听周建武老师的《5
听周建武老师的《5.5.1两角差的余弦公式》有感
有感原则:你有一个苹果，我有一个苹果，我们交换下，还是各有一个苹果。你有一个思想，我有一个思想，我们交换下，你我就各有两个思想。所以评课是老师与老师之间交换思想，而不是张扬自己贬低别人。常言道：“众人拾柴火焰高。”
这节课，我把它分成三个阶段。一引入；二两角差的余弦公式的推导；三两角差的余弦公式应用暨讲解例题。
我主要是跟老师交流交流一二阶段，第三阶段的例题教学大家大同小异，个性化不强，也就是大家都这么教。一二阶段个人有个人的设计。
1、引入
①周建武老师的设计是通过实际问题引出认知冲突，于是得出我们要推导两角差的余弦公式的必要性。周老师设计理念是数学来源于生活或实践又反作用于生活或实践。这样子引入很好。
②我想这样设计。
采纳周建武老师的引入。即用生活例子引出我们要求cos15°的必要性。因为15°=45°-30°，学生想当然以为cos15°=cos45°-cos30°，但遗憾的是错的。cos（α-β）≠cosα-cosβ
心得：世界不会是你想象的这么简单，但世界也不是是你想象的这么复杂。把世界想象的太简单，你会狂妄自大。把世界想象的太复杂，你会忧郁。
世界到底怎样？
爱因斯坦说：“正确的定律不可能是线性的，它们也不能由线性导出。”
薛定谔方程是线性的，爱因斯坦场方程是非线性的。
18世纪，法国大数学家拉普拉斯首先认识到，自然界也许不是一个简单的线性世界。他曾说，如果世界是线性的，则一旦初始条件确定，则世界就按简单、均匀的规则发展，那么，这个世界也未免太简单、太单调了。
法国数学家庞加莱则是最早研究此类方程的人，由此，他得出结论：自然界从广义上讲是由非线性构成的，线性只是一个特例。
思维敏捷的洛伦兹意识到，他得到了一个重大的发现，非线性的世界和线性的世界有着天壤之别。在非线性世界中，结果对初始条件有着很大的依赖性，只要初始条件有一点微小的变化，随着时间的推移，结果会越来越发生质的变化，洛伦兹将非线性世界的这一特征称为“混沌效应”。，
我们教学生要像伟大的科学家一样看世界。
2、推导
周老师先推导特殊情况。用分类讨论思想把特殊情况分成二种。①α∈（π/2，π），β∈（
0，π/2）②α、β∈（
0，π/2）。
然后从特殊推广为一般即α、β是任意角。把一般情况也分成两种。❶α≠2kπ+β❷α=2kπ+β。
这样分类给人感觉很乱。
对于特殊情况分成①②也没必要，①②其实是一种情况。周老师是担心学生不能理解推导，所以特意多一个情况，这样有助于学生加深理解。
对于❶两角差的余弦公式为什么成立？周老师其实没有也证明，是一带而过。
综上所述，我觉得这样证法只能算不太严格的证法。
严格推导方法应当怎样？
其实这里只需加一个定理就可以了。
设α、β为任意角。
令α=α₁+2k₁π，α₁∈[0，2π]，k₁∈Z
β=β₁+2k₂π，β₁∈[0，2π]，k₂∈Z
α-β=α₁-β₁+2(k₁-k₂)π，k₁-k₂∈Z
α+β=α₁+β₁+2(k₁+k₂)π，k₁+k₂∈Z
所以α-β终边与α₁-β₁终边相同。α+β终边与α₁+β₁终边相同。
有了此定理，推导就如虎添翼。我们很容易得出P₁A₁=PA。
华哥的航海日记
华哥的航海日记
第二十四篇
海员学习中遇到的三角函数
华哥算下自己之前已经十九年基本没碰过学科类书籍，老师教的那些三角函数公式基本都忘记光了，海员学习课程中航海学和船舶结构与货运中运用到这些公式的时候，真的是一脸懵逼，本想能不能糊弄过去，今晚实在受不了了，不能理解好崩溃，赶紧百度补习起来，顺便发出来给广大海员朋友一起参考哈。
首先是读音如下：
正弦（sin）音标为：saɪn，
余弦（cos）音标为：&39;tændʒənt，
余切（cot）音标为：kɒ&39;si:kənt
余割（csc）音标为：&39;si:kənt
其次是三角函数值如下：
sin0°=
0 cos0°=
1 tan0°=0
sin30°=1/2 cos30°=0.866 tan30°=0.577；
sin45°=0.707 cos45°=0.707 tan45°=1
sin60°=0.866 cos60°=1/2 tan60°=1.732
sin90°=
1 cos90°=
0 tan90°不存在
sin180°=
0 cos180°=-
1 tan180°=0
sin360°=
0 cos360°=
1 tan360°=0
第三是三角函数图解请看百度搜索的附图哈
被动学习的学生有哪些表现呢
被动学习的学生有哪些表现呢？
以我带的一个高中女生举例，从这次高二入学和高一期末考试分数来看，表面上还行。
但是深层次去审阅答题卡，发现问题很严重。
1直线方程中，把中线看成垂线，直接使用斜率之积＝-1
2三角函数中，两次考试都把cos30°=1/2
这两处典型的低级错误，可以说放在学渣那里，还说得过去。但出现在她那里，就显得不可思议。
我后来仔细回想了她平时的点点滴滴
只在试卷上改正错题，而不愿意重新修正
讲过的题目每次要求再做一遍，结果只会拿课堂笔记糊弄过去
上不上课全凭状态和心情，三天打鱼两天晒网
归结起来就一句话，在她心里从来就没有喜欢过数学，更谈不上付出时间和精力，一切的假装努力只是给外人看的表象！
不管我们的过程有多么的欺骗性，但最终的结果却很诚实又无情！
一火一零220
一火一零220，两条火线为何不是440伏？
开卷有益。
学习使人进步。
多年以前，我们村电网改造，县电业局下来许多电工来干活，我们村有一农民问电工一个问题：“一零一火220，两条火线为何不是440？”
在场的几个电工均不能回答。
作为灯泡电工可以不知道，但作为工厂电工，不知道就说不过去了。
下面我开始聊聊这个问题，不对之处，欢迎指出，共同学习，共同进步！
首先需要明白的是三相交流电的相量在空间分布是互相呈120度夹角的，这是由发电机的定子绕组在空间分布的夹角所决定的。
我们平时所用的低压电，它每条相线对零是220V，那么两条相线之间的电压(线电压)的相量与相电压的相量的夹角是30度。请看图
三。
从顶角(120°)向下做垂线，底边是2X，那么cos30°=X/220
X=220×√3/2
2X=220×√3=380V
这道题的关键是：
第
一，要知道三相电相电压的相量的夹角是120度。
第
二，要知道线电压与相电压的相量的夹角是30度。
第
三，要知道cos30°=√3/2。
第
四，要知道√3×220=380
举个简单的例子，我向南走220米，你向北走220米，我俩相距就是440米；而如果我向南走220米，你向西北和我呈120度夹角走220米，那我俩就相距380米。
之所以不是440是因为有120度夹角！明白？
特殊角6大三角函数值
你会几个？特殊角6大三角函数值！包括0°、15°、18°、22.5°、30°、36°、45°、54°、60°、67.5°、72°、75°、90°的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数值。
系统学习请使用高一数学上学期同步提高专栏，目录如下，祝大家学习愉快。
高一上学期：高中数学必修第一册
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