40×0.866 tan　=30+40×cos60°=30+40×0.5=0.693 所以　=34°45′(合力与30kg力的夹角) 例题水平面上有一质量为100kg的物体,当向物体施加50kg的水平力时,求物体 对水平面的作用力是多少?
解答如图3所示,平面所受的力是100kg力和50kg力的合力。
将F1=100kg,F2=50kg代入式
(3)和式
(4)得 R=1002+502=112(kg) tan　=50=0.5,100 所以　=26°34′ 图
3 例题如图4所示,小船由两根相互成120°夹角的绳索牵引,当绳索的拉力为15kg 时,问小船受到拉力是多少?
方向如何?
解答拉小船前进的力是两个力的合力。
将F1=F2=15kg,α=120°代入式
(1)得 cosα=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=-0.5 R=152+152-2×15×15×0.5=15(kg)因为两个力相等,所以合力的方向在两个力的角平分线上。
图
4 MEMO当二力没有作用在一点上时,可以分别把两个力移到作用线的交点上,这时式
(1)、
(2)也适用。
1)本书尊重日本原书,个别单位的使用与我国习惯不符,请读者注意换算———编辑注。

1 2力矩 [1]力矩(参见图1(a)) M=Fl=f′lcosθ=Fcosθ′l(kg·cm)
(1) [2]力偶矩(参见图1(b)) M=Fd(kg·cm)
(2) [3]力矩的合成 M=　Mi=　Fili(=∑Fidi)
(3) 例题如图2所示,求对轴的旋转力矩?
解答将F=15kg,l=20×cos30°+10=27.32cm代入式
(1)中,则 M=15×27.32=409.8(kg·cm)(逆时针旋转) 图
1 例题解答 例题解答 图
2 图
3 如图3所示,求对轴的力矩?
设顺时针旋转力矩为正(+),由式
(1)和式
(3)得 M=10×50×cos60°-30×30-20×20+10×40=-650(kg·cm)(逆时针旋转) 如图4所示,当一个正方形零件上作用4个力时,求轴O所受的作用力?
在4个力中,50kg和100kg的两个力构成力偶,由式
(2)和
(3)得 M=100×10-50×20×cos45°=293(kg·cm)(顺时针旋转) 图
4 图
5 例题如图5所示,在距离轴为l的位置上作用一个力
F,求轴所受的作用力?
解答当某一点受到大小相等方向相反的两个力作用时,在力学上是与没有受到两 个力作用的效果一样。
所以在图5所示的轴上可以认为作用有大小等于F的两个力F′、F″。
这样,轴不仅受到F″与F构成的力偶M=Fl的作用,而且还受到与F同方向的力F′=F的作用。
MEMO①∑是表示求和的符号。
式
(3)可展开为∑Mi=M1+M2+M3+…,∑Fili=F1l1+F2l2+F3l3+… ②力偶是单纯旋转的原动力。
当物体受到力偶的作用时,无论物体的转轴在哪,绕转轴使物体旋转的能力是一样的。
所以,力偶矩不像力矩那样有中心。

2 3多个力的合成 [1]力作用在一点时(参见图1)绕该点旋转的合成力矩M=
0 R=Rx2+Rv2=(∑Ficosαi)2+(∑Fisinαi)2(kg)
(1) tan　=Rv=　Fisinαi
(2) Rx　Ficosαi [2]力不作用在一点时(参见图2) 作用在该点O的合力R可由式
(1)和式
(2)求得。
M=∑Mi
(3) 参照力矩一节图5的例题 图
1 图
2 例题求作用在一点上4个力的合力?
其中,F1=7kg,F2=6kg,F3=5kg,F4=4kg,∠F1F2(F1与F2的夹角)=90°,∠F2F3=60°,∠F3F4=60°。
解答引入X-Y直角坐标系,使F1与X轴重合,各力如图3所示。
F3x=-F3cos30°=-5×0.866=-4.33(kg)F3y=F3sin30°=5×0.5=2.5(kg)F4x=-F4cos30°=-4×0.866=-3.46(kg)F4y=-F4sin30°=-4×0.5=-2(kg) 由式
(1)得 所以 Rx=7+0-4.33-3.46=-0.79(kg)Ry=0+6+2.5-2=6.5(kg)R=0.792+6.52=42.87=6.55(kg) 6.5tan　=-0.79=-8.23 图
3 所以　≈83°(tan　的结果是负的,所以朝向-X和Y轴。
) MEMO与
X,Y轴重合的力不分解。

3 4平行力系的合成 [1]方向相同的两个平行力的合成(参见图1) R=F1+F2
(1) l1 = l
F F2+
F 1
2 l2 = l
F F1+
F
(2)
1 2 l1:合力R与力F1作用线间的距离(cm) l2:合力R与力F2作用线间的距离(cm) l:力F1与力F2作用线间的距离(cm)[2]方向相反的两个平行力的合成(参见图2) R=F1-F2
(3) l1=lF1F-2F2,l2=lF1F-1F2
(4)合力R在较大力的外侧并与其同向 [3]多个平行力的合成(参见图3) R=F1+F2+…=∑Fi
(5) l=F1l1+F2l2+F3l3+…=ΣFili
(6)
R ΣFi Fi:各平行力(kg) li:从任意点O到力Fi的距离(cm) l:从点O到合力R的距离(cm) 图1图2图
3 例题已知5cm的距离上作用有40kg和10kg的两个平行力,试分别求两个平行力 相同方向时和相反方向时的合力。
解答当两个平行力相同方向时,将F1=40kg,F2=10kg代入式
(1)和式
(2);相反方向时,代入式
(3)和式
(4)得 R=40+10=50(kg) l1=5×401+010=1(cm) R=40-10=30(kg) 例题 l2=5×401-010=1.67(cm)如图4所示,求四个平行力的合力?
图
4 解答设力的方向朝下为正,力矩顺时针旋转为正。
将F1=50kg,F2=-80kg, F3=70kg,F4=40kg,l1=0,l2=20cm,l3=30cm,l4=50cm代入式
(5)和式
(6)得R=50-80+70+40=80kg(方向朝下) l=-80×20+70×30+40×50=2500=31.3(cm) 80 80 因合力的力矩2500(kg·cm)为顺时针旋转,所以合力R作用在F1右侧31.3cm处。

4 5重心与形心 [1]重心的位置(参见图1) x=Σωixi y=Σwiyi
(1)
W W x,y:重心的坐标(cm),xi,yi:各部分的坐标(cm)wi:各部分的重量(N),W:物体的重量(N)。
[2]形心的位置 珚x=　aixi 珔y=∑aiyi
(2)
A A 珚x、珔y:形心的坐标(cm) xi、yi:各部分的坐标(cm)ai:各部分的面积(cm2)A:总面积(cm2) aixi、aiyi:各部分的面积矩(cm3) 图
1 例题图2(a)所示的零件为均质材料制作的等厚体,求其重心位置?
解答将图2(a)所示的物体分割成图2(b)Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部 分。
因为是均质等厚体,所以重心与1/2厚度处的形心 重合。
又因为零件左右对称,所以形心在中心线上。
根 据图2(b),将a=10×20=200(cm2),a=20×10=
1 2 200(cm2),a=10×30=300(cm2),A=200+200+300=
3 700(cm2),y=10+20+5=35(cm),y=10+10=
1 2 20(cm),y3=5(cm)代入式
(2)得 珔y=200×35+200×20+300×5=12500 700 700 =17.9cm 例题求如图3所示的带有圆孔的正方形薄板的形心位置。
图
2 解答建立如图3所示的X-Y坐标系,形心在X轴上,圆孔的 面积矩按负值计算。
将a1x1=100×100×50=500000(cm3),a2x2=-π×202×(50-20)=-37700(cm3),A=100×100-π×202=8744(cm2)代入式
(2)得 x=500000-37700=462300=52.8(cm) 8744 8744 图
3 MEMO计算简单形状物体各部分的和或者差时,首先要分别求各部分的重心(形心),再将各部分重量(面积)按负值或者正值处理后,其合成的位置就是重心(形心)的位置。

5 6作用于一点的力的平衡 [1]作用于一点的力的平衡条件 Rx=F1x+F2x+F3x+…=∑Fix=
0
(1) Ry=F1y+F2y+F3y+…=∑Fiy=
0 Fix,Fiy:以作用点为原点的X-Y直角坐标轴上各力的分量 Rx,Ry:各轴分力的合力 [2]三力平衡(拉密定理)(参见图1) F1=F2=F3sinα1sinα2sinα
3 图1
(2) 例题如图2所示,2根细绳挂在重50kg物体的某一点上,当2根细绳分别与水平方向成60°,45°的夹角将物体吊起时,求2根细绳的张力。
解答设细绳的张力分别为T1,T2,物体的重量为
W,T1,T2,
W 三力平衡。
所以由式
(1)得到下列平衡式。
Rx=Ry= T1x+T1y+ T2x+Wx=0……①T2y+Wy=0……② 图
2 其中,T1x=T1cos45°=0.707T1,T1y=T1sin45°=0.707T1,T2x=-T2cos60°= -0.5T2,T2y=T2sin60°=0.866T2,Wx=
0,Wy=-50(kg)∴0.707T1-0.5T2=0……③ 0.707T1+0.866T2-50=0……④④-③1.366T2=50,∴T2=36.6(kg) 再代入式
(3)得T1=25.9(kg) 例题试用拉密定理求解上一例题。
解答 将 F1 = W=50kg,F2 = T1, F3 = T2 ,sinα
1 = sin[180°- (60°+45°)]=sin75°=0.966,sinα2=sin(60°+90°)=cos60°= 0.5,sinα3=sin(45°+90°)=cos45°=0.707代入式
(2)得 50=T1=T20.9660.50.707 因此,T1=25.9(kg),T2=36.6(kg) 例题图3中的各力平衡,求细绳张力及其与水平方向的夹角θ。
解答由式
(1)可得到下面的平衡式: Rx=4cos30°-Tcosθ=0……①Ry=4sin30°+Tsinθ-20=0……②由①,②得:Tcosθ=3.46,Tsinθ=18 T=(Tcosθ)2+(Tsinθ)2=tanθ=Tsinθ=18=5.2 Tcosθ3.46所以θ=79°10′ 3.462+182=18.3(kg) 图
3 MEMO同一平面上的三个力,当三个力平行或作用于一点时能够平衡。

6 7作用点不同的力系平衡 [1]作用点不同的力系平衡条件 Rx=F1x+F2x+F3x+…=∑Fix=
0 Ry=F1y+F2y+F3y+…=∑Fiy=
0
(1) M=M1+M2+M3+…=∑Mi=0Fix,Fiy:各力在任意X-Y坐标轴上的分力(kg) Rx,Ry:各力在
X,Y轴上分力的合力 Mi:各力对任意点的力矩,M:各力对任意点力矩的总和 例题如图1所示,已知在用铰链和绳索支撑起来的水平杆端悬挂了40kg的重物,求绳索受到的张力。
解答杆所受到的力为物体重力40kg、绳索张力及铰链的 反力,三力平衡。
因为本题只要求计算绳索的张力
T,所以,只要用2个绕铰链旋转的力矩平衡即可解决。
将M1=40×3=120(kg·m),M2=-T×sin45°×2=-1.4T代入式
(1),则 M=120-1.4T=0T=85.7(kg)例题如图2所示,在长2米的水平梁上作用有200kg和150kg的两个力,如果左端支点反力为50kg,问另一支点应设计在什么位置上,其支点反力为多少?
解答设所求支点反力为
R,距离左端支点为l。
垂直力 及其对O点的力矩平衡,所以,由式
(1)得Ry=50-200-150+R=0…………………①M=-Rl+150×1.5+200×1=0………② 由式①得R=300kg,由式②得1=1.42m 例题求图3中铰链的反力P和绳索的张力
T。
解答在图3中,
P,T和W三力平衡。
由式
(1)得 Rx=Px-Tcos30°=0……………………………①Ry=Py-20+Tsin30°=0………………………②M=-Tsin30°×2.5+20×1.5=0……………③ 由式③得2.5Tsin30°R=30∴T=24(kg) 由式①得由式②得 Px=Tcos30°=24×0.866=20.8(kg)Py=20-Tsin30°=20-24×0.5=8(kg) 所以P=Px2+py2=20.82+82=496=22.3(kg) tanθ=Py=8=0.384Px20.8 所以θ≈21° 图1图
2 图3
7 8桁架的解法 [1]节点法(求作用在所有构件上的力时使用)由构件作用在每个节点上的力构成平衡条件,计算出作用在构件上的力。
参照 P6.作用在一点的力的平衡。
Rx=∑Fix=
0 Ry=∑Fiy=
0
(1) [2]截面法(求作用在部分构件上的力时使用) 假想将桁架切断,由作用在假想断面上的外力和构件的作用力平衡,计算出作用 在构件上的力。
参照P7.作用点不同的力的平衡。
Rx=∑Fix=
0 Ry=∑Fiy=
0 M=∑Mi=
0
(2) 例题如图1所示,求作用在桁架各构件上的力。
解答作用在各构件上的力,例如作用在AC构件上的力 用FAC表示。
由对A点的力矩平衡得 -RB×4+2000×3+2000×2+1000×1=
0 4RB=11000 所以RB=2750(kg) RA=2000+2000+1000-RB=2250(kg) 在节点A所以FAD FADsin60°=RA=2600(kg)(压力) 图
1 FAC=FADcos60°=1300(kg)(拉力) 在节点BFBEsin60°=RB 所以FBE=3180(kg)(压力) FBC=FBEcos60°=1590(kg)(拉力) 在节点
D,因为不知道FDC和FDE的方向,所以,先假定为拉力进行计算。
FDE+FDCcos60°+2600cos60°=0…………………① 1000+FDCsin60°-2600sin60°=0…………………② 由②得FDC=1440(kg)(拉力) 由①得FDE=-2020(kg)(压力) 在节点E2000+FECsin60°-3180sin60°=
0 FEC=870(kg)(拉力) 例题在上一例题中,求作用在构件DE、DC和AC上的力。
解答假设过图2中的点划线切断桁架后,5个力平衡。
求对 C点的力矩 1000×1-2250×2-FDE×2sin60°=0∴FDE=-2023(kg)(压力)对D点FAC×2sin60°-2250×1=0∴FAC=1300(kg)(拉力)由垂直方向的平衡得 FDCsin60°+1000-2250=0所以FDC=1443(kg)(拉力) 图
2 8 9滑动摩擦 [1]静摩擦(参见图1) F0 =μ
0 N
(1) tan　0=μ
0
(2) F0:最大摩擦力(kg) 　0:静摩擦角 N:接触面的垂直压力(kg) μ0:静摩擦系数[2]动摩擦 F=μ
N
(3) tan　=μ
(4) F:动摩擦力(kg),μ:动摩擦系数 　:动摩擦角,N:接触面的垂直压力(kg) 图
1 例题如果向静止在水平面上重力为80kg的物体施加20kg的水平力,使物体开始运动,求静摩擦系数和摩擦角。
解答将F0=20kg,N=80kg代入式
(1)中,得 20=μ×80即μ=20=0.25
0 080 例题 将μ0=0.25代入式
(2)中,则 tan　0=0.25 ∴　0=14° 将重量为100kg的物体放在板上,若使板倾斜,当板与水平面成30°角时物体 开始滑动。
当板返回水平位置,使物体在水平力的作用下移动,应施加多大的力?
解答在图2中,物体开始运动时,沿板的下滑力就是最 大摩擦力。
Wsinθ=μWcosθ,μ=Wsinθ=tanθ
0 0Wcosθ 与式
(2)比较得到θ=　
0 物体依靠重力开始沿斜面下滑时的倾斜角(也称静止 角)等于摩擦角。
图
2 μ=tanθ=tan30°=0.577
0 将μ=0.577,N=W=100kg代入式
(1)中,得
0 F0=0.577×100=57.7(kg) 摩擦应用中的斜面问题见P24。
MEMO静摩擦力与外力方向相反,并随着外力的增加而增加,当达到最大摩擦力后就不再增大。
摩擦力是一种阻力,没有外力也就不存在摩擦力。

9 10速度与相对速度 [1]速度 v=st (m/s)s=vt(m) [2]相对速度(参见图1) →v=→v+(-→v)=→v-vv r b a b a vr:B对A的相对速度 va:A的绝对速度 vb:B的绝对速度
(1)
(2)图
1 例题匀速运动的物体12秒移动了240米,求运动速度。
解答将s=240m,t=12s代入式
(1)得 例题 v=240=20(m/s)12 东京到大阪的距离为553.7km,特快列车用时3小时。
求列车的平均速度。
解答将s=553.7km,t=3h代入式
(1)求平均速度 v=553.7=184.6(km/h)=184.6×1000=51.3(m/s)
3 60×60 例题在一列以36km/h水平行驶的火车上观察以10m/s垂直落下的雨时,问雨的 方向和速度。
解答求雨相对观察者的相对速度 式
(2)中的→v=36km/h,→v=10m/s a b vr= v 2a + v 2b tanθ=v/v ab ∵va=36(km/h)=36×1000/(60×60)(m/s)=10(m/s),vb=10(m/s) ∴vr=102+102=200≈14(m/s)tanθ=10/10=1∴θ=45° 例题如图所示,蒸汽以500m/s的速度作用到旋转的汽 轮机叶片上。
求圆周速度为200m/s时的蒸汽速度。
解答将→va=500m/s,→vb=200m/s代入式
(2),得 vr=5002+2002-2×500×200cos15°=311(m/s) sinθ=AD=AD·AC=sin15°×500=0.416 ABACAB 311 ∴θ=24°35′ 图
2 MEMO 10 式
(2)的→va表示矢量va。
所以,式
(2)的计算是矢量合成。
11匀加速运动 [1]加速度 a=v-v0(m/s2)
(1) t a:加速度(m/s2) v0:初始速度(m/s)v:t时刻的速度(m/s) t:时间(s) [2]匀加速运动 v=v0+at
(2) s=v0t+1/2at2
(3) v2=v02+2as
(4) s:移动的距离 例题一辆汽车以60km/h的速度行驶,3秒后达到30km/h,求其加速度。
解答将v0=60km/h=60×1000/(60×60)m/s=16.66m/s,v=30km/h=30×1000/(60×60)m/s=8.33m/s,t=3s代入式
(1)得 a=8.33-16.66=-2.78(m/s2)
3 例题以速度8m/s行驶的汽车,在以3m/s2的加速度行驶6秒后,求行走的距离和速度。
解答将v0=8m/s,a=3m/s2,t=6s代入式
(2)、式
(3)得 s=8×6+1×3×62=102(m)2 v=8+3×6=26(m/s)例题以72km/h速度行驶的汽车紧急刹车后,又行走了40米停止。
求刹车后的加速度以及刹车时间。
解答得 将v0=72km/h=72×1000/(60×60)m/s=20m/s,v=0,s=40m代入式
(4) 0=202+2×40a a=-22×0240=-48000=-5(m/s2) 将v=0,v0=20m/s,a=-5m/s2代入式
(2)得0=20-5t t=20÷5=4(s) 11 12落体运动 [1]垂直向下投掷时 v=v0+gt
(1) h=v0t+12gt2
(2) v2=v20+2gh v0:投掷速度(m/s),v:t时刻的速度(m/s),t:时间(s)g:重力加速度(m/s2),h:下落距离(m) [2]垂直向上投掷时 v=v0-gt(4)h:上升距离(m) h=v0t-1/2gt2
(5) v2=v20-2gh
(3)(6) 例题以49m/s的初始速度垂直向上投掷一物体,求(a)物体到达最大高度时所需时间;(b)当速度达到20m/s时,上升的高度和时间;(c)落地时所需的时间和速度;(d)达到78.4m高度所需时间。
解答(a)将v0=49m/s,v=0,g=9.8m/s2代入式
(6)得0=492-2×9.8×h∴h=122.5(m) 将v0=49m/s,v=0,g=9.8m/s2代入式
(4)得0=49-9.8t∴t=5(s) (b)将v0=49m/s,v=20m/s,g=9.8m/s2代入式
(4)得20=49-9.8t∴t=2.96(s) 将t=2.96s,v0=49m/s,g=9.8m/s2代入式
(5)得h=49×2.96-1/2×9.8×2.962=102(m) (c)将h=0,v0=49m/s,g=9.8m/s2代入式
(5)得0=49t-1/2×9.8t2∴t=10(s) 将t=10s,v0=49m/s,g=9.8m/s2代入式
(4)得v=49-9.8×10∴v=-49(m/s)(向下) (d)将h=78.4m,v=49m/s,g=9.8m/s2代入式
(5)得 0 78.4=49t-1/2×9.8t2,整理后得4.9t2-49t+78.4=0解一元二次方程得t=2s(上升中),t=8s(下降中)例题在1000米高度以3m/s的初始速度向下投掷一物体,求物体下落到200米高度时的速度。
解答将v0=3m/s,g=9.8m/s2,h=1000-200=800m代入
(3)得 v2=32+2×9.8×800=9+15660=15669∴v=15669≈125(m/s) MEMO重力加速度g的值根据在地球上位置的不同而异。
国际标准值为9.80665m/s2,在东京为9.79801m/s2,工程计算取9.8m/s2。
12 13抛物运动 [1]斜抛时(参照图1) vx = vcosθ
0
(1) vy = vsinθ-
0 gt x=v0tcosθ
(2) y=vsinθ-1gt2
0 2 v=tan　= v02-2gyvsinθ-gt 0 v0cosθ
(3) 图
1 v0 :初始速度 ,v:t 时刻的速度 ,vx :v的水 平分 量 ,vy :v的垂 直分 量 ,θ:v与水
0 平 面的夹角,　:v与水平面的夹角,x:水平方向移动的距离,y:垂直方向移动的距离, t:时间 例题在平地上以与水平面成30°的仰角、60m/s的初速度抛掷一物体,求物体上升的最大高度,以及多长时间后在距离抛掷地点多远处落下?
解答将y=0,v0=60m/s,θ=300代入式
(2)得 0=60×sin30°×t-1×9.8×t22 t=2×60sin30°÷9.8=6.12(s) 由此得x=v0tcosθ=60×6.12×cos30°=318(m)将vy=0,v0=60m/s,θ=30°代入式
(1)得 0=60×sin30°-9.8t∴t=60×sin30°÷9.8=3.06(s)将v=60m/s,θ=30°,t=3.06s代入式
(2)得 0 y=60×3.06×sin30°-1×9.8×3.062=45.9(m)
2 例题从2000米高度以360km/h速度飞行的飞机上落下一物体,求物体的落点距 离当时飞机的正下方多远,以及到达地面的速度和与地面成的角度?
解答得 将y=-2000(m)(负号表示朝下),v=360km/h=100m/s,θ=0代入式
(2)
0 -2000=100×t×sin0-1×9.8×t22 ∴t≈20(s) 由此得x=100×20×cos0=2000(m) 将v=100m/s,y=-2000(m),θ=0代入式
(3)得
0 v=1002-2×9.8×(-2000)=222(m/s) tanθ=100×sin0-9.8×20=-1.96100×cos0 　=-63°(向下倾斜) 13 14圆周运动 [1]角速度和角加速度 ω=θ(1)t θ=ωt
(2) ω-ωα=21
(3) t ω:角速度(rad/s),θ:角位移(rad),t:时间(s),α:角加速度(rad/s2),ω1:初始角速度(rad/s),ω:t时刻的角速度(rad/s)
2 [2]圆周运动的公式变换 s=rθ,θ=s/r
(4) v=rω,ω=v/r
(5) a=rα,α=a/r
(6) s:弧长(m),r:圆周运动的半径(m),v:圆周速度(m/s),α:切向加速度(m/s2)[3]匀角加速运动 ω=ω0+αt
(7) θ=ω0t+1αt2
(8)
2 ω2=ω02+2αθ
(9) [4]角度、弧度和转速1°=π(rad),1rad=180 180°,N(r/min)=πN(rad/s) π 30 (10) 例题一轴以1000r/min转速旋转,5秒后达到1800r/min,求角加速度?
解答根据式(10)可得1000r/min=1000π/30rad/s,1800r/min=1800π/30rad/s,同 时,将t=5s代入式
(3)中,得 (1800-1000)π α= 30×
5 ≈16.75(rad/s2) 例题以300m/min的切削速度切削　40的低碳钢圆棒,问车床主轴的转速是多少?
角速度是多少?
解答将r=20mm=0.02m,v=300m/min=5m/s,代入式
(5)得 ω=5/0.02=250(rad/s) 由(10)得π·N=25030 ∴N≈2388(r/min) 例题一转速为1200r/min的车轮靠惯性旋转,如果角加速度为-2rad/s2,问车轮在旋转多少转后停止?
解答根据式(10)得 1200r/min=1200π/30=40πrad/s将ω0=40πrad/s,ω=
0,α=-2rad/s2代入式
(7)得 0=40π+(-2)t∴t=62.8(s)将t=62.8s代入式
(8)得 θ=40π×62.8+1×(-2)×62.82=3950(rad)
2 将θ转换成转数3950/2π=629(转) 14 15力与运动的关系 [1]运动方程(参见图1(a)、(b)) F=ma= Wa a=Fg
(1) g
W W=mg m=
W
(2) g W:物体的重量(kg),m:物体的质量(kg·s2/m),F: 作用在物体上的力(kg),a:F的加速度(m/s2) [2]力与运动关系的处理方法: 图
1 ①找出作用在物体上的所有的力;②求出作用在物体上所有力的合力及合成力矩; ③当R=
0、M=0时力平衡,物体的运动状态不变;④受合力R作用的物体在合力方向上做加速运动(a=Rg/W,R=Wa/g); ⑤受力矩M作用的物体在力矩方向上做旋转运动;⑥如果与合力R大小相等、方向相反的力-R(也称惯性力)作用在物体上,那 么,包含惯性力的所有的力处于平衡状态。
例题如果用8秒钟使重量为100kg的物体由静止状态移动60米,问应施加多大的作用力(摩擦力忽略不计)?
解答设8秒钟移动60米所需的加速度为a,由P11.的式
(3)得 60=0×8+1×82×a2 ∴a=1.88m/s2 将W=100kg,a=1.88m/s2,g=9.8m/s2代入式
(1)得 例题 F=100×1.88=19.2(kg)9.8 在摩擦系数为0.2的水平面上放置一重量为50kg的物体, 如果使其受40kg水平力的作用,那么,物体状态如何?
解答设图2中的摩擦力为f,由P9的式
(1)得 f=0.2×50=10kg将F=40-10=30kg,W=50kg,代入式
(1)得 a=30×9.8=5.9(m/s2)(匀加速运动)50 图
2 例题以2m/s2的加速度提升重量为30kg的物体,求作用在绳索上的力。
解答如图3所示,作用在物体上的拉力为
T,方向朝上,重力W向 下,其结果是物体以加速度a向上加速运动。
如果物体的惯性力为 f,方向朝下,则T、f、W三力平衡。
f=30×2/9.8=6.12(kg) 所以T-W-f=0即T=f+W=30+6.12=36.12(kg) 图
3 15 16向心力与离心力 [1]向心加速度(匀速圆周运动)(参见图1) a=v2 a=rω
2
(1) r a:向心加速度(m/s2) r:圆周运动的半径(m) v:圆周速度(m/s) ω:角速度(rad/s) [2]离心力(向心力)(图1) F=Wv2F=Wrω2
(2) gr g F:离心力(与向心力大小相等方向相反的惯性力)(kg) 图
1 例题长度为50cm的绳索一端系有100g的重锤,另一端握在手中使之以2r/s的速度在水平面内做圆周运动,求重锤的向心加速度和向心力。
不计重力作用。
解答将r=50cm=0.5m,ω=2rps=2×2πrad/s=4πrad/s,W=100g=0.1(kg), g=9.8m/s2代入式
(1)、式
(2)得a=0.5×(4π)2=79(m/s2) 例题 F=0.1×0.5×(4π)2=0.806(kg)9.8 要将一间距为1.067m窄轨道设计成半径为300m的圆弧 形,保证时速为36km/h的列车通过时轨道不受侧压力,问外侧轨道应比内侧高多少?
解答如图2所示,火车的重力
W、轨道的垂直反力R和离心力 F三力平衡Wtanθ=F=Wv2gr tanθ=v2gr 又因为θ很小,所以tanθ≈sinθ=hl 即h=v2,h=v2l l gr gr 将v=36km/h=10m/s,l=1.067m,r=300m代入 h=102×1.067/(9.8×300)=0.0362m=36.2mm 例题当汽车在摩擦系数为0.15、转弯半径为20m的道 路上行驶时,问汽车不会横向滑动的最高速度应为多少?
图
2 解答如图3所示,汽车的离心力F和摩擦力f二力平 衡时为不横向滑动的最大极限f=μW=F=Wv2,因此v=gr 将μ=0.15,r=20m代入得 μgr 图
3 v=0.15×9.8×20=5.42m/s=19.5(km/h) 16 17动量与冲量 [1]动量 动量=Wv(kg·s)
(1) g Wv-Wv F=g g0
(2) t [2]冲量 Ft= Wv- Wv
(3) g g0 W:物体的重量(kg),F:作用在物体上的力(kg),t:力F作用的时间(s),v0:初始速度(m/s),v:t时刻的速度(m/s) 例题当重量为50kg的物体以4m/s的速度运动时,求其动量。
解答将W=50kg,v=4m/s代入式
(1)得 动量=50×4=20.4(kg·s)9.8 例题重量为1000kg的重物以8m/s的速度与树桩碰撞,如果碰撞后0.1秒停止,求树桩所受到的作用力是多少?
解答以重物为对象来研究动量与力。
树桩所受的力与重物所受的力F是作用力 与反作用力。
将W=50kg,v0=8m/s,v=0,t=0.1s代入式
(2),则1900.80×0-1900.80×
8 F=0.1≈-8160(kg)树桩受到的力是F的反作用力为8160kg。
例题从直径为2cm的喷嘴中喷出速度为8m/s的水柱,当水柱垂直冲击平板时,求平板所受到的力。
解答如图1所示,设喷嘴的流量为Q(m3/s),水的密度为γ (=1000kg/m3),那么,每秒钟流出水的重量W=Qγ=1000×(π/4)×0.022×8=2.5(kg/s) 将W=2.5kg,t=1s,v0=8m/s,v=0代入式
(2)得 图
1 F=2.5×0-2.5×8/1=-2.04(kg) 9.8 9.8 平板受到的力是F的反作用力为2.04(kg)。
17 18动量守恒定律与碰撞 [1]动量守恒定律(参见图1) W1v1/g+W2v2/g=W1u1/g+W2u2/gW1、W2:分别为两个物体的重量(kg)v1、v2:分别为两个物体碰撞前的速度(m/s) u1、u2:分别为两个物体碰撞后的速度(m/s)[2]碰撞(参见图1) e=u2-u1v-v 12 u =v - W2(v1 - v)2(1+ e) 11 W1+W2 u =v + W1(v1 - v)2(1+ e) 22 W1+W2 e:恢复系数(参见表1)
(1)
(2)(3)
(4) 图
1 例题有一体重为50kg的人以3m/s速度从一艘重量为 75kg的小船上沿水平方向跳入海中,问此时小船做什么运动?
解答 将 W1 =75kg,W2 = 50kg,v
1 = 0,v
2 = 0,u2 = 3m/s 代入式
(1),得 75×0+50×0=75u1+50×
3 9.8 9.8 9.89.8 u=-50×3=-2(m/s)
1 75 所以小船以2m/s向反方向运动 例题一橡胶球从3米高处落到地面后反弹到2米的高度。
求两者间的恢复系数?
解答根据式
(2),地面的速度v2=0,u2=
0 e=-u/v(朝下为正) 11 根据P12的式
(3),v=2gh,u=-2gh′
1 1 所以e= 2gh′=2gh h′=h 2=0.8173 例题如果用重量为160g的球B以20cm/s的速度撞击静止的球
A,碰撞后球B静止,球A运动,那么,球A的速度和重量是多少?
已知e=0.8。
解答 将v=0,v=20cm/s,u=0,e=0.8代入式
(2),得
1 2
2 0-u 0.8=
1 0-20 所以u=20×0.8=16(cm/s)
1 将 W2 = 160g,v
1 = 0,v
2 = 20cm/s ,u
1 = 16cm/s,e= 0.8 代入式
(3) ,得 16=0-160(0-20)(1+0.8)W1+160 所以W1=200(g) 18 19功 [1]在与力同方向上移动时(参见图1(a)) A=Fs(kg·m)
(1) A:功(kgm),F:作用力(kg), s:在力的方向上移动的距离(m) [2]在与力成θ角的方向上移动时(参见图1(b)) A=Fscosθ(kgm)
(2) θ:力与移动方向的夹角 图
1 例题对一物体施加15kg力,使其沿力的方向移动3m。
求所做的功?
解答将F=15kg,s=3m代入式
(1),得 A=Fs=15×3=45(kg·m)例题当用与水平方向成30°角、长度为12m的扶梯向上运送一体重为50kg的人时,求扶梯所做的功?
解答将F=Wsinθ=50×sinθkg,s=12m,θ=30°代入式
(1),则 A=50×12×sin30°=300kg·m例题一个圆形井的直径为1m、深12m,有4m深的水。
如果将4m深的水全部抽到地面需要做多少功?
解答要将所有水按与重力相反的方向提升上来。
设水的重量为W(kg),水的比重 为γ(=1000kg/m3),体积为V(m3)W=γV=1000×(π/4)×12×4=3140(kg) 将F=W=3140kg,s(到井水重心的距离)=12-2=10m代入式
(1),则A=3140×10=31400(kg·m) 例题将重量为5kg的物体,沿倾角为30°的斜面以5m/s2的加速度向上拉3m,求对物体做的功。
设摩擦系数为0.35。
解答如图2所示,物体的重量W=5kg,摩擦力为f(kg),牵引 力为F(kg),加速度a=5m/s2,倾角θ=30°根据P15的式
(1)F-f-Wsinθ=Wa/g 图
2 F=a+μcosθ+sinθW=g 将F=6.57,s=3m代入式
(1),则 A=6.57×3=19.7(kgm) 95.8+0.35×0.866+0.5 ×5=6.57(kg) 19 20功率 [1]功率 p=A=Fs=Fv(kg·m/s)
(1) t t p:功率(kg·m/s) A:功(kg·m) t:力F作用的时间(s) F:作用力(kg) s:在力的方向上移动的距离(m) v:力F的速度(m/s) [2]功率的单位 1kW=102kg·m/s
(2) 1PS=75kgm/s=0.736kW
(3) 例题少?
如果将100kg的物体以每分钟3米的速度沿垂直方向连续提升,求功率是多 解答为了提升100kg的物体,必须要克服100kg的重力做功。
所以,将F= 100kg,s=3m,t=1min=60s代入式
(1),得p=100×3/60=5(kg·m/s) 例题重量为200t的列车以36km/h的速度沿1/100的坡度行进,如果行进阻力为8kg/t,求机车输出的功率?
解答如图1所示,机车的牵引力与列车重量沿斜面向 下的分力Wsinθ和总的行进阻力f的合力平衡。
因为θ 较小,所以sinθ≈tanθ=1/100F=200×1000×(1/100)+8×200=3600(kg) 图
1 将F=3600kg,v=36km/h=10m/s代入式
(1),得 p=3600×10=36000(kg·m/s)=36000/102(kW)=353(kW) 例题有一个每旋转1周膨胀1次的2循环发动机,活塞的截面积A=154cm2,行程 s=16cm,汽缸数Z=
6,转速N=2000r/min,平均有效压强p=8.5kg/cm2。
求输出 的功率P(PS)(1PS=0.736kW)。
解答在膨胀行程中活塞所受的压力F=Ap,其所做的功Fs=Aps,Z个、 N(r/min)为ApsZN(kg·cm/min)。
所以 P=ApsZN(PS)=154×8.5×16×6×2000=558(PS) 100×60×75 100×60×75 20