——怎样判断一枚硬币是不是公平的？ 抛硬币是生活中最常被拿来举例子的Bernoulli（贝努力）试验。
这也是一个最简单的概率事件，只有两个选项，正面或者反面（假设不存在立着的情况）。
这个例子也可以推广到很多二分变量（binaryvariables）的取值概率问题。
支持或者反对，使用或者不用等等。
一枚硬币如果是公平的话，每次抛硬币得到正反面的机会各等于二分之
一。
现在我们假定说抛硬币得到正面的概率是p，得到反面的概率是q=(1-p)。
现在我们有一枚硬币，抛了100次，得到了55次正面。
那么，我们知道，在这100次里面，我们得到正面的概率是55/100=.55。
但我们都抛了100次了，知道了p=.55，又怎么样呢？ 我们想知道的是，下次以及每次抛这个硬币，得到正面的概率p的估计值p-hat（pˆ）是多 少。
这么想的话，上面所说的p=.55是指我们抛了的100次我们知道的抛硬币得到正面的概率是.55，也就是我们的样本（sample）里的p=.55。
我们想知道的是通过我们的样本推测到总 体（population）的抛这枚硬币得正面的估计值p-hat（pˆ）是多少呢？ 从样本统计量p推算总体估计值p-hat（pˆ）就要考虑置信区间（ConfidenceInterval）。
下面 这枚公式就能推算，从我们这个抛了100次的样本，估计抛这枚硬币得正面的概率是： ⎛⎜⎜p−Zα/2⎝ p(1n−p),p+Zα/2 p(1−p)⎞ n ⎟⎟⎠ （公式一） 这里的n就是我们抛的次数，也就是样本量（samplesize）。
这里的Zα/2是一个统计量，根据 不同的置信度(ConfidenceLevel,如90%，95%，99%等)有不同的固定的取值。
这个Zα/2是 另外一个故事了。
有兴趣的同学可以去维基百科看“ConfidenceInterval（置信区间）”这个词条/wiki/Confidence_interval。
当然了，这个取值还隐藏了另外一个关于正态分布的假设，那也是另一个故事了。
如果我们采用95%的置信度，对应的Zα/2就等于1.96。
我们这100次硬币来估算这枚硬币 被抛得正面的概率就是一个区间（.452,.648）。
也就是说，如果我们再抛100次硬币，我们有95%的机会得到正面的次数在45次到65次之间。
好吧好吧。
我承认我有些罗嗦了。
上面这些其实不是我想说的重点。
我想说的重点是，我们要连续抛多少次正面，在95%的置信度上，才有根据不否定硬币是不公平的（有点绕，嘿嘿）？下面就是一个假设检验的问题了。
假设检验的一般就得提出一个零假设（NullHypothesis，H0）和一个备择假设（AlternativeHypothesis，H1）。
我们这里的零假设就是硬币是公平的，也就是每次抛硬币得到正面的概率是1/2。
H0：p-hat=.5我们这里的备择假设就是硬币是不公平的，也就是每次抛硬币得到正面的概率不是1/2。
H1：p-hat<>.5我们说的每次抛多少次正面才够的意思是，我们已经确定了p1=
1，我们想知道的是n的最小值。
我们的问题可以等价地转换成我们估算的p-hat1和假定硬币公平的p-hat2之间的差，怎么就等于
0。
这里，H0可以等价地转换为p-hat1-p-hat2=
0。
H1可以等价地转换为p-hat1-p-hat2<>
0。
怎么算两个比例之差p1-p2的区间估计呢？我们要用到下面这个公式： (p1−p2)±Zα/2 p1(1−p1)+p2(1−p2) n1 n2 （公式二） 这里，我们的p1=1，p2=.5是知道的，在95%的置信度条件下Zα/2=1.96，代入公式
二，就可 以得到区间是： 1±0.98=02n1 我们的零假设也就转换成： 0必须落在1±0.98这个区间内。
也就是：2n1 1−0.98≤0≤1+0.98 2n1 2n1 通过计算，也就说是n<=3.92的时候，零假设才可能成立。
只要n>3.92的时候，我们就可 以拒绝零假设，然后在置信度95%的条件下，认为这枚倒霉的硬币是不公平的。
哈哈哈哈。
最后，再让我来说一下sowhat的问题。
如果我们假定你的男人跟你说“我爱你”和说“我不爱你”是等概率事件，机会各一半一半。
那么，如果你的男人连续四次跟你说“我爱你”。
你选择相信他这句话。
你应该有95%的把握。
哈哈。
可是，你会觉得你男人说“我爱你”和说“我不爱你”不是等概率事件。
好吧。
那你觉得概率多大你才满意？p=.999999999?
好 吧，你还说，置信度95%不够，要99%才差不多。
我告诉你，在99%的置信度条件下Zα/2=2.56。
这样的话，你能算出，你男人要连续说多少次“我爱你”，你才能相信他（说“我爱你”不是偶然的）了吧？？？