DOI:10.19789/j.1004-9398.2016.02.003 第37卷第2期2016年4月 首都师范大学学报（自然科学版）JournalofCapitalNormalUniversity （NaturalScienceEdition） No．2Apr．，2016 关于对称区间上定积分的计算* 薛利敏关文吉＊＊ （渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714099） 摘要 根据被积函数的特性，研究了关于原点对称区间上定积分的计算问题，得到了关于原点对称区间上定积分计算的一个公式．探讨并研究了几类函数，得到了这些函数的有关性质．在此基础上，将原定积分的计算问题进行转化，给出了这些函数关于原点对称区间上定积分的计算方法，这种方法不需要直接求原函数，简化了原点对称区间上定积分的计算问题． 关键词：对称区间，偶函数，定积分．中图分类号：O172.2 定积分是积分学的一个基本概念，许多理论和实际问题都归结为计算定积分的问题，牛顿—莱布尼茨公式是计算定积分的一种重要方法，然而，我们经常会遇到或者不容易求出被积函数的原函数，或者被积函数的原函数不能用初等函数形式表示出来，这时，就不能方便地应用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分．我们知道，定积分与不定积分不同，求不定积分就一定要求出原函数，而定积分是和式的极限，是一个数值，虽然牛顿—莱布尼茨公式给出了求定积分的一种方法，但不是唯一的方法，定积分有其自身的特殊性，有时我们并不需要求出被积函数的原函数，而是根据被积函数的奇偶性以及积分区间的对称性来计算定积分［1］． 这里，我们研究关于原点对称区间上的定积分的计算问题，将原不容易求解的定积分问题转化为容易求解的定积分问题，简化了一类被积函数在原点对称区间上的定积分的计算． 1对称区间上定积分的性质 定理设函数f（x），g（x）在闭区间［－a，a］上 收稿日期：2015-06-24*陕西省（数学）扶持学科建设资助项目；渭南师范学院教育教学改革重点研究项目：微课在高等数学教学中的研究与实践（JG201512）＊＊通讯作者 12 ∫a 连续，且g（x）是偶函数，则定积分f（x）g（x）dx－a ∫a =［f（x）+f（－x）］g（x）dx．
0 ∫∫a
0 证明因为f（x）g（x）dx=f（x）g（x）dx+ －a －a ∫af（x）g（x）dx，
0 令x=－t，则 ∫∫
0 0 f（x）g（x）dx=f（－t）g（－t）d（－t） －a a ∫a =f（－t）g（t）dt，
0 ∫∫所以 a a f（x）g（x）dx=［f（x）+f（－x）］g（x）dx． －a
0 特别，如果定理中函数g（x）=
1，则有下面的 推论． 推论设函数f（x）在闭区间［－a，a］上连续， ∫∫a a 则定积分f（x）dx=［f（x）+f（－x）］dx． －a
0 2有关函数的性质 性质1设函数f（x）=1+1ex2n－1（n为正整 数），则f（x）+f（－x）=
1． 证明f（x）+f（－x） －x2n－
1 =1+e+1+ex2n－
1 x2n－1－x2n－
1 （1+e）（1+e） =1+11+ex2n－11+e－x2n－
1 =1． 第2期 薛利敏等：关于对称区间上定积分的计算 性质2设函数f（x）=1+1e－x2n－1（n为正整 数），则f（x）+f（－x）=
1． 证明f（x）+f（－x）=1+1e－x2n－1+1+1ex2n－
1 x2n－
1 =1+e+1+e－x2n－
1 －x2n－1x2n－
1 （1+e）（1+e） =
1． 性质
3 设函数f（x） ex2n－
1 = x2n－1（n为正整 1+e 数），则f（x）+f（－x）=
1． 证明 f（x）+f（－x） x2n－
1 =e+ex2n－
1 －x2n－1－x2n－
1 1+e 1+e =e（1+e）x2n－
1 －x2n－1x2n－
1 +e－x2n－1（1+ex2n－1） －x2n－
1 （1+e）（1+e） =
1． 性质
4 设函数f（x） e－x2n－
1 = －x2n－1（n为正整 1+e 数），则f（x）+f（－x）=
1． 证明 f（x）+f（－x） －x2n－
1 =e+e－x2n－
1 x2n－1x2n－
1 1+e 1+e =e（1+e）+e（1+e）－x2n－
1 x2n－1－x2n－
1 x2n－1x2n－
1 －x2n－
1 （1+e）（1+e） =
1． 性质5设函数f（x）=arctanex2n－1（n为正整 数），则f（x）+f（－x）=π．
2 证明因为［f（x）+f（－x）］'=（arctanex2n－
1 －x2n－
1 （2n－1）xe2nx2n－
1 +arctane）'= 2x2n－
1 + 1+e －（2n－1）x2ne－x2n－1=0，1+e－2x2n－
1 所以f（x）+f（－x）=
C，令x=
0，得2arctan1=
C，于是C=π，
2 故f（x）+f（－x）=π．
2 性质6设函数f（x）=arctane－x2n－1（n为正整 数），则f（x）+f（－x）=π．
2 证明因为［f（x）+f（－x）］'=（arctane－x2n－
1 x2n－
1 －（2n－1）x2ne－x2n－
1 +arctane）'= －2x2n－
1 + 1+e （2n－1）x2nex2n－1=0，1+e2x2n－
1 所以f（x）+f（－x）=
C，令x=
0，得 2arctan1=
C，于是C=π，
2 故f（x）+f（－x）=π．
2 性质7设函数f（x）=otex2n－1（n为正整 数），则f（x）证明 ote－x2n－1）' +f（－x）=π．
2 因为［f（x）+f（－x）］'=（otex2n－1+ （2n－1）xe2nx2n－1－（2n－1）xe2n－x2n－
1 =－1+e2x2n－1－ 1+e－2x2n－
1 =
0， 所以f（x）+f（－x）=
C，令x=
0，得ot1=
C，于是C=π，
2 故f（x）+f（－x）=π．
2 性质8设函数f（x）=ote－x2n－1（n为正整 数），则f（x）+f（－x）=π．
2 证明因为［f（x）+f（－x）］'=（ote－x2n－
1 x2n－
1 （2n－1）x2ne－x2n－
1 +ote）'= －2x2n－
1 － 1+e （2n－1）x2nex2n－1=0，1+e2x2n－
1 所以f（x）+f（－x）=
C，令x=
0，得 ot1=
C，于是C=π，
2 故f（x）+f（－x）=π．
2 性质9设函数f（x）=g（x）ln（1+ex），且 g（x）是奇函数， 则f（x）+f（－x）=xg（x）． 证明f（x）+f（－x）=g（x）ln（1+ex）－ g（x）ln（1+e－x） 1+ex =g（x）ln －x=g（x）ln 1+e （1+ex）ex=xg（x）．（1+e－x）ex 性质10设函数f（x）=g（x）ln（1+e－x），且 g（x）是奇函数， 则f（x）+f（－x）=－xg（x）． 证明f（x）+f（－x）=g（x）ln（1+e－x）－ g（x）ln（1+ex） 1+e－x =g（x）ln x=g（x）ln 1+e （1+e－x）e－x=－xg（x）．（1+ex）e－x 3应用举例 例1［2］ ∫π
4 cos2x 计算定积分π －xdx． －41+e 13 首都师范大学学报（自然科学版） 2016年 解由定理和n=1时的性质2得 ∫∫()π
4 cos2x 1π
4 1
2 －π41+e－xdx=01+e－x+1+excosxdx ∫∫π π =4cos2xdx=41+cos2xdx
0 0
2 =1（π+2）．
8 例2［3］（陕西省第八次大学生高等数学竞赛 ∫π
2 exsin2xcos2x 第15题）计算定积分π xdx． －21+e 解由定理和n=1时的性质3得 ∫∫()π
2 exsin2xcos2x π
2 ex e－x －π21+exdx=01+ex+1+e－x· sin2xcos2xdx π ∫=2sin2xcos2xdx0 ∫π =2（sin2x－sin4x）dx=π．
0 16 ∫例3［4］ 计算定积分 e （ lnx） 2 dx． 1e 1+x ∫∫解 令lnx=t，则 e （ lnx） 2 dx =
1 t2etdt， 1e 1+x －11+et 由定理和n=1时的性质3得 ∫∫e （ lnx） 2 dx =
1 t2etdt 1e 1+x －11+et = ∫1
0 (
1 et+ et +
1 e－+ t e － t ) t
2 d t ∫= 1 t2dt =
1．
0 3 例4［5］ π ∫计算定积分－2πsinxarctanexdx．
2 解由定理和n=1时的性质5得 π π ∫∫－2πsinxarctanexdx=
2 2（arctanex+
0 ∫π arctane－x）sinxdx= π 2 sinxdx= π． 20
2 π ∫例5计算定积分－2πsinxln（1+ex）dx．
2 解由推论和性质9得 π π ∫∫2sinxln（1+ex）dx= 2 xsinxdx －π20 π π ∫∫
2 π
2 =－ xdcosx =－（xcosx 20 － cosxdx）=
1．
0 0 4结语 根据上面的讨论，我们可以看出，计算关于原点 ∫a 对称区间上的定积分f（x）g（x）dx，关键是：如果－a∫a f（x）+f（－x）=常数，且定积分g（x）dx容易计
0 算；或者虽然f（x）+f（－x）≠常数，但是定积分 ∫a［f（x）+f（－x）］g（x）dx容易计算，我们就可以将
0 ∫a 不容易计算的定积分f（x）g（x）dx问题转化为容－a∫a 易计算的定积分［f（x）+f（－x）］g（x）dx问题，下
0 面再举一例加以说明． ∫12 1－x2－x6 例6计算定积分
1 dx． －21+x槡1+x4 解由定理得 ∫12 1－x2－x6
1 dx －21+x槡1+x4 ∫()12 =
1 +
1 · 01+x槡1+x41－x槡1+x4 （1－x2－x6）dx ∫()
1 2 =
2 （1－x2－x6）dx 01－x2（1+x4）
1 ∫2 =2dx=1．
0 以上我们讨论了几种函数关于原点对称区 间上定积分的计算问题，肯定还有许多函数能用 这种方法来简化定积分的计算，有待我们进一步 探讨． 14 第2期 薛利敏等：关于对称区间上定积分的计算 参考文献 ［1］［2］［3］［4］［5］ 薛利敏．定积分计算中的广义奇偶性［J］．渭南师范学院学报，2013
（9）：9－13．同济大学应用数学系．高等数学习题集［M］．北京：高等教育出版社，2001，7，102．马德炎．巧用换元法求定积分［J］．高等数学研究，2012
（6）：50－52．王爱苹，孙贵玲．浅谈定积分的计算技巧［J］．数学学习与研究，2010（17）：87．陈文灯，黄先开．考研数学复习指南［M］．北京：世界图书出版公司，2010，2，106． OntheCalculationoftheDefiniteIntegralintheSymmetricalInterval XueLiminGuanWenji （DepartmentofMathematicsandInformationScience，WeinanTeachersUniversity，Weinan，Shaanxi714099） Abstractordingtothecharacteristicsoftheintegrand，studyonthecalculationofthedefiniteintegralinthesymmetricalintervalabouttheoriginofproblems，andgetthedefiniteintegralinthesymmetricalintervalabouttheoriginofcalculationofaformula．Exploreandstudyonseveralkindsoffunction，somepropertiesofthesefunctionsareobtained．Basedonthis，turnoriginalscheduledintegralcalculationproblem，thecalculationmethodofdefiniteintegralinthesymmetricalintervalabouttheoriginofthesefunctionsisgiven，thismethoddoesnotneeddirectfunction，simplifyingthecalculationproblemofthedefiniteintegralonoriginofsymmetricinterval．Keywords：symmetricinterval，evenfunctions，definiteintegral． 作者简介薛利敏（1960－），男，陕西韩城人，渭南师范学院数学与信息科学学院教授，主要从事基础数学与运筹学研究．通讯作者关文吉（1978－），女，陕西大荔人，渭南师范学院数学与信息科学学院副教授，硕士，研究方向为数论研究． 15