所以sin²x+cos²x等于多少[兔逢新春][兔逢新春]
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Differential equation章节梗概：解微分方程说白了就是解含有导函数的方程
Differential equation章节梗概：解微分方程说白了就是解含有导函数的方程，如何去找到它的原来y与x对应的方程的过程。具体分为first order和second order，而second order 里又分为homogeneous和in homogeneous，最后还有一节要解决代入法解微分方程的问题，这的确不容易，起初能分离变量的当然easy，两边积分即可拿下，能看成是积商的函数的导函数也容易，略去不表，如果肉眼识别不出来左边是哪两个函数积的函数，观察一下dy/dx的系数是不是
1，不是，除掉系数也让它变为
1，找出另一个和式y前的系数，就是我们要找到F（x），对它积分，求e的指数就是我们要找的integrating factors，左右两边各乘以积分因式，左边即是我们要的两个函数的导了。然后和在一起后，两边积分就行了，如果给了初始值就可以把C求出来，得到particular solution，很快来到second order differential equations，the homogeneous case，之所以叫同类的是因为他们都是y求导（包括求一次和求二次）后与自己的倍数之和后为
0，能相互抵消故以同类相称可谓引申的恰如其分。一般的first order如果右侧是
0，其实我们也可以用接下来的研究策略，就是let y=Ae^人x，一次求它的二次导，一次导代入后提公因式就能得到它关于那木那的一元二次方程，这个方程我们叫auxiliary equation，如果求出了两个不相等的实根，我们分别给它们乘上x,作为e的指数，前面再各乘一个
A，B加在一起作为我plementary function;如果碰巧辅助方程有两个相等的实根，我们就把它的补充方程写成e的那木那x，前面再乘上（AX+B）这个一次函数。如果不巧辅助方程算出来两个虚根，那一定是共轭的，我们的补充方程就是e的实部乘x次方，乘上括号里A乘上cosnx+B乘上sinnx，记住这里的n可以理解为虚部正的那一个，记得没i，不能手痒。还有它有可能给出一个变量下的3个值，诸如when x，t和dx/dt,我们按照逻辑去做就求
A，B就可以了，如果它给了两个变量下的函数，诸如x1，y1，x2，y2我们就叫它boundary conditions，代入进去把
A，B求出即可。来到inhomogeneous case，说是 不同类的是因为等号的右侧出现了f(x)，f(x)的种类有常数，一次函数，如x，二次函数，cos2x,3sinx，e^x,e^x+x等造型，求的方法如下，一律把它们当成=0处理，然后令y依次为a，kx+b，asinx+bcosx，然而如是e^x造型要分类了，切莫草率let y=ae^x，如对应的auxiliary equation有两个实根，那么令y=axe^x，因为homogeneous case里已经包含了ae^x，若是两个相等的实根，那么令y=ax^2e^x,因为此时的homogeneous equation里包含了axe^x，所以若是最后一种e^x+x，要看前面的auxiliary equation的情况因势而动去令y。令好以后，一次导，二次导求和，代入用对应系数相等去求即可求出particular integral，简称PI，然后加plementary function.就是general solution。若是有初始值代入gs去解即可。有时还有一种题型就是当x趋近无穷大，问y会what happens?你看看gs即可作答。
来到substitution methods for differential equations，说白了就是右边是F（y/x）或者ax+by，左边是dy/dx,我们就可以换元令u=y/x,ax+by，等把其换成u是x的导数方程，就很容易分离变量了。如果我们遇到second differential equations，而且系数还是x的函数造型，那么我们let u=yx,对其一次导，二次导，最后代入原方程，即可化成整系数的u对x的微分方程，然后就是原来的second order造型，就好求了，最后一步把u再换过来就行了。如果二次导，一次导的系数是y的函数，并且还还有一次导平方这种造型，let u=y^
2,然后对其一次导，二次导化成u对x的second order造型就好求了。如果二次导，一次导的系数是x的函数，(右侧是ln x)，我们也可以令x=e^t,那么我们可以x求t的导，但如何搞出y的一次导和二次导呢，我们可以使用参数方程求导公式，最终搞出y关于t的二次整系数的微分方程，把x迭代出局。最后求y 关于t的微分方程，后再把t换成x就可以了。
