随机过程的数字特征 虽然有限维分布函数族能够比较完整的描述随机过程的统计特征,但是在实际中很难得到.思考：还可以用什么工具表征随机过程的一些特点？ 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 下面介绍数字特征，内容包括：¾随机过程的数字特征¾两个随机过程的数字特征¾复随机过程的数字特征 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 随机过程的数字特征
1.均值函数设X={Xt,t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈
T,若 E[Xt]存在, 则称E[Xt]为随机过程X的均值函数，记为mX(t)，即 mX(t)=E[Xt]，t∈
T 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
2.方差函数设X={Xt,t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈
T,若 D[Xt]=E[Xt-mX(t)]2存在,则称D[Xt]为随机过程X的方差函数，记DX(t).即 DX(t)=E[Xt-mX(t)]2，t∈
T 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
3.协方差函数设X={Xt,t∈T}是一实值随机过程，对任意s,t∈
T,若 Cov(Xs,Xt)=E[Xs-mX(s)][Xt-mX(t)]存在,则称Cov(Xs,Xt)为随机过程X的协方差函数.记CX(s,t).即 CX(s,t)=E[Xs-mX(s)][Xt-mX(t)]s,t∈
T 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
4.相关函数设X={Xt,t∈T}是一实值随机过程，对任意s,t∈
T,若 E[XsXt]存在,则称E[XsXt]为随机过程Xt的相关函数.(自相关函数)记RX(s,t).即 RX(s,t)=E[XsXt]s,t∈
T 显然mX(t)=0时,CX(s,t)=RX(s,t) 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
5.均方值函数设X={Xt,t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈
T,若 E[Xt]2存在则称E[Xt]2为随机过程X的均方值函数，记为ΦX(t).即 ΦX(t)=E[Xt]2t∈
T 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 随机过程的数字特征有如下关系 CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) t∈
T ΦX(t)=RX(t,t) t∈
T s,t∈
T 最关键的数字特征是均值函数与相关函数 随机过程——西安电子科技大学数学系
冯海林 数字特征练习
1.设S.P.Xt=acos(ωt+Θ).a,ω常数,Θ~U[0,2π]求该过程的均值函数,相关函数,方差函数. 解mX(t)=E[Xt] = ∫2π
0 1 2π ⋅acos(ωt +θ)dθ =
0 −∞0 1 2π a2 cos(ωs +θ)cos(ωt +θ)dθ =a2cosω(t−s),
2 −∞2 −∞2 −∞2.设S.P.Xt=Acosωt+Bsinωtt≥
0,ω为常数.A,B相互独立,同服从正态分布N(
0,σ2)求该过程的数字特征. 解mX(t)=E[Xt]=0−∞S.P.对任意s,t∈
T，若 E[XsYt]存在,则称 E[XsYt]=RX,Y(s,t)为该二维
S.P.的互相关函数 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 设{Xt,Yt,t∈T}是二维
S.P.对任意s,t∈
T，若cov(Xt,Yt）=E[(Xs-mX(s))(Yt-mY(t)]存在, 则记cov(Xt,Yt)=CXY(s,t)称为二维
S.P.的互协方差函数显然有CXY(s,t)=RXY(s,t)-mX(s)mY(t) 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 定义设{Xt,t∈T},{Yt,t∈T}是二个
S.P.若CXY(s,t)=
0 或RX,Y(s,t)=mX(s)mY(t)s,t∈
T,则称
S.P{Xt,t∈T},与
S.P{Yt,t∈T}不相关. 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 复随机过程的数字特征 定义设{Zt,t∈T}是复
S.P.对任意t∈
T,称mZ(t)=E[Zt] 为复
S.P.的均值函数称DZ(t)=D[Zt] =E|Zt-mZ(t)|2为复
S.P.的方差函数 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 称ΦZ(t)=E|Zt|2为复
S.P.的均方值函数. 对任意的s,t∈
T,称RZ(s,t)=E[ZsZt] 为复
S.P.的相关函数. 称CX(s,t)=cov(Zs，Zt)=E[(Zs-mz(s))(Zt-mz(t))] 为复
S.P.的协方差函数. 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 由以上定义可得 (1)mZ(t)=mX(t)+jmY(t) t∈
T
(2)DZ(t)=DX(t)+DY(t) t∈
T
(3)CX(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t)s,t∈
T 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 举例∑n 设Zt=Xkej(ω0t+Φk),t∈
R,其中ω0为正常数,n为k=
1 固定正整数,X1,X2,
L,Xn,Φ
1,Φ2,
L,Φn是相互独立 的实随机变量,且 EXk =
0,DXk = σ 2k , Φk～U[0,2π ] , k=1,
2,…,n. 计算
S.P.{Zt,t∈R}的均值函数和相关函数. 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林 ∑n 解mZ(t)=E[Xkej(ω0t+Φk)]=0 k=
1 ∑∑n n RZ(s,t)=E[ Xe⋅j(ω0s+Φk)k Xe]j(ω0t+Φk)k k=
1 k=
1 ∑∑n =E[ XXee]n−j(ω0s+Φk)j(ω0t+Φl)kl k=1l=
1 n ∑∑=E[ XXe]enj(Φl−Φk)jω0(t−s)kl k=1l=1n jω0(t−s)
2 =e∑σk k=
1 随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林