2022年上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试考试说明 数学科
一、考试性质、目的和对象 上海市普通高校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试是为普通高校招生进行的选拔性考试。
选拔性考试是高利害考试，考试结果需要具有高信度，考试结果的解释和使用应该具有高效度。
数学科高考的指导思想是：有利于高等学校选拔合格的新生，有利于中等职业学校实施素质教育，促进学校的数学教学改革。
考试对象为2022年中等职业学校报考高等学校的应届毕业生。

二、能力目标 本考试考查考生的数学建模能力、数学解模能力和数学释模能力。
依据《上海市中等职业学校数学课程标准（2015修订稿）》规定的数学能力结构，确定如下具体能力目标。

1．数学建模能力1.1能选择适当的数学语言表达具体情境中的信息。
1.2将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型。

2．数学解模能力2.1能判断数学模型类型，选择解题策略。
2.2能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能获得数学问题的正确结果。

3．数学释模能力3.1能在原情境中解释解模结果，并进行分析和判断。
3.2能对问题解决的方法、过程、策略作出合理的反思，并对是否需要修正作出判断。

三、考试知识内容和要求 （一）考试知识内容中各水平层级的内涵 依据《上海市中等职业学校数学课程标准（2015修订稿）》，考试知识内容的学习水平 层级分为四个层次，各层次水平的内涵见下表。
学习水平 内涵描述 A水平 在结构完备、简单且熟悉的问题中，通过模仿，能直接运用概念、公式或常用结论等，按常规的步骤解答知识点单一的数学问题 B水平 在类型易于判别的问题中，通过清晰的步骤，能找出相关知识点间的联系，选择和运用简单的解决策略，直接运用运算、推理等数学方法解答
1 数学问题 在各类熟悉情境中，通过选择和运用常见的建模方法，建立明确的数 C水平学模型。
运用娴熟的运算、灵活的推理等解决数学问题，能将得到数学问 题的结果回到原情境中加以合理解释，并能简单交流表达自己的观点 在各类情境中，能通过符号化等数学策略，建立清晰的数学模型。
比 D水平 较、选择和适当重组解题策略，运用较高水平的数学运算、推理等，解决相对复杂的数学问题。
将得到数学问题结果在原情境中进行反思，明确地 表达交流自己的观点，合理回顾、解释和反思建模、解模和释模三环节 （二）考试知识内容及相应水平层级 依据《上海市中等职业学校数学课程标准（2015修订稿）》，具体考试知识内容及相应 水平层级如下表。
主题 知识点 水平层级 1.1集合的概念与表示
B 1.集合 1.2集合间的基本关系
B 1.3集合的基本运算（交、并、补）
C 2.1不等式的概念
A 2.2不等式的性质
B 2.不等式 2.3一元二次不等式的解法
C 2.4绝对值不等式的解法
C 2.5不等式的应用
D 3.1函数的概念
B 3.2函数的表示法（解析法、列表法、图像法）
C 3.3函数关系的建立
C 3.函数 3.4函数的性质（奇偶性、单调性、最值）
C 3.5函数的应用
D 3.6简单的幂函数
C 4.1指数及运算性质
B 4.2指数函数的概念
B 4.指数函数与对 4.3指数函数的图像和性质
C 数函数 4.4对数及运算性质
B 4.5对数函数的概念
B 2 主题
4.指数函数与对 数函数
5.三角函数
5.三角函数
6.空间几何体
7.直线与圆
8.数系的扩展
9.平面向量与矩 阵 知识点4.6对数函数的图像和性质4.7指数函数、对数函数的应用5.1角的概念的推广5.2弧度制5.3任意角的三角比5.4简化公式5.5正弦函数的图像和性质5.6余弦函数的图像和性质5.7正弦型函数的图像和性质5.8正弦定理与余弦定理6.1空间几何体6.2直观图6.3三视图6.4简单几何体的表面积和体积7.1直线的倾斜角与斜率7.2直线的方程7.3两条直线的位置关系7.4两条直线的交点7.5点到直线的距离公式7.6圆7.7圆的标准方程7.8圆的一般方程7.9直线与圆的位置关系8.1数的概念扩展8.2复数的有关概念8.3复数的四则运算8.4实系数一元二次方程在复数范围内的解9.1向量的概念9.2向量线性运算的几何意义9.3向量的坐标表示及线性运算
3 水平层级CDBBBBCBCDBCCCBCBCBBCCDABCBBBC 主题
9.平面向量与矩 阵 10.数列 11.排列与组合 12.概率与统计初步 13.流程框图 知识点9.4矩阵的概念9.5矩阵的线性运算10.1数列的概念10.2等差数列的通项公式 10.3等差数列前n项和公式 10.4等比数列的通项公式 10.5等比数列前n项和公式 10.6等差、等比数列的应用11.1两个基本原理11.2排列的概念及排列数公式11.3组合的概念及组合数公式11.4排列组合应用问题12.1随机事件12.2频率与概率12.3古典概型12.4统计图表13.1流程的概念13.2流程框图的基本逻辑结构13.3流程设计应用问题
四、试卷结构及相关说明
1．试卷结构
(1)试题题型、题量和分值如下表。
题型 题量 选择题 6题 填空题 12题 解答题 6题
(2)试卷能力结构如下表。
分值18分36分46分 水平层级BCABCBCDABBCBBCCBCD
4 能力目标数学建模能力和数学释模能力 数学解模能力
(3)试卷知识内容结构如下表。
知识内容几何(含空间几何体、直线与圆) 其他部分 分值比例约25%约75% 分值比例约20%约80%
2．相关说明
(1)考试形式：闭卷笔试，分为试卷与答题纸两部分，考生必须将答案全部做在答题纸指定的位置上。

(2)考试时间为100分钟。

(3)试卷满分为100分。

(4)本考试数学试卷及答案中统一使用国标符号。

(5)携带计算器的规定沪教考院高招[2002]38号文件：“对带入考场的计算器品牌和型号不作规定，但附带计算器功能的无线通讯工具、记忆存储等设备和附带无线通讯功能、记忆存储功能、具有图像功能的计算器不得带入考场。
”
五、题型示例 本部分编制的试题仅用于说明考试的能力目标及题型，并不完全代表正式考试的试题形式、内容、难度等。
(一)选择题每题都给出代号为
A、B、
C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，必须把正确选项的代号涂在答题纸的相应位置上． 例1某天半夜，小鹏同学因病开始发烧，清晨服药后，逐渐退烧，中午测得体温为37.0℃，午后体温又开始上升，傍晚再次服药，半夜基本退烧．下面大致能反映小鹏这一天（0时~24时）体温T随时间t变化趋势的图只可能是 T(℃) T(℃) T(℃) T(℃) 37.0 37.0 37.0 37.0 06121824t(h)06121824t(h) （A） （B） 06121824t(h)（C） 06121824t(h)（D） 【正确选项】C【能力目标】数学建模能力/能选择适当的数学语言表达具体情境中的信息 【知识内容】函数/函数的表示法
5 例2设函数f(x)log2x，下列结论正确的是 (A)f
(5)0； (B)f
(3)1；(C)f
(5)f
(3)； (D)f
(3)f
(5)． 【正确选项】D【能力目标】数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能 获得数学问题的正确结果 【知识内容】指数函数与对数函数/对数函数的图像和性质   例3已知
O、A、B是平面上不共线的三点，若点C满足ACCB，则向量OC等于 (A)OAOB； (B)OAOB； (C)
1 OA 
1 OB ；
2 2 (D)
1 OA+
1 OB . 22 【正确选项】
D 【能力目标】数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能 获得数学问题的正确结果 【知识内容】平面向量与矩阵/向量线性运算的几何意义 例4某中职学校社区志愿者服务队由2名女生和5名男生组成，现从中选派3名学生 参加三个不同的志愿者活动，假设每名学生被选中的可能性相同，则被选派的3名学生中 至少有1名女生的概率为 （A）2；
7 【正确选项】
C （B）4；
7 （C）5；
7 （D）6．
7 【能力目标】数学建模能力/将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型 【知识内容】概率与统计初步/古典概型 (二)填空题每题只要求直接填写结果，请将正确的结果填在答题纸的相应位置上．例1某市出租车运价y(元)与行驶里程x(千米)的关系如图1所示，若输入的x为
8， 则输出的y为________． 开始 输入x 是y=3.6x-5.2 否x≥3是 x≥10 否y=2.4x+6.8 y=14 输出y 结束图
1 6 【参考答案】26【能力目标】数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能获得数学问题的正确结果【知识内容】流程框图/流程框图的基本逻辑结构例2已知集合A{1，1，3}，B{x|x≥1}，则AB________． 【参考答案】{1，3}【能力目标】数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能获得数学问题的正确结果【知识内容】集合/集合的基本运算 例3若复数z(a22)(a2)i（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a________． 【参考答案】
2 【能力目标】数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能 获得数学问题的正确结果【知识内容】数系的扩展/复数的有关概念例4已知函数f(x)asinxbx(xR，a、b为常数)，若f
(1)
2，则 f(1)________． 【参考答案】
2 【能力目标】数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能 获得数学问题的正确结果 【知识内容】函数/函数的性质 例5迪士尼乐园单日门票票价如 表
1 表1所示，则所售出任意两张单日门票 平日票高峰日票 的票价之和共有________种不同的金额． 【参考答案】10 常规门票 370元 优惠门票 280元 （儿童、老年人、残障游客） 499元375元 【能力目标】数学建模能力/将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型 【知识内容】排列与组合/排列组合应用问题 例6某书店的所有文学书按原价九折销售，所有科技书按原价八折销售．小明和小亮各自在该书店都购买了一本文学书和一本科技书，这四本书的原价（单位：元）如表2所示，那么他们两人各自需支付的金额可以用一个列矩阵表示为 表
2 文学书原价科技书原价 小明 50 60 小亮 60 30 ________． 【参考答案】9738 【能力目标】数学建模能力/将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型 【知识内容】平面向量与矩阵/矩阵的线性运算
7 例7截止2015年年底，上海市已建各种新能源汽车充电桩共计2.17万个，计划到2020年年底全市新能源汽车充电桩数目达21.1万个．按该计划，假设从2016年起，每年年底充电桩数目都是上一年年底的q倍，则实数q的值为________．（精确到0.01） 【参考答案】1.58【能力目标】数学建模能力/将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型【知识内容】数列/等差、等比数列的应用 例8汽车行驶一百公里所消耗汽油的量称为百公里油耗．某汽车百公里油耗（升/百公里）与行驶速度（公里/小时）的关系如图2所示，则该汽车以80公里/小时的速度匀速行驶1.5小时消耗汽油________升． 百公里油耗（升/百公里） 108642 O20406080100120速度（公里/小时）图
2 【参考答案】7.2【能力目标】数学建模能力/将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型【知识内容】函数/函数的应用(三)解答题解答各题必须写出必要的步骤，请在答题纸的相应位置上作答． 例1图3所示的是一种无盖的圆柱形垃圾桶，其底面半径为 10cm，高为25cm．（桶底和桶壁的厚度均忽略不计）
（1）求该垃圾桶的容积；（结果保留）
（2）现在制作一个这样的垃圾桶，至少需要多少面积的材料？（结 果保留）【参考答案】
（1）容积V102252500cm3． 图
3 答：该垃圾桶的容积为2500cm3．
（2）所需材料的面积S21025102600cm2． 答：制作一个这样的垃圾桶，至少需要600cm2的材料．【能力目标】
（1）数学建模能力/将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型
（2）数学建模能力/将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型
8 【知识内容】
（1）空间几何体/简单几何体的表面积和体积
（2）空间几何体/简单几何体的表面积和体积例2某地区2015年农村低保家庭最低年补助标准是2300元．“十三五”期间（2016 年-2020年），当地政府计划每年都将农村低保家庭最低年补助标准提高350元．设2015年之后的第n年该地区农村低保家庭最低年补助标准为an（0n≤5，nN*，单位：元）．
（1）求数列an的首项a1及通项公式an；
（2）问当地一个农村低保家庭在“十三五”期间至少可获得政府低保补助多少元？【参考答案】（1）a123003502650． an2650(n1)3502300350n（0n≤5，nN*）．
（2）一个农村低保家庭在“十三五”期间至少可获得政府低保补助为 S5526505(251)35016750（元）．答：当地一个农村低保家庭在“十三五”期间至少可获得政府低保补助16750元．【能力目标】
（1）数学建模能力/将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型
（2）数学建模能力/将具体情境抽象成数学问题，建立相应的数学模型【知识内容】
（1）数列/等差数列的通项公式
（2）数列/等差数列的前n项和公式 例3图4中的摩天轮上轿舱A的底部距地面的高度y（米）与旋转时间x(分钟)之间 的关系可表示为yf(x)25sinx30（x≥0）．10
（1）写出轿舱A的底部距地面可达到的最大高度； 求此摩天轮旋转一周所需要的时间；
（2）按照“五点法”作图步骤，在答题纸上完成表3的填
A 空，并画出函数yf(x)在一个周期内的大致图像； 问摩天轮在旋转第一周的过程中，旋转时间在什么范围内， 轿舱A在下降，且其底部距地面的高度不低于30米？ 表
3 x
0 π π 3π 2π 10
2 2 x y 地面图
4 9 【参考答案】
（1）轿舱A的底部距地面可达到的最大高度为55米． 由题意，，则最小正周期T220分钟． 10  答：此摩天轮旋转一周所需要的时间为20分钟．
（2） 表
3 x
0 π π 3π 2π 10
2 2 x
0 5 10 15 20 y 30 55 30
5 30 y(米)55 30
5 O 5101520x(分钟) 答：旋转时间在5分钟与10分钟之间，轿舱A在下降，且其底部距地面的高度不低于 30米． 【能力目标】
（1）数学释模能力/能在原情境中解释解模结果，并进行分析和判断
（2）数学释模能力/能在原情境中解释解模结果，并进行分析和判断【知识内容】
（1）三角函数/正弦型函数的图像和性质
（2）三角函数/正弦型函数的图像和性质 例4设函数f(x)ax，其中a0且a
1．
（1）函数yf(x)1的图像都经过同一个点，写出该点的坐标；
（2）若函数f(x)在闭区间[1,2]上的最大值与最小值之差不小于
2，且f(1)1b， 分别求a和b的取值范围．【参考答案】
（1）该点坐标为(0,2)．
（2）①当a1时，函数f(x)在闭区间[1,2]上单调递增， 由题意，f
(2)f
(1)a2a≥
2．可得a≥
2．②当0a1时，函数f(x)在闭区间[1,2]上单调递减， 10 由题意，f
(1)f
(2)aa2≥
2．此时，满足条件的a不存在．综上所述，a的取值范围为[
2,)． 由f(1)1b，得b11．a 又因为a[
2,)，所以b的取值范围为(
1,1]．
2 【能力目标】
（1）数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能获得数学问题的正确结果
（2）数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能获得数学问题的正确结果【知识内容】
（1）指数函数和对数函数/指数函数的图像和性质
（2）指数函数和对数函数/指数函数的图像和性质例5已知圆C的方程为(x1)2(y4)216，设直线l的方程为xky1
0，其中 k
R．
（1）当k2时，判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）设直线l与圆C相交于
A、B两点，当k取何值时，△ABC的面积最大？并求出 面积的最大值．【参考答案】
（1）由题意，得圆心C的坐标为(1,4)，圆的半径为
4， 点C到直线x2y10的距离d|1241|8
4，所以直线与圆相交． 1222
5
（2）由方程xky10可得直线l过定点(1,0)． 由圆C的方程可知，点(1,0)在圆C上，不妨设A(1,0)，B(x0,y0)，则S△ABC12|CA||x01|2|x01|，由圆C的方程，得|x01|≤
4．当|x01|
4，即x03或5时，S△ABC的最大值为
8， 此时，B点的坐标为(3,4)或(5,4)，代入直线l方程，解得k
1， 11 所以k1时，△ABC的面积最大，面积的最大值为
8．【能力目标】
（1）数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能获得数学问题的正确结果
（2）数学解模能力/能运用运算、空间想象、逻辑推理以及有关数学知识技能获得数学问题的正确结果【知识内容】
（1）直线与圆/直线与圆的位置关系
（2）直线与圆/直线与圆的位置关系 12