Partialbriiche DieserAnhangbehandeltdiealgebraischenSlitze,diebeimAufsuchenvonStammfunktionenrationalerFunktioneninAbschnitt3.7verwendet,dortabernichtbewiesenwurden.DerAnhangsolldiePartialbruchzerlegungnaherbringen. 0_1PartialbruchzerlegungvonrationalenZahlen WirbeginnenmiteinigenDefmitionen:EineganzeZahlDtei/tdanneineganzelaWA,wenneseineganzelaWQmitA=DQgibt.DieganzelaWDhe~tDivisorvonA.EineganzelaWAgri:i~eralsIhe~tPrimzahl,wennausA=BC(BundCseienganzelaWen)folgt,d~mindestenseinederbeidenlahlenBoderCdenAbsolutbetrag1besitzt:2,3,5,7,11und13sindprimzahlen;1,4,6,8,9,10und12sindhingegenkeinePrimzaWen.MiteinwenigArithmetiklli~tsichzeigen (I) InGl.(I)sinddieNennerPotenzenvonPrlmzahlen,wobeidiesePrimzaWpotenzenTeilerdesNennersderlinkenSeitevonGl.(I)sindunddielahleraufderrechtenSeitevonGl.(I)alleeinenkieinenAbsolutbetragbesitzen.DiesisteineVeranschaulichungdesfolgendenTheoremsiiberrationalelaWen.{QuotientenvonganzenlaWen;wirwerdenwederTheorem1nochirgendeinanderesTheoremdiesesAnhangsbeweisen.) Theorem1:PartialbriicheflirrationaleZahlen.SeienaundbganzeZaWenmitlal1.DannkanndierationalelaWalbalsSummevonrationalenlaWenderFormNip'dargestelltwerden,wobeipeinePrimzaW,p'TeilervonbistundINI2,IN21<
5. NacheinigenVersuchenfmdetmandieLi:isungNl=1undN2=1: Obungen:
1.DiefolgendenDarstellungenerfUllendieBedingungenvonTheorem1.Manbeweisedies. 184-25-
1 (a)35=5"+7"=1"+5' 721 (b)27="9+27'
2.ManbestimmePartialbruchdarstellungenvon l (a)6' 4(b)15' (e)36' (tl)15' 7(e)9' (f)1927.
3.SeiaeineganzeZahlmit0..a<16.ManbeweiseohneVer- wendungvonTheorem1dieGleichunga/16=N1/2+N2/4+N3/8+N4/16,wobeijedesNientweder0oder1ist.Hinweis:Manstelleainder2..,rBasisdar. 0_2PartialbruchzerlegungvonrationalenFunktionen EinAusdruckderFormaoxn+a1xn-1+...+an(dieFaktorenajsindreellelaWen)he~tPolynom.1st aol'0,soistnderGraddesPolynoms.Einerationale FunktionistderQuotientvonzweiPolynomen.Alsi"eduziblesPolynombezeichnenwireinPolynomvomGradmindestens1,dasnichtalsProduktvonPolynomengeringerenGradesdarstellbarist.EinPolynomDteilteinPolynomA,wenneseinPolynomQgibtmitA=DQ.DasPolynomDhe~tdannDivisorvonA. DasPolynomIX4+1wirdiiblicherweiseX4+1geschriebenundistvomGradvier.Esistnichtirreduzibel,dennesgilt X4+1=(x2+y1x+l)(x2-y1x+I), wiemandurchMultiplikationleichtiiberpriifenkann.JedesPolynomvomGradeinshatdieGestaltax+bundistirreduzibel.ax2+bx+cistdarmundnurdannirreduzibel,wennb2-4ac<0gilt.Wiemanbeweisenkann,istkeinPolynommitGradgrafter2i"eduzibel. SoistdasPolynom6x+8irreduzibel,daseinGrad1ist.DasPolynomx2+2x+listirreduzibelda (y1)2-4
(1)(I)=2-4<
O. DasPolynomx3+1istnichtirreduzibel,daseinGradgri:i~erals2ist;tatslichlichfindenwir x3+1=(x+I)(x2-X+1)_ DasfolgendeTheoremhilftuns,denTeilererstenGradeseinesbestimmtenPolynomsaufzufinden. 170 Anhang =Theorem2(Faktor-Theorem):SeiceinereelleZahl.Das Polynomx-cteiltdasPolynomIdannundnurdann, wennf(c)0gilt.Seif(x)=x3+
I.Wegenf(-I)=(-1)3+1=0sagt unsdasFaktortheorem,daBx+IdasPolynomx3+Iteilt. InanalogerWeiseist2eineWurzelderGleichung 4x3-6x2-X-6=
O. Daherwird4x3-6x2-X-6vonx-2geteilt.Ebenso,wiejedeganzeZahlgro1\erals1entweder einePrimzahlodereinProduktvonPrimzahlenist,istjedesPolynomvomGradmindestensIentwedereinirreduziblesPolynomodereinProduktvonirreduziblenPolynomen.Beispiel2:ManstelleX4-2x3+2X2-2x+1alsProduktvonirreduziblenPolynomendar.Losung:DaeinseineWurzelderGleichung X4-2x3+2X2-2x+1=0 ist,muBx-IeinDivisorvonX4-2x3+2X2-2x+1 sein.UmdenQuotientenzubestimmen,miissenwirdieDivisionausflihren: x-IiX4-2x3+2x2-2x+
1 X4-x3~+2X2 -x3+x2 x2-2xx2-x -x+1-x+1 o Somitgilt X4-2x3+2X2-2x+1=(x-1)(x3-x2+x-I). Nunistaber1aucheineWurzelvon x3-x2+x-I=0 undx-IistdaherTeilervonx3-x2+x-
I.NachAus- flihrungderDivisionerhaltenwir x3-x2+X-I=(x-I)(x2+1). DerAusdruckx2+1istirreduzibel,dieDarstellungvonX4-2x3+2X2-2x+IalsProduktvonirreduziblenPoly- nomenlautetdaher X4-2x3+2X2-2x+I=(x-l)(x-l)(x2+I).• DieirreduziblenPolynome.entsprechendenPrimzahlen;dasniichsteTheoremzeigtuns,daBderGraddasAnalogondesAbsolutbetragesist. Theorem3(PartialbriicheflirrationaleFunktionen):SeienA(x)undB(x)Polynome,undseiderGradvonA(x)kleineralsdervonB(x).DannkanndierationaleFunktionA(x)/B(x)alsSummevonrationalenFunktionenderFormN(x)/[p(x)]edargestelltwerden.P(x)isteinirreduziblesPolynom,[P(x)feinTeilervonB(x),undderGrad vonN(x)istkleineralsderGradvonP(x);alIenfalissinddieKoefflzientenvonN(x)alIegieichNull. DieDarstellungnachTheorem3istfliregebeneP(x)immereindeutig.(DieDarstellungflirrationaleZahleninTheoremlistnichtnotwendigerweiseeindeutig;sogilt ¥S=~+-~=-~+~.) Wirerhaltenbeispielsweise _2_=_1_+_1_l-x2I-xI+x x2+4x-IO=_1_+_6____5__(X-I)3x-I(X-I)2(X-I)
3 I--= (v'2/4)x+~ +('---v:-'-2-/=4-)-x-=+~- X4+Ix2+v'2x+1x2-v'2x+
I. DajedesirreduziblePolynomdenGrad1oder2besitzt,kannTheorem3auchsoformuliertwerden: Theorem4(PartialbriicheflirrationaleFunktionen):SeienA(x)undB(x)PolynomeundseiderGradvonA(x)kleineralsderGradvonB(x).DannkanndierationaleFunktionA(x)/B(x)alsSummevonrationalenFunktionenderForm und(ax2+bx+c)i dargestelltwerden.Dabeiistax2+bx+cirreduzibel,(ax2+bx+cYund(ax+bisindTeilervonB(x);k/,c, undd;sindreelleZahlen. 1st(ax+b)"TeilervonB(x),dannsindauch (ax+b)"-l,(ax+b)n-2...undax+bTeilervonB(x). Beispiel3:Manstelle 4x-17x2-x-6 alsSummevonPartialbriichendar.Losung:EntsprechendderNeufassungvonTheorem4existierenreelleZahlenaundbmit
(1) Umaundbzufinden,multiplizierenwirbeideSeitenvonGI.(I)mitx2-x-6underhalten 4x-17=a(x+2)+b(x-3) oder 4x-17=(a+b)x+(2a-3b).
(2) VergieichenwirdenkonstantenTermunddenKoefflzientenvonxaufbeidenSeitenvonGI.
(2),soergibtsich 4=a+bund-17=2a-3b. LostmandieseGleichungennachaundbauf,soerhaltenwira=-1undb=
5.Somitgilt =4x-17-15 x2-X-6x-3+x+
2.• Beispiel4:Manstelle AnhangDPartialbriiche 171 6x2+2x+1x3-3x+2 alsSummevonPartialbriichendar. =L6sung:Mandriickef(x)x3-3x+2alsProduktvon=irreduziblenPolynomenaus.Wegenf(l)0istx-IDivi- sorvonx3-3x+
2.DieDivisionzeigt x3-3x+2=(x-1)(x2+X-2). Nunistx2+x-2nichtirreduzibel,dennesgilt x2+X-2=(x-I)(x+2) und x3-3x+2=(x-1)2(x+2). AufgrundvonTheorem4ergibtsich 6x2+2x+1=_a_+_b__+_c_x3-3x+2x-I(x-l)2x+2 mitbestimmtenreellenZahlena,bundc.WirmultiplizierenbeideSeitendieserGleichungmitx3-3x+2und erhalten 6x2+2x+I=a(x-I)(x+2)+b(x+2)+c(x-1)
2
(3) AnstattnundierechteSeitevonGl.(3)auszumultiplizierenundKoefflZientenzuvergleichen(sieheBeispiel3),wollenwireinenkiirzerenWegeinschlagen. Gl.(3)giltfliIallex,alsoauchfliIx=I,x=-2undx=o.(WirwiihlenI,daIWurzelvonx-I=0istund -2,da-2Wurzelvonx+2=0ist.Fernerwiihlenwir NullausGriindenderEinfachheit.WirbeniitigendreiGleichungen,urndiedreiUnbekanntena,b,czuermitteln.)SubstitutionvonI,-2undNullinGl.(3)ergibt 9=3bfliIx=121=9cfliIx=-
2 I=-2a+2b+Cfijrx=
O. Damiterhaltenwirb=3undc=i.Urnazufmden,ist diedritteGleichungaufzuliisen: I=-2a+2.3+i'somita=¥und 6x2 +2x+ 11 1_..l..+ __3_+~
7 • x3-3x+2-x-I(X-I)2x+2· Beispiel5:Manstelle (3x2-3x-4)(x2-I) NalsSummevonPartialbriichendar. LOsung:EbensowieTheoremInichtsiiber (sieheBei- spielI)aussagt,kannTheorem4nichtunmittelbarauf diePartialbruchzerlegungvon(3x2-3x-4)/(x2-I)an- gewendetwerden,daderGraddesZiihlersnichtkleiner alsderGraddesNennersist.GenausowieinBeispiel1 fiihrenwirzuerstdieDivisionaus:
3 x2-113x2-3x-
4 3x2 -
3 underhalten-3x-
1 3x2-3x-
4 -3x-
I x2-1=3+x2-
1. Theorem4giltnunfiir(-3x-1)/(x2-I)undesfoigtnachkurzerRechnung -3x-1=~+..:..l.. x2-Ix-1x+I sowie 3x2-3x-
4 -2-
1 '--"-x-;2'""--"-'-1'---'-=3+x---I+x-+-l.• Obungen:
1.ManzerlegeinirreduziblePolynomeundpriifedurchMultiplikation:(II)2x3+7x2+4x-
4.Hinweis:ManverwendeTheorem2.(b)x2-3x+10,(c)2x2+x-
7.
2.ManfattorisiereinirreduziblePolynome: ~~-~ W~-~
3.(II)Manbeweisex4+x2+1=(x2+x+1)(x2-X+1). (b)Manstelle(6x+1)/(x4+x2+1)durchPartialbriichedar.
4.WievieleKonstantenbrauchenwirzurBestimmungderPartialbruchzerlegungvon A(x) (II)(x2_3x+2)10; A(x)(b)(x2+2x+3)10' wennderGradvonA(x)kleinerals20ist.S_ManbestimmeIIundbinBeispiel2durehSubstitutionzweier WertevonxindieGleichung 4x-17=II(X+2)+b(x-3).
6.ManbestimmediePartialbruchzerlegungtiirjedederfolgendenrationalenFunktionen: 2X2+1(II)(x_2)3' x (b)(x+1)2' x3-Sx2+9x+1(c)(x2+l)(x-3)
2. 7.Manstelle1/(4x3-6x2-X-6)alsSummevonPartialbriichendar.Hinweir:ManverwendeTheorem2.
8.ManstellealsSummevonPartialbriichendar: (II)x2/(x2+3x+1)
2,(b)x/(x-1)2(x+2)
2. 9.ManstellealsSummeeinesPolynomsundvonPartialbriichendar: (II)(x5+1)/(x3+I),(b)x4/(x2+1)
2. 10.SeiIIx2+bx+ceinPolynomyomGrad2. (II)Furb2-411c..0istdasPolynomnichtirreduzibel.Manbeweisedies. (b)Fiirb2-411c<0istdasPolynomirreduzibel.Manbe- weisedies.11.(II)ManzeiehnedenGrapheneinesPolynomsvonungeradem Grad.WarumhatesmindestenseinereelleWurzel!
172 Anhang (b)ManzeigemitHilfevon(a),dai\jedesPolynommitun·gerademGradgro6eralszweinichtirreduzibelist. 12.ManbeweiseTheorem3fUrdenspeziellenFallB(x)=xIOOO. 13.ManbeweisedenfolgendenSpezialfallvonTheorem3.Theorem:SeiencunddzweiverschiedeneZahlen,dannexistierenZahlenaundbmit AnhangEUnbestimmteIntegrale,Stammfunktionen nf-l IdxX-=lnx,x>
O oder InIxl,xfO
2.IeXdx=eX
3.Isinxdx=-cosx
4.Icosxdx=sinx
S.Itanxdx=InIsecxl=-Inlcosxl
6.Icotxdx=InIsinxI=-InIcosecxI
7.Isecxdx=Inlsecx+tanxl=Intan(I+~)
8.Icosecxdx=InIcosecx-cotxI=Intan~ dxI x
9.Ix'+a'=IiarctanIi I10.~dx=arcsi.n-xaya'-x' a>
0 Integrandenthiiltax+b 11.I(ax+b)ndx=a(-n_+I_I()ax+bt+
1 I12.--d=x-In1lax+blax+ba 13.
I (ax dx+b ) ' =- 1a(ax +b) nf-
I 14I~-b+..!
..Inlax+bl .(ax+bia'(ax+b)a' IS.L(ax~b)=tlnIa/+bI III16 dx=-..!
..+..!
!
...Inax+b .x'(ax+b)bxb' x 17.Ivax+bdX=32a.J(ax+b)
3 2(3ax-2b)~ 18.Ixvax+bdx 15a'y(ax+b)
3 I-~19.Ivax+bdX=2Vax+b+bI x xax+b ~2..,fIiX+'b20.vax+b-a III21. x dxvax + b = VJ..b.. ln v'iiX+b Vax+b -+VVbb b>
O va::22.Idx=~arctanxvax+by-b bb<
O Ivi23.
I dxx'Vax+b =-va~x+-b2ba
I dx xVax+b 24.ex+ddx=..,fIiX+'b..,fCX+d+ ax+b a +ad~-beIVax+bdVxex+d Integrandenthiiltax'+e,axn+e,x3±p'undp'-x' 25.
I dxp'_x' = I2p Ip+xlInp-x 26. I----f£-=.~ax+evac arctan (x 'V~e), aunde>
0 27·I~= ax'+e I28 dx .(ax'+ct _2..,_r1-:a_c In Ixx vvaa+-FFee
I a>O' e<
O _2..,_r-I:a_c In 1vv''CC+-xx FaFa
I a <
0, e >
0 nf-
I 30.I-ax++deX=21aInlax'+el 31.I.Jx'±P'dX=~[x.Jx'±p' ±p'lnIx+.Jx'±p'l] 32.I.Jp'-x'dx=~(x.Jp'-x'+p'arcsin~) Iv33. ,dx=lnlx+.Jx'±p'l x±p' 34.I.Jp'~x'=arcsin~ Integrandenthiiltax'+bx+e AnhangEUnbestimmteIntegraie,Stammfunktionen 173 I35 dx=
I . ·ax2+bx+c.../b2-4ac 'InI2ax+b-~12ax+b+.../b2-4ac I36.I2dx=2arctan2ax+b ax+bx+c.../4ac-b2 .../4ac-b2 37 dx=__2_ ·ax2+bx+c2ax+b b2>4ac 38fdx = 2ax+b + '.(ax2+bx+c)n+In(4ac-b2)(ax2+bx+c)n 2(2n-l)aIdx+n(4ac-b2)(ax2+bx+c)" 39.Sxdx=-.Llnlax2+bx+cl-~Idx ax2+bx+c2a 2aax2+bx+c S40 dx ·.../ax2+bx+c =~In12ax+b+2Va.../ax2+bx+clVa a>
0 Fa41.I dx =_I-arcsin-2ax-b .../ax2+bx+c .../b2-4ac a<
0 42.Sxdx=.../ax2+bx+cbI dx .../ax2+bx+c a 2a.../ax2+bx+c 43.I.../ax2+bx+Cdx=2ax+b.../ax2+bx+c+4a +4ac-b2I dx 8a.../ax2+bx+
C Integrandenthiiltsinax 44·
I .2dxsin2axsmaxx=2-~ I.45.Isin3axdx=-~cosax+31acos3ax 46· ndx-sinn-laxcosax+ smax-- na npositiveganzeZahl 47· I--.-dx-=+_-ItanI±smaxa (1-T+_a-x)42 Integrandenthiiltcosax 48.Icos2axdxx=2sin+2a~x II49.Icos3axdx=~sinax-31asin3ax 50 ndxcosn-aIxs·maxn-
I n-2dx ·cosax= na +-n-cosax IntegrandenthiiltalgebraischeundtrigonometrischeFunktionen 51.Ixsinaxdx=~sinax-!
.xcosax a a 52.Ixcosaxdx=:2cosax+~xsinax 53.Ixnsinaxdx=_~xncosax+~Ixn-Icosaxdx f54.Ixncosaxdx=~xnsinax-~ xn-Isinaxdx"nPOSltlV .cos(a-b)xcos(a+b)x r55..smaxcosbxdx=-2(a-b) 2(a+b) IntegrandenthiiltExponentialfunktionenundlogarithmischeFunktionen 56.IxeQXdx=e-a;x;(ax-1), b>
O 58.
I eaxcosbxdx=2eQX2a+b (acosbx+bsinbx) 59.IxnInaxdx=xn+1[lnnO+XI_(_n_+II_)2]n*-1IntegrandenthiiltinversetrigonometrischeFunktionen 60.Iarcsinaxdx=xarcsinax+~.../1-a2x2 61.Iosaxdx=xosax-~.../1-a2x2 62.Icosec-Iaxdx=xcosec-Iax+~Inlax+.../a2x2-11 63.Isec-Iaxdx=xsec-Iax-~Inlax+.../a2x2-II 64.Iarctanaxdx=xarctanax-21aIn(l+a2x2) 65.Io!
axdx=xotax+iaIn(l+a2x2) 174 Losungenausgewahlter,ungeradzahligerUbungenundTestaufgaben 1DasbestimmteIntegJ'8l 1.1VierAbschiitzulllen
1.(a)8,75 (b)14 (d)5,kleiner (c)gr06er
3.(a)8,91 (b)11,88(c)6,48
5.(a)44,55g (b)59,4g (c)32,4g
7.(a)x3+x2-X+5Inx-31x (b)~In(x3+1) (c)x2/2-llx (d)~e3x(f)xex-eX (e)-~cos2x 9.8,04;40,22g;64,35km;8,04m3 11.(b)8,9375"m3 13.(a)306(c)225 (b)319,5(d)441 IS.1881,805'10-7J 17.(a)0,719;RechteckeilberderKurve(b)0,669;RechteckeunterderKurve 1.2DieexakteUisuIIIdervierProbleme
1.~
3.(a)a3/3 5.jg (b)b3/3 (c)(b3-a3)/3 7.wenigerals0,099.(c)X~3(XI-xi_I) (d)XI(XI-Xo)+xl(X2-XI)+...+X!
(Xn-Xn-I) IS.b3/3m3 17.VolumendesZeltes=~VolumendesWilrfels=~b3 19.(c)logarithmischeFunktionen 1.3Summationszeichen
1.(a)
3.(a)
5.(a) 64 L>I100 i=
O (c)20(b) (b)L7xi i=
3 Lf100 (d)1=
2 5 L(e) 2il+l 1=
I L(2i~L(2i~51 50 (f)1)2oder1)
2 i=
1 i=
O (c)14(c)450 Lf102 (c)i=
3 9.(a)64 (b)16 (c)20 11.(d)5,05013.(b)n2 (c)2i-
1 n .....(d)l.(2i-l)1=
1 17.(a)1;1,375;1,625(c)strebtnach2 (b)1,988,S20..1,999 19.(a)1,5;1,083;0,95;0,885 (b)Snwachst,wennnfallt.Eslii1ItsichzeigenSn....In2(c)lIn+I/(n+1)+...+1/2n>1/2n+1/2n+...+ 1/2n=nl2n=1/2 1.4DasbestimmteIntegraliibereinIntervaU
1.(a) (b)
2 (c)
3 3.(a)Lilliedesi-tenZeitintervalls(b)GeschwindigkeitineinembestimmtenAugenblickimInnerendesi-tenIntervalls(c)NiherulllswertflirdenWegwiihrenddesi-tenIntervalls(d)NiherulllswertfilrdenWegzwischenderZeitaundderZeitb (e)WegzwischenderZeitaundderZeitb
5.(a)67.(a) (b)30(b)~ (c)ill
3 11.(a) o (c) (b)4Mil1ionenDM (d)¥-MillionenDM 13.7217.(c)0,83519.(d)0,8337und0,7337 (d)1,149 TestaufgabenzuKapite11
1.(a)28(c)90 (b)18750000
2.(a)39 (b)10 (c)72 (d) 315
3.(a)X~(XI-Xo)+X~(X2-XI)+X~(X3-X2)
4 (b)fX3dx (c)kleiner 24.(b)0,7456 (d)0,6456
2 (c)tlberschatzuIII(e)UnterschiitzuIII
2 5.(a)fIltdt (b)0,6457.(a)0,74562 (d)f1/xdx (b)0,6456 (c)0,6919 tlbungenzuKapitel1
1.(a)I~(b)12 (c)2!
- (d)
4 3.(a)0,02 (b)Xo=0;XI=0,02;xI=O,02i (c)XI=0,01;X2=0,03;Xi=0,01(2i-1)
5.(a)(21-20)+(22-21)+...+(2100-299)=2100-
1 d(I!
o-,!
,)I!
'(b)(21-2°)+(22-21)+...+(2101_2100)=2101-
1 (c)-~)+(~-~)+...+ =1-=::: 2DieHauptsiitzederInfinitesimalrechnung 175
7.BewegtsicheinObjektzehnmalsoraschwieeinanderes,so wirdesindergleiehenZeitzehnmalsoweitkommen.
9.(a)-x+x2-x3+x4(b)x+x2/2+x3/3+x4/4 (c)-x+x2/4-x3/9+x4/16 11.InObung10sein=100 13. (b) IS 32
1 (c)"
3 1 (d)"
3 IS.(a)20;12 (b)20;12 17.WegdesSatelliten 21.(a)ja(d)nein (b)nein(e)ja (c)ja(g)ja Hinweis:ManuntersuehediezweiteAbleitungvonInif+g); dieUngleiehung(g'-[')2;.0istnUtzlieh. 2DieHauptsatzederInfmiteSimaIrechnung 2.1DerersteHauptsatzderInfinitestirnalreehnung
1.(a)2xex2(d)x-3(g)xcosx(j)secx (n(b)x2 (c) (e)I/(xL1) (h)sinx (i) (k)1/,jf+2x (/) 3.../4
7. 5 72 11.2 IS.(a)117.(b)~(24/3-1) 19.(c)4..,3/3 S.e4-I
9.~In3 13.I (c)(e-1)/(3e) (c)~(22/3-1) I/JI-4x21/(1+4x2) e-x l/x 2.2DerzweiteHauptsatzderImmitesirnalrechnung x x 1.fJ1+i3dl 3.farctan12dl
0 S.xS 9.eX3 13.-3x2+4x 2 17.eXI 07.Inx 11.~";(1-x)/xIS.[(x2)2x 19.(a)l/x 2.3BeweisderbeidenHauptsiitze 1.0
6 3.-
1 S.(a)12..;f[(X)dX";20 (b)dieMasseliegtzwischen12gund20g 7.1/../3 9.2/1n2 11.xInx-x IS.2x 17.(a)WegwahrenddesZeitintervaUs(11;t21(b)BesehleunigungzurZeitI 2.4Stammfunktionen
1.Inx,1+InxzumBeispiel3.arcsinx S.2x3/39.5sec-113.xS/S 7.2x1/2 -!
11.~sec2x IS. cos2x 17.DerHauptsatz 19.(a),Ji/2 (b)~ln2 (c) 21.x+CfiirjedebeliebigeKonstanteC 23.(a)Funktion (b)Zahl (c) 25.ja 29.2k..±../3,kganzzahlig ~(22/3-1) Zahl t [fr31.(a)H:nweiS:Mandifferenziere[(x)dxund f([(x)13dx
0 o (b)[(x)=x TestaufgabenzuKapitel2
1.(a)riehtig (b)riehtig (c)riehtig
2.(a)9;45;72 fe-
1 (b) x2dx o 3.beidebesehreibendenzurtiekgelegtenWeg
4.(a)x2/2+6,jX6.(a)~In(2x+3) (c)-e-3x/3 (b)-~(2x+3)-
1 (c)";2x+
3 7.(4..fi-2-ln8)/3
8.(a)3x2sin2x3 (b)3x2sin2x3
9.(a)2(c)
0 (b)0(d)(1-e)/e T_pben...-nceuKaplteln
1.(Q)-l/x2(d)314 2.(Q)xl";l+x2(b).jl+X2 (c) (d)
I (e)1m i3.(Q)5x4(d)1/(1+x2) (b)~/,jX (c)2/(1-x2)
4.(Q)In((I+x)/(I-x)](pluseinebeliebigeKonstante) (b)arctanx (c)xS/5 (d)2,jX
S.(a)";9-x2 (d)1/(3+2x2) (b)x2/(2x+3)2(e)sin33x (n(c)3see23x-3-x2e-2x 6.1+x/3 -.7.-~sin2x+clx+C2
8.(Q)-
3,Ji/2 (b)65 10.SehnittfUrx=0;kritiseheWerte(-1±0)/2;Asymptoten y=Oundx=-
L y \)i13,
2 DievertikaJeSkalaistverandert y=x::: 13.(Q)~ (b)~ 14.200../(..+2)2IS.(Q)ex2besitztkeineelementareStammfunktion 16.Weg,Masse,FUicheeinesGebietes,VolumeneinesKorpers 17.Gesehwindigkeit,Diehte,GleiehungeinerKurve,Vergrof>e- rung,Anstieg,Ausfiu6ratedesWassers 176 LOsungenausgewiihlter,ungeradzahligerUbungenundTestaufgaben
I.(a)e-X(-2x2-4x-l)/(I+2x2)
2 (b)-7/(ge),Vertau,chungvonlink'undrechls (c)-7/(ge)
3.(a)
5.(a) 2x/(I+x2)2x1/2;-~x-3/2 (b)~In~ (b)-e-3x/3;-3e-3x (c)5Inx;-5x-
2 7.(a)-3e-3x/(I+e-3x)(b)5co,x (c)5co,5x
9.(a)x1/3 (b)lOX (c)x2;x;.0 II.(a)secx=I/cosx;tanx=(sinxl/co,x 25.(a)lim(I+I/n)" (b)2,718 29.(a)20x3 (b)-2x-
2 (c)6(I+x)-
4 31.1,
7 33.-4-1f 35.(a)x3 (b)1/(1+.jX) 37.(a)g
(1)'inddieKostenfUrdenBetriebderMa,chineproZeiteinheitbiszurZeitT (b)If(l)-g(T))/T 39.(a)1-e-b (b)
I 41.(a)DerGraphoszilliertzwischendenKurveny=e-xund y=-e-x;erberiihrtdieobereKurvefUrx=,,/2+2n" unddieuntereKurvefUrX=
3,,/2+2n".LokaleMaxima fUrx=,,/4+2n",lokaleMinimafUrx=
3,,/4+2n".(b)Schnittx=-
I,A,ymptotenx=0,x=3undy=
0, krlti,cheZahllund-
3. 49.(a)al=0,250;a2=0,347;a3=0,391 Ln
I I (b)(I+k/n)2-,; k=
1 (c)~ 51.(b)cekt 53•.jfilt 55.(a)ex3/23x2 (b)-3X2sinx3/2 57.fXe-t2dt o 59.inbeidenFallendiegleicheRegenm.enge.(ManbetrachtedieFliichenerParallelogramme.) 3BerechnungvonStammfunktionen 3.1EinigeGrundtatsachen I.x4/45.6..jX 9.6,ec-Ix 13.-Inll+co,xl17.3sinx-arcsinx21.~x7/225.~x'+2x3+9x29.Y=I!
S(2x-1)7+cx+d33.~arctanx2
3.~x4/3
7._~e-2xII.iln(l+x4)IS.Inlx+x21 19.~x3+*x4 23.Inlxl+2.jX 27.x31. 35.beide 3.1DieSubstitutionsmethodeI.~(I+3x)6 5.i(I+x2)3/2
9._e1/x 13.-2eos..jX 17.-i(x2+1)-
2 3.esin67.-~(I+e2x)-
1 II.-~~ IS.-co,(lnx) 19.-sec6 21.-~eo,3625.-~(4x+3)-2 29.-(I+..jX)-2 33.2e2x+16x-8e-2x37.~arcsinx241.~(x2-2)(3+x2)3/245.~arctan2x 49.(Inx)
2 23..J2x+527.-~(x2+3x+5)-3 31.-e-x35.~arctanx2 39.~x-11sin6x 43.eX-e-x i47.niehtelementar 51.(x2-1)3/2 3.3DieVerwendungeinerIntegraltafel isI.(3x+5)6is5.J(5x-7)
3 3.i[In12x-51-5/(2x-5)]
7.~.J5x+
4 9..J2arctan.J(3x-2)/2 11.~arctan(x/3) 13.lin1(2+x)/(2-x)
1 15.(I/.JI5)arctan(x,j5f3) 17.~In(3x2+I) 19.~[xJx2=1-In(x+Jx2=1)] 21.~[xJxL3-3In(x+JxL3») 23.lin12x2+X+31-(.J23/46)arctan[(4x+1)/.J23) 25.arc,in[(2x-3)/.J29) 27..JX2+X=6+~In(2x+1+2Jx2+x-6) sinS2xcos2x29.-""'--=1;::2::'::"':::::' 5,in32xco,2x-5-'i-n4-x+5-x 48 6416 31.~'in5x-is,in35x 33.~Inl,ec5x+tan5x1oder~Intan(5x/2+,,/4) 35.f,;(9x2,in3x+6xco,3x-2sin3x) 37.-e-X(x2+2x+2) 39.e-3x(-3sin5x-5eos5x)/34 41.xarcsin3x+iJI-9x2 43.xsec-14x-1In(4x+JI6x2-I) 45.-~tan(,,/4-3x/2) 47.is(5x3+2)3/2 49.~arctan[(sinx)/2) 51.[(1+3x)/6).Jc(I=-+-3=-x-')"2---=5-~In(1+3x+J(I+3x)2-5) 53.1x2Jx4+9+~In(x2+Jx4+9) 3.4SubstitutionimbestimmtenIntegral
I.[(e+1)4-161/4
5.~In!
j!

9.
1 S 13.
1 ;;
3.
1 "2 7..Jill/3 II.,,/12 IS.6-3V4/2 17.0 21.Minimumbei(1;-8) 23.Peter 3.5PartielleIntegration I.e2x(2x-1)/43.e2x(4x3-6x2+6x-3)/85.sinx-xcosx7.xIn(4+x2)-2x+4arctan(x/2)
9.(xInx)2/2-(x2/2)Inx+x2/4 11.eX(sinx-cosx)/2 13.(x/3)tan3x+~Inco,3x 15.eax(asinbx-bco,bx)/(a2+b2) 3BerechnungvonStammfunktionen 177 17.(a)-4sinxcosx+x/2 (b)-~sin3xcosx-~sinxcosx+3x/S (e)-~sinsxcosx--f4sin3xeosx-~sinxcosx+5x/16 ff~.f3.6BerechnungderIntegralexdx(ax2+bx+e)n (ax+b)n 2dx und (ax+bx+e)n
I.~In13x-41
3.-5/[2(2x+7»)
5.~arctan(x/3)
9.(1/,j3)arctan(x/,j3)
7.In(x2+9)+arctan(x/3)II.~In(2x2+3) 13.~In1(2+x)/(2-x)
1 15.../3T3'iIn1(,j3+..j2x)/(,j3-..j2x)
1 17.(a)2(x+2)2-
S (b)5(x+1)2-
5 (e)3(x-7/6)2-49/12 19.-~(2x+1)-' 21.(1/,j8)arctan[(2x+1)/fi) 23.~In(2x2+5)-(3/JIO)arctan(..j2xf,/5) 25.(1/JIO)arctan[(2x+2)/v'iO) 33. -(13+4x)
1 14x+
4 332(14x2+Sx+13)S3.jf66arctan.jf66 3.7IntegrationvonrationalenFunktionen:Partialbruchzerlegung 1.k./(x+1)+k2/(x+1)2+k3/(x+1)33.x-I+k./(x-1)+k2/(x+2)
5.(elx+dl)/(X2+X+1)+(e2x+d2)/(X2+x+1)2+ +(e3x+d3)/(X2+x+1)37.x+3/(x+I)9.x+~+~/(2x+1)11.I/(x+I)+3/(x+1)213.(x-3)+(4x+15)/(x2+3x+5)15.x+2/(x+2)+2/(x-2) 17.x+3lnlx-31 19.In1x-31+21n1x+31 21.2Inlx+21+3/(x+3) 23.x2/2+x+¥In1x-31+~(x+2) 25.~InI(x2-1)/x2127.-41nIx-11-2/(x-1)+21n(x2+1)+2arctanx 29.x-4/(x-2)-41nlx+21 3.8IntegrationvonrationalenFunktioneninsin6undeos6
1.-~sin48cos8-1cos8-Iscos38
3.~tanS6
5.~cos76-(~)cosS6 7.lnlsin61
9. II.-~cosec76+~cosecS613. 15.sin9-~sin39 17. 19.-cot(6/2) 23. 25.sec26+2sec6tan6+tan29 itan36+6-tan6 56/2-eos29+~sin26 -~eot69-1cot46 -cosx+~cos3x f27.Inltan(6/2)12(1-u2)3-Su(I+u2)229.(1+u2)3(1+2u_u2)du 31.(10/,j3)arctan[,j3tan(9/2»)-
6 Seosf3.9Trigonometrischeunda1gebraischeSubstitutionen !
. I.2 26d9sin36
3 sec36d6 •2fitan6+
5 Ssec6tan26d6 5.sec6+2tan6 fsec36d6 9.fi(1+sec9) 11..J25-4x2+5InI~-51 x2JI+9x2SJI+9x2 13. 27-243 15.(64x2-9).J9-x2/(3x3)+64arcsin(4x/3) 17.lin(4x+.J16x2-9) 19.-(1-4x2)S/2(x4/36+x2/252+1/2520) d21.~(9x2-4)3/2-
4.J9x2-4+Sarctanft23.fsin39d9/cosS9 .J9x2-4) 25.(211/3)fsecu6d9 31.Esseiu=';j(ax+b)/(ex+d) TestaufgabenzuKapitel3
1.~In(1+x4) i2.(x/2)J4-9x2+~arcsin(3x/2)
3.In1(x-I)/(x+1)I-~actanx
4.-Atan62x 5.x+~In1(x-1)/(x+I)1-~arctanx6.~In(3x+J9x2+16)
7.,jX+t'X+~lnI2t'X-1i
S.(1/../6)In1(,jX+3-../6)/(../X+3+../6)
1 9.(,j3/6)In1(,j3+x)/(,j3-x)
I to10.-~cos2x+~cos32x- ll.~eX(cos2x+2sin2x) coss2x 12.-&eos3x/sin43x-~cos3x/sin3x+~In1cosec3x-cot3xI 13.~actanx2 14.4Inl(.J4+xL2)/xl 15.~x~+~lnlx+~1 16.(x/S)(-2x2+45)J9-x2+(243/S)arcsin(x/3) 17.(1/,j8)arctan[(,j8sinx)/(1+3cosx»)IS.-Jx2+25/(25x) ObungenzuKapitel3
1. (a) f1x 3/2 dx o (b)~(4fi-1)
3.(a)373/14 (b)721/9
5.(a)-1/(2x2) (b)2v'X+l (-h(e)~In(1+5eX)
7. (1+X2)-2+~(1+x2)-
3 9.~(x3+I)In(I+x)+~(x+1)2-~(x+1)3-(x+1) 11.(1/,j8)In1(cos6-fi)/(cos6+y2)
1 13.(b)2sin6 (e),j8sin(6/2) IS. (a)
6 IT 17.2/(x-I)+1/(x2+x+I) 19.-I/(x+I)+x/(x2-x+I) 21.x/(x2+fix+1)-1/(x2-fix+1)23.5x+6+I/x-I/(x+1) 178 Liisungenausgewahlter,ungeradzahligerUbungenundTestaufgaben 25.(0)ungeradesm (b)geradesn (e)modernungerade(d)mgeradeodernungerade (e)ngeradeodermungerade 27.1(8cos38+1)/(64cos68+5)d8 29.15'..[5tan158sec8/(5sec28+3+..[5tan8)d8 J[~12u+2~1++u2I~
2 f31. 2u1-u2 du 2+l-u2+l+u2 33.(u=sin8):rtlnlu-21-f;;In(u2+2u+4)+ +[1/(4-13)]arctanleu+1)/-13] 37.-10I3+cosxI 39.~(x3-1)3/2 41.~x/(4+x2)+ftarctan(x/2) 45.~tan338-~tan38+
8 47.x2/2+lnlxl-~x-
2 51.~x2/(x4+1)+~arctanx253.x/2+~sin2x 55.~(x2+4)3/2 57.~arctanx3 59.-~cosx3 61.~xs(lnx-~) 63.2e.JX 65.(x-1)10Ix3-11-3x+~In(x2+x+1)+ +-13arctan[(2x+1)/0] 67.-1/(x2+1)1/2 69.-2/(x+1)1/2 71.3arctan(x+2)73.~x5/3-~x4/3+x-~x2/3+3xl/3-31n11+xl/31 75.(5x6-6x4+8x2-16)-/x2+1/3577.lnx_~ln(1+x2)-(arctanx)/x 79.eX(sin3x-3cos3x)/10 81.~x/-/4-x283.~10I(x2-3)/(x2+1)I85.(x-1)2/3[~(x-1)2+~(x-1)+~] 87.-/x2+4-210I(-/x2+4-2)/xl h89.~secS8 91.(-10I(3+-/x2+9)/xI93.~x8/3-~x5/3+~x2/395.(-~)sinSx+~sin3x 97.e2x/2-2x-e-2x/2 hts99.~x2arcsinx2+~Jl-x4 101.(-e-x+In(5+eX)-x/25 103.(36x+14)(3x+2)3/2/135105.Inlx-ll-2/(x-1)-~/(x-l)
2 107.2lnlex-ll-x 109.~xS+2x3+xIll.x-~lnlx+1I+~ln(x2-x+l)- -(1/0)arctan[(2x-1)/0]ll3•.,f2x+1ll5.(v'i1/34)10I(2x2-3-..jf'i)/(2x2-3+..jf'i)Ill7.arctaneXll9.InI(x+2)/(x+3)I121.21nlx2+5x+61 123.(2/.J23)arctan[(4x+5)/.J23] 125.(1/.j73)InI(4x+5-.j73)/(4x+5+.j73)
I 127.-cotx131.arcsin(2x-5) 129.-(cot3x)/3-cotx133.x-/1/4-x2+~arcsin2x 135.2,jX2.ti 137.x+lnlx+ll+3lnlx-ll+4arctanx 139.-1/(x+2)-310Ix+11 141.31nIxI+arctan2x 143.x2+~In11-3x21-~Inl(1+0x)/(1-0x)
1 145.~arcsin3x 147.
(0)~lnl(x+1)/(x+3)
1 (b)-1/(x+2) (e)arctan(x+2) (d)(1/,fi4)10I(x+2-../6)/(x+2+../6)
I 149.
(0)~sinx/cos4x+~[tanxsecx+lnltan(x/2+"/4)1] (b)~secsx (e)~sec2x 151.(x2-2)-/x2+1/3153.
(0)I2(u2-1)2du (b)I[(u-l)2/JU]du (e)(d) i12tanS8sec8d8(x+1)5/2-~(x + 1)3/2 +
2 (x + 1)1/2 155.(0)x2-/1+x2-I2x-/1+x2dx ii(b)Itan38sec8d8 (e)I(u2-1)du 157.(1+x)5/2-(1+x)3/2 161.(b)~sinx-~sin5x 4BerechnuogundAnwenduogbestimmterIntegrale 4.1BerechnungderLangee(x)desSohnitte.
1.(b)x2-x3 (e)yl/3_yl/2
3.-/9-x2+x,-1,j2.;x.;~,j2,2-/9-x2,~,j2,;x';
3 5.e(y)=3-2y,O';y';l 7.eX-x-I,
0.;x.;2 9.ix-i,l';x.;
3,¥-~x,3';x.;4 ll.(b)x+l-x2,~_..[5/2.;x.;~+..[5/2 (e)2..;y,
O.;y.;(3-..[5)/2,..;y-y+
1,(3-..[5)/2.;
Y.;(3+..[5)/2 13.(b)x/2,O';x';1,l-x/2,l';x';2(e)l-y,O';y';l 15.(0)3y,0';y';l (b)3-3y,
0.;y';l (e)3y+
3,-1.;
Y.;0 17.(b)
3.,f4-x2,-
2,;x';2(e)~.,f9-y2,-
3.;y';
3 4.2DieBerechnungderQuerschnittsflicheA(x)
1.
(0).2,k2•
2 (b)k2 (e)dieFlacheistproportionalzumQuadratderlinearen Dimension
9.(0)2-/02-x2 (e)2hx-/oLx2/0 (e)2h02/3 ll.h-/02-x2 15.(b)~(02-x2)tan8 (e)fh(1'02x2/h2)dx o(b)hx/o a (d)f(2hx-/02-x2/0)dx o 13.,,02h/2 17.16,,-/9-y2 4BerechnungundAnwendungbestimmterIntegrale 179 4.3BerechnungvonFliichenundVoluminamitRilfevonSchnitten I.251r 5.e2-
5 9.6"Il.~-I/1n2 17. (b) 32 3" 21.,,/4+~ 17 3.3"
7.(a)50/6 II. 2
3 IS.,,/2-,,2/8 19.,,/2 23.2,,/3-,fi12 25.,,/229.2a2hl3 27."a2h1331.144 "33. 37.,,/12041.,,/10 35.422,,15 39.,,(e-2) 2 43.3 4.4DieBerechnungdesVolumenseinesRotationskorpersausseinenSchalen
I. f12"x3dx
0 3. f121ry l dy
0 5. f12,,(2-X)X2dX
0 7.(a),,/2
9.(a)2" II.,,(e-1) Il.(a),,(e2+1)/2(c)"e IS.4"a3/319.(a)2" (b)"IS (b),,2/4 (b),,(4-e) 17.,,/10(b),,2/4
4.SDerMittelwerteinerFunktion"bereinIntervaU 7 1.3
5.In~
7.(a)30km/h
3.I/(e-1) (b)31~km/h
9.(a)"r12 II. 4$ '
8 (b)4rl"15.f(a) (c)r 4.6UneigentlicheIntegrale
I. 1
2 5.0 3.7.divergent 9.divergentIl.0 II." 15.0 17.-
I 19.divergent 21.(sinI+2cos1)/5 23.konvergent(siehedenKommentarzudervorangehendenObung) 33.6.107J 4.7Polarkoordinaten
I. ,,----~..,...(b)=(t) /,," ,,----, "- \ :,','
I I(j) \'"(a)\,I,
2 \\/j\ '....___-....
I ,\ / / .......... ~.11" (tI)----(e)
3.(a)(3;2br+,,/4),kbeJiebigganzzahJig(b)(-3;2h+
5,,/4),kbeliebigg.nzzahlig 5.x2+y2=
Y 7.4x+Sy=
3 9.(x2+y2)3/2=2xy II.r=3/(cos8+2sin8) Il.r2=2/sin28 15.r=-2sec8 17. r~3+2COS8 Polarachse 19.einenachau1\engerichteteSpirale,diediePolarachseindenPunkten(r;8)=(e2n,,;0),n=0,1,2...trifft 21.siehedieAntwortaufObung23(a) 23.(a) r~sin8 r=co,28 (b)derPolund(-I;h/2),(t,,/6),(~;
5,,/6) 25. 27.DieKurveh.tzweiSchleifen,diezwischendenGer.den 8=,,/4und8=-,,/4liegen. 29.(a)eineEllipsedurchdiePunktemitdenrechtwinkeligenKoordinaten(2;0),(-~;0),(0;1)und(0;-1) (b)3x2+4y2-4x=4 31.(b)MaximumfUrcos8=(-3+,jI7)/4 4.8GleichungeninerdarsteUung
I.(a) -
I -2-Io (b)x-2y=
3 I3.(a)x94049Y62002612 (d)x2+y2-2xy-x=
0 5.(a) 1,41o-I~I-
2 -I~
I 2,12 2,120-2,12 (c)eineEUipse(e)nein (d)x2/4+y2/9=
I 7.(a)" (b)21r (c)3" (d)4" o1,41 -3-2,12 180 Liisungenausgewahlter,ungeradzahligerUbungenundTestaufgaben
9.Y=x2II.(a)(I+e)/(S+
2,,) 13.(a)x=(I+cos0)(cos0),y=(I+cos0)(sin0) (b)
I (c)
0 IS.(b)ktr/2,kganzzahlig(c)"ab *4.9BogenliingeundGeschwindigkeit I.3.10m/s;to.,fim/s;10.J5m/s
5.(a)(403/2-133/2)/27(c)(I;I),(4;8) (b)tJ4+9t2(d)y=x3/2
7.(a)DieseKurveheil.ltKettenlinieundhatdieGestalteiner bangendenKelte,derenniedrigsterPunktin(0;1)lieg!
.(b)(eb-e-b)/2 9..J5 11.(b).,fi(e2"-1) (c)V2(e4"-e2,,) 13.3" IS.(b)10,004(naherungsweise)
3 (c)fJI+x4dx 0(d)14,593(naherungsweise)(e)
6,S37(niiherungsweise) ~17.(a) 8fJ9+4x-2/3dx
4 (b)~f../4+9ydy
1 (c)(403/2-133/2)/27 19.(c) f2"JI +
3 sin2
0 dO
0 4.10FliicheinPolarkoordinaten
I.,,3/12
3.
S.(b)~-,,18
7.
9.(b)~ 11. 13.,,/16 ,,/[(4+,,)(2+,,)J(b)(e4"-1)/4 ,,/8 4.11OberfliicheeinesRotationskorpers
2 I.f2trx3JI+9x4dx
1 3. f82try 1/3 JI + ~ y- 4/ 3dy
1 S. f"122" sin 20 sin
0 Jsin2 20 +
4 cos3 20 do o
7."IeJe2+I-.,fi+In(e+,fe2+i)-In(I+.,fi)
J 9.32tr15 II."1-173/2/4+4,ji7+In(4+,j17)+23/2-.,fi-In(I+.,fi)
J 8 f13.(
2,,13)xJ9+16x2/3dx(Esseiu=Vx)16 (:/2)foder JYJI6JY+9dy(Esseiu=JY) 15.,,(20+In3) 17.98,,/3 19.2.,fi,,(2e"+1)/5 23.gleich 2S.(b)nein 27.einGebietzwischenzweikonzentrischenKreisenundzwei Strahlen,dievonderenMiltelpunktausgehen. 4.12DieAbschiitzungbestimmterIntegrale
I.Linkspunkt,3;Rechtspunkt,5;Mittelpunkt,~;Trapez,I;Simpson,
O. 3.~-In2;In2-11;In2-¥S;H-In2;~-In2
5.(a)0,75 (b)0,
7 (c)0,6949 7.0,0008gegenUber0,0023;0,0018gegenUber0,0046;0,00002gegenUber0,0001
9.(a)0,2008(c)0,2030 (b)0,2078 11.(a)37,326(c)38,389 (b)40,240 13.(a)0,8834 (b)0,8655 15.(a)0,3981 (b)0,3084 17.(a)Ne (b)Ne/l0 TestaurgabenzuKapitel4
I.(a) f2(2x - x2) dx o (b)f4(v'Y-y12)dy o
2. f3~ (
9 - x2)dx oder
3 J-'*xJ9- x2dx -
3 0 2
3.J(llx)R+ldx S"12 4.sin2(0/3)dO
1 0 ,,12 ,,12 5.fJsin220+4cos220do6.f6"sin4tcostdt
0 0 "
7.J(2trSinO)(2COSO-2COS20)X oX../8+12sin228-8cosOcos20-16sinOsin20dO
8. 1 f..y2 dy f2 +try (
2 - y) dy o
9. f../22cos4 t sin t dt o 10.-3../3/4 II.(a)a<-
1 (b)f[1/(2x4Jdx o12.~Isin1+2sin~+2sin4+2sin¥+2sin9+2sin~+sin16J ~Isin1+4sin~+2sin4+4sin¥+2sin9+4sin~+sin16J ObungenzuKapitel4 7.24
9.(a)Halfte (b)Viertel (c) 11.8,883 13.divergent 17.(b)unendlich 25. (b) 3
4 23.4../333.unendlich 3S..,fi h(t)-h(a)h'(t)37.(b)g(t)-g(a);g'(t) Viertel 5BestimmteIntegraletiberebeneGebiete 181 (e)siehedieRegelvondeI'Hospitai I 41.-is
1 1
1 43.(a)fJI+e2xdx,f2"exJI+e2xdx,f2"xJI+e2xdx o
0 0 (b)dieerstenbeidensindelementar.(ESseiu=eX.) 45.0;-I 49.(a)0,15e3.,3(e)0,0025e3.,0,050 47.-1;0;
I (b)0,00125e3.,0,025(d)0,00000167e3.,0,00003 51.endlich 53.x+2y=
3 55.(a)"r2.Jh(2-.,fi) (b)2"r2.Jh 59.Hinweis:ManuntersuchedieGleichungInx/x=Iny/yund zeichnedieFunktionInx/x. 61.y=tan(InII+xl+C) 5BestimmteIntegraleiiberebeneGebiete 5.1DasbestimmteIntegraleinerFunktioniiberebeneGebiete
I.(a)20cm3 (b)100cm3 (e)dasVolumenliegtzwischen20cm3und100cm3
3.(a)stets5A (b)5A
7.Kreis 9.gleichseitigesDreieck 13.(a)0,75815.(b)~ (b)1,184 5.1DieBesclueibungebenerGebietedurchKoordinaten
1.(b)0..x..2,x/2..y..13.(b)0..x..I,x2..Y..x5.-a..x..a,-Ja2-x2..Y..,ja2-x27.einDreieckmitdenEckpunkten(0;0),(2;4),(2;6)9.dasGebietzwischendenKurveny=eX,y=Iundx=
I II.dasGebietistdurchzweikonzentrischeKreisbOgenundzweiStrahlenbegrenzt 13.O..y"4,y/3"x"y/2und4..y..6,y/3"x"215.0..x..I,I..Y..eX17.(b)l..y..2,Y"x..3y 5.3DieBerechnungvonff(p)dAinrechtwinkeligenKoordinaten
R 1.16
5.(l6.,fi-2)/21
9. 16 '
3 13.2a3/3 17.~In2 21.In2 33.27.(,,2-4)/(
2,,3) II.34 IS.(,,2+4)/32 19. ~
3 23.1-cosl 5.4DerSchwerpunkteinerebenenSchicht l.(j;~)
5.(0;¥)
3.(t2)7.dd)
9.II. *)(3!
f/(36" (~; + 16); (48 + )")/(36" + 16» 13.nein.ManbetrachtedieFiguraustlbung1 Mlxl+M2X215.(a)xMI+M2 MIYI+M2Y2YMI+M2 5.5DieBerechnungvonff(P)dAinPolarkoordinaten
R I. I
3 (f,,122+cos8 5.f r2dr)d8 0 29.313.5,,/32 17.32/9" 21.3,,/64 to25. I
3 29.+
3,,/256 33.(a)r(p)=rcos8 35. I
4 3..8 "/21+sin8 7.f(fr2sin8dr)d8
0 0 II.3,,/1615.(b)
5,,/16 19.351f/1,024 23.5"a4/4 27.,,/64 31."a4/8 (b)rep)=r I 37.6 TestaufgabenzuKapitel5 l.(a)-a"x..a,O"y..Ja2-x2 (b),,/6..8..,,/4,I/cos8..r..2/cos8
2. (a) 4
3 (b) 4
3 3.(a)2a/3
4."a5/1O
5.(a) (e)
6.(a)
3,,/643,,/64
2,,(1-31/e30)m3 (b)~"/64g(d)
8 (b)2"(1-16/eI5)m3 ObungenzuKapitel5
1.(a)-2..x..2,x2..Y..4 (b)0..y"
4,-,JY..x",JY
3.(a)x4/2+xLx_~ (b)y4/2+yL3y2/2
5.(a)0..x"a,0..y..,j2a2-x2 (b)O..x..a,O..y..aunda..y..a.,fi O..x..../2a2-y2 (e)0..8..,,/4,0..r..asec8und0..r..a.,fi ,,/4..8..,,/2
7.,,/12
9. (b) J(Jal.Ji../a2-x2YdY)dX oX II. J(Jal.Ji,ja2(x y22+y2) dXJ dy =a4 ,,/16
0 y 13.(a),,/4
4 (d)"
3 IS.(a)a4/3 17.(a)~(29) 2(b)
3 (b)a4/1232 (b)'
3 19.(,,2+4)/32 21.(a),,/4 (b)4/9 23.2,,(1-2-aaIn2-2-a)/(1n2)
2 25.(a)Mb2/6 (b)Ma2/6 (e)Ma2b2/[6(a2+b2)
J (e)0(e)(0;,,/8) 27.r(p)istdasQuadratdesAbstandeszwischenPunddery·Achse 29.rep)istdasQuadratdesAbstandeszwischenPunddery·AchseplusdemAbstandvonderx·Achse 31.f(P)istderreziprokeAbstandvonPzumPol 35.(a)ausSymmetriegriinden (b)x2+y2=r2 (e)"a4/2 (d)"a4/4 37.3,,/8+(In2-3)/2 182 LOsungenausgewiihlter,ungeradzahligerUbungenundTestaufgaben 47.(b)
4,,/3;2"-32/949.,,(a4+2albl)/251.(a)2,92 ~ (e)amRandederStadt(b)6,75 53.V=JA(8)d8istnichtrichtig '"55.(a)derIntegrandistnichtnegativ 57.1stI.berallstetigundvonNullverschieden,dannmill>Istets positiv oder stets negativ sein; daher gilt J"
1 (
8 ) d
8 l'
O. Ange- o Dammen,esgebenUleineeinzigeWurzela,danowechseltdas VoneichenVOnI(x)sin(x-a)imIntervall(0;,,)nichl.Ande- rerseitsgilt sin(x-a)=sinxcosa-cosxsina, so dol> J"I(x) sin (x - a)dx =0; dies ist unmaglich, wenn der o IntegrandkonstantesVoneichenbesitzt. 59. Nehmen wir 1
(8)>
0 an. Wegen J2"
1 (
8 ) d
8 =
0 gibt es ein b oaus(0;
2,,)mitI(b)<
O.DaherexistierenZahlena,undal mitO(8) dO =(g3 (
2,,)- g3(0)1/3 =
0 o AusVbung56undpartiellerIntegrationfolgt 2#J/
(8) sin
8 do =
0 J2# =1
(6) cos
8 d8. o
0 AufgrundVonVbung60verschwindetg2(8)g'(8)flirmin- destensvierverschiedeneZahlen;dahermu6g'(6)anvier Punktenverschwinden.(g(6)l'0.1(DerRadiusstehlsenbecht aufderKurveflirg'
(6)=0.1 6BestimmteIntegraleiiberriiumlicheGebiete 6.1DasbestirnmteIntegraleinerFunktion.hereinendreldirnensiOlwenRaum
1,DieMasseliegtzwischen384gund1920g3.20",3/35.960g7,2.j6cm11.DaderKarperinnerhalbeinesWOrfelsmitderSeitenliinge10 liegt,betriigtseinVolumenMchstens103.(DiesesErgebniskannnochverbessertwerden.) 6.1DieBeschreibungriiumlicherGebleteinrechtwinkligen Koordinaten x"1.0"z"I,0"y"1-z,0"1-z-
Y "x""x3.-
1 I,-../1-xl"y"Vi-xl,0"z +y+
2 5.(a)0"x"2,0"y"1-x/2,0"z"3x+4y7.-a"x"a,-val-xl"y,,~, -val-xl-yl"z"val-xl-yl
9.-3";;.X.;."~5",--=c",2-Vl6-(x-1)1"y"2+Vl6-(x-1)13-V16-(x-1)1-(y-2)1""z"3+V16(x-1)1(y2)1 11. 13;2;3) x13. . IS. ;--+----y "
I \ 17.DerQuerschnittisteinQuadrat 6.3DieBeschreibungriiumlicherGebleteinZylinderkoordinatenoderKugelkoordinaten
1.OberfliicheeinesgeradenKreiszylindersmitdemRadiusI
3.Ebeneparallelzurxy-Ebene "Z"
5.KugelmitdemRadius3 9.0"8"2",0","a,-val-,
1 val-,
1 11.(a)(vxl+yl;arctan(yIx);z).(EsgibtauchandereBeschrei- bungenvon8) (b)(roos8,rsin8,z) 13.(a)z=
0 (b)8=,,/4 (e),=
0 IS.einkegelfarmigerKarper 17.einVierteleinesZylindersmitabgeschriigterDeckfliiche(inderEbenez=x) 19.KugelmitdemRadius2,MittelpunktimUrsprung21.eineHalbebenevonderz·Achsebegrenzt 23.dieobereHilltederz·Achse 25.(psin,8,pcos<1» "a27.0"8"2",0"p"a,0"<1>""(inbeliebigerReihenfolge) 29.0"8"2Tr,0"<1>",,/6,0"p (inbeliebigerReihenfolge) 31.0"8"2",0"<1>",,/6,0"p"(3asec<1»/5 37.p=..ji2+i'l,
8,=arctan(,Iz) 39.p=VXl+yl+zl,=arctan(vxl+yl/z),8=arctan(y/x) 6BestimmteIntegraletiberraumlicheGebiete 6.4Die8erechnungvonJf(P)dYinrechtwiokeligen Koordinaten
R 1.(a)f4(b)~
S.(b2+e2)M/3
9.I~
O 3.M/S7.0 f60SDie8erechnungvonf{P)dYinZylinder·oderKugelkoordinatenR 1.4"a3/37.3Ma2/2ll.3a/419.ja(Mittelwertsatl) 3.2Ma2/S
9."a4/1613.2Ma2/S TestaurgabenzuKapitel6 2.3(b4-a4)/4(b3-a3)
4.(a)(5;arctan~;,,/2) (e)(.j8;,,/4;,,/4)
6.(a)rbzw.p2sin8.a2/2+h2/12
9.(e-1)/410.(e)M(3a2/120+3h2/S)ll.(a)pcos=
3 (e)psin=212.a2 (b)(0;3sinl;3cosl) (b)x2+y2=4(d),2+z2=
9 ObungenzuKapitel6 IS.ManverwendedenpythagoriiischenLehrsatzinderFormx2+y2+z2=p2. 183 AnhangD.Partialbriiche
D.IPartialbruchzerlegungvonrationalenZahlen t'f6)
S.(a)(x-2)(x2+2x+4) (b)(x-if4")(x2+if4"x+7.a=-I,b=S9.(a)2/(x-2)+8/(x-2)2+9/(x-2)
3 (b)I/(x+I)-I/(x+1)2(e)I/(x-3)2+x/(x2+1)ll.injedemFaile20 D.2PartialbruchzerlegungvonrationalenFunktionen
I.(a)(2x-1)(x+2)
2 (b)irreduzibel (e)21x+(1-..j57)/41Ix+(I+-.157)/4) x/2-~-x/2+~
3.(b)x2+x+1+x2-x+
1 +¥.-:A4x/23 7.rl-4x2+2x+
3 9.(a)x2+I--x-1-x+x2 184 erzeichnis AbscblltzungvonIntegralen,Linkspunkt-Methode114---,Mittelpunkt-Methode114---,Rechtspunkt-Methodel14---,SiropsonscheRegel115---,Trapez-Methode114Abschnitt5AnstiegeinerKurveinParameterdarstellung99Arbeit92Archimedes113(Obung6) bestimmtesIntegral-Definition14-ExistenzIS-JlberebeneGebiete127-Jlberraum1icbeGebiete159-undFIAche12-undMasse13,14,IS-undWegl5blinderIndex9BodenschAtze42(Obung64-68)BogenlJInge102,103,104 Durchmessercinesraum1ichenGebietes152 FlAcheninhalt-einerKugel112-einerRotationsflllche109,110-inPo1arkoordinateo107Funktion-,elementare26.-,Mittelwerteiner86;129,153 GebietinrechtwinkeligenKoordinateo153-insphlirischenKoordinateo157-inZylinderkoordinateo155GeschwindigkeitaufeinerBahnkurve104Gewinn92,93 HauptsatzderAnalysis25---,Beweis31,33 Integrand35Integral34-,iteriertes133-,elliptisches47-,mehrfaches133-Jlbereinraum1icbesGebietinrecht- wiukeligenKoordinateo160-----insph4rischenKoordinateo162-----inZylinderkoordinateo162-,unbestimmtes34-,uneigentliches89IntegrationmitPartialbrochen58-mitSubstitution45,47,51-,partielle53-undrationaleFunktionenvonsineundcos®61-64 ----vonxund,.jax+b68-undtrigonometriscbeSubstitution65 Kardioide%,97Kugel151-,Potentialeiner164 Laplacetransformierte93Liouville26 MaB13,152 Mehrfacbintegrale133,160,162Mittelwert129,153Moment137 Okonomie -,Transport148(Obung40-45) Parameterdarstellung98Partialbroche58Pol95Polarachse95Polark:oordinaten95-undrechtwinkeligeKoordinateo95pythagoraiscberLehrsatz73 quadratischeErgilnzung56QuerschnittsflAche76 Schnitt73SchwarzscbeUngleichung88Schwerpunkt138,161Sigma-Bezeichnung10SimpsonscheMethodeliSspb.ilriscbeKoordinateo157Stammfunktion34-einesPol)1loms44-voncttx)44- -vonttx)+g(x)44- -vonf/f44-vonxhocha44Smnmationsindex9Summenzeichen9 Teilung4,13Tragbeitsmoment160Trapezmethode114 uneigentlicbesIntegral89--,divergent89--,konvergent89 Volumen,BerechnungmitSchnittflllchen80-,BerechnungmitZylinderschalen83 Wallis-Formel72(Obung163-166) Wankelmotor99Zyldoide99Zylinderkoordinaten155Zylinderschalen83