Dürrschnabel,MathematikfürIngenieure,DOI10.1007/978-3-8348-2559-
9,©Vieweg+TeubnerVerlag|SpringerFachmedienWiesbaden2012 LösungenderAufgaben 1.1Mengen1.a)ABb)ABc)AB Cd)AB Ce)AB Cf)AB C 2.a)A⊂BC⊂BD⊂Ab)a∈A,a∈Bb∈B,b∈
C D⊂Bc∈
E d∈
B 1.3ReelleZahlen
2.[1,3]⊂[1,2]∪]2,3]]1,3[⊂[1,3],[1,3[,]1,3],[1,2]∪]2,3][1,3[⊂[1,3],[1,2]∪]2,3]]1,3]⊂[1,3],[1,2]∪]2,3][1,2]∪]2,3]⊂[1,3]]1,2[∪]2,3[⊂[1,3],]1,3[,[1,3[,]1,3],[1,2]∪]2,3] 3.a)]−∞,5]e)]0,3[∪125,∞i)
R b)−∞,−23f)]
5,∞[ c)[−3,1]g)−∞,−32∪]
0,∞[
4.AlternativeAfüreinenAnlagebetragzwischene0unde13670,AlternativeBfüreinenAnlagebetragzwischene13670unde53400,AlternativeCfüreinenAnlagebetragübere53400. e40000:AlternativeB e60000:AlternativeC
5.FüreineSeitenlängeamussgelten:10≤a≤40 d)]−∞,0[∪]
4,∞[h)−
3,−32∪]
0,∞[ 1.4KomplexeZahlen 1.a)8−5ig)2i b)−4+8ih)7+12i c)5ii)−10i d)−9−7ij)−1−2i √e)−43 k) 750 − 1325 i √f)−2−42i l) 12 − 12 i
K.Dürrschnabel,MathematikfürIngenieure,DOI10.1007/978-3-8348-2559-
9,©Vieweg+TeubnerVerlag|SpringerFachmedienWiesbaden2012 588
4. a) √|z|=
2, argz=−π
4 c)|z|=1,argz=76π 5.a)−
2 b)1+i b) |z|=
2, argz = π
3 d)|z|=4,argz=32π √c)−2+23i 7.a)i b)
1 c)4096
8. a) cos( π
4 + kπ) + isin( π
4 + kπ), k=0,
1 b) √82 cos(π+kπ)+isin(π+kπ) , k=0,1,2,
3 162 162 c)
2 cos(π
5 + 2kπ
5 )+isin(π
5 + 2kπ
5 ) , d) √46 cos(π+kπ)+isin(π+kπ) , 122 122 k=0,1,2,3,4k=0,1,2,
3 e)
2 cos( π15 + 2kπ
5 ) + i sin( π15 + 2kπ
5 ) , k=0,1,2,3,
4 f) cos ( kπ
4 ) + i sin ( kπ
4 ), k=0,1,2,3,4,5,6,
7 9.a)w0=1b)z0=
0 √ √ w1 =−√ 12 + 12 3i √w1 = − 12 − 12 3i z1=3iz2=−3i 10.ϕ≈0,178=∧57,5◦ 11.
I = U0sinωtR2+ω2L2 (
R − iω L), tanϕ = − ωLR 2.1FunktionenalsModellederWirklichkeit1.Höhe √d)43−4id)128−128i SamstagSamstagSamstagSamstagZeit 2.2DerFunktionsbegriff 1.a)Funktion b)keineFunktion c)keineFunktion d)Funktion 2.a)Rb)[−
1,∞[c)R\{2}d)]−∞,−2]∪[
2,∞[e)R\{−2,2}f)
R 3.a)keineFunktion b)Funktion ⎧
4. ⎨]
0,∞[−→
R d:⎩a−→a2+144 a2 c)Funktion d)keineFunktion
5. ]
0,∞[−→
R A: √ a−→43a2 Wertebereich:]
0,∞[ √ √ A
(4)= 34 · 22 = 3≈1,73 6.p≥p0;esfließtkeineFlüssigkeitvonStellenniedrigerenDruckszuStellenhöherenDrucks 589
7. ]
0,∞[−→
R Z: r−→43π3r2+3r+
1 Wertebereich:]
0,∞[ Z
(8)=8638π≈909 2.3EigenschaftenvonFunktionen 1.a)nichtinjektiv,nichtsurjektivc)bijektive)injektiv,nichtsurjektiv b)bijektivd)surjektiv,nichtinjektivf)surjektiv,nichtinjektiv 2.a)y=13x+23,x∈
R c)y=63xx−−71, x ∈ R\{ 13 } e)y=2−x32,x∈[
0,∞[ b) y =
3 x+1x−
1 , x∈R\{1} d) y=
3 4 − x2 , x∈
R f) y = 2+x25−3x2 , x∈[
0,∞[\ 53 3.f−1(x)=−cdxx−+ab,alsofüra=−d
4.DerGraphderFunktionmusssymmetrischzur1.Winkelhalbierendeny=xsein.Beispiele:y=1x,y=−x+15. 5.s(10s)=150mt(25m)≈4,08st(50m)≈5,77st(75m)≈7,07st(100m)s≈8,16s 6.a)(g◦f)(x)=x2+2x+
1 b)(g◦f)(x)=√3x2 √ c)(g◦f)(x)=3x2 √ d) (g◦ f)(x) = x+x−3x−
1 (f◦g)(x)=x2+
1 (f◦g)(x)=3x2+12x+10 (f ◦g)(x) = √23x = √3x2 (f◦g)(x)= x2+x−3x2−
1 8. a) Aus x1 < x2 folgt f(x2)− f(x1) = 110 x42−x41 + 15 x22−x21 >
0 b) f−1(x)= √10x−3−
1, x∈
2,∞
5 c)yf(x) f−1(x)
1 1 x 3.1Signum-undBetragsfunktion 1.a){−
8,−2} b)[2,3[
2.Nullstellenvonf:−13,0,
1 3.2GanzerationaleFunktionen
1.Nullstellen: a)−
3 b) 72 c)]
0,∞[√ Nullstellenvong:−12,0,
2 d)[0,3] c) 43 d)53π e)
0 f) 1100 590
2. c) ϑ
C = 59 ϑ
F − 1609 3.a)l0=l(0◦C) b) l(ϑ) ≈ 6,3978m +77,193·10−
6 m◦
C ·ϑ α = 12,07·10−
6 1◦
C (Eisen) l(0◦C)≈6,3978m
4.Fixkosten:e31000 VariableKosten:e89proStuhl l(20◦C)≈6,3993m 5.a)Nullstellen:x1=−3,x2=3Scheitel:(0|−9)b)Nullstellen:x1=−1,x2=−3Scheitel:(−2|−1)c)Nullstellen:x1=x2=1,5Scheitel:(1,5|0) 6.a)−2,
2 b)−2,
2,−4,
4 √√c)
3,−3 7.b)VerdoppelungderGeschwindigkeitheißteineVervierfachungdes√Luftwiderstands.DerLuftwiderstandverdoppeltsich,wennmandieGeschwindigkeitaufdas2-Facheerhöht. c) v kmh 5090120180 Fw[N]72232413928 8.f(x)=0fürx<
0 Nullstellen:]−∞,0] 2xfürx≥
0 ⎧ ⎪⎨3x+1fürx<
0 g(x)=⎪⎩−x0+1ffüürrxx>=00 Nullstellen:−13,0,
1 ⎧ ⎪⎨4x+2fürx<
0 √ h(x)=⎪⎩x20−2ffüürrxx=>00 Nullstellen:−12,0,
2 9.a)f(−1)=6f
(0)=2f
(1)=
0 b)1,12,−
2 c) f(x)=2(x−1) x − 12 (x+2) f
(2)=12 f
(3)=50 10.a)b) f(x)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)=x4−5x2+
4 √f(x)=xx−
3 √x+
3 x−42(x+2)
3 5 = x8 + 225 x7 + 125 x6 − 51425 x5 − 35625 x4 + 1365 x3 + 38425 x2 − 38425 x g(x)=25·f(x)hatganzzahligeKoeffizienten. 3.3GebrochenerationaleFunktionen 1.a)PolanderStellex0=1b)hebbareLückeanderStellex0=3c)PolanderStellex1=
2,PolanderStellex2=−2d)PolanderStellex1=−2e)PolanderStellex1=2f)PolanderStellex1=−
4,PolanderStellex2=0,hebbareLückeanderStellex3=
2 591 2.a)DieAnziehungskraftgehtfürr→0gegenunendlich. b)F≈734,3N 3.4AllgemeinePotenz-undalgebraischeFunktionen 1.a)x5 3 b)x2 c)x−
2 d)x6 e)x9 1 f)x2 g)x h)x(m−n)
3.GanzerationaleFunktioneny=p(x)erfüllendieGleichungp(x)+(−1)y=
0.GebrochenerationaleFunktioneny=qp((xx))erfüllendieGleichungp(x)+−q(x)y=
0. 3.5TrigonometrischeFunktionen 1.a)MitxderWinkelinBogenmaß,αderWinkelinGrad(◦)undtderWinkelingongilt: t = 400gon2π ·x t = 400gon360◦ ·α x = 2π400gon ·t α=403060g◦on·t 2.69,83m 3.a)γ=180◦−α−β=52◦c≈41,84 b) a = csinγ sinα ≈ 50,78 b = csinγ sinβ ≈ 43,50 c)C(17,89|46,78) 4.a)23π+2kπund43π+2kπ d) − π
8 + k π
2 b) π
4 +kπ e)2kπund23π+2kπ c) kπ und π
3 +kπ f) π
4 +2kπ und 34π +2kπ 5.c)Stauchunginx-RichtungumdenFaktoraundVerschiebungentgegenderx-Achseumb. 6.75,8%
7. a) Überall beträgt die Periode 365 Tage, d. h. a = 2π365 ≈ 0,0172. Am21.März,alsofürt=80,giltsin(at+b)=0bzw.at+b=
0.Damitistb=−80a=−80326π5=−3723π≈−1,377. b)KürzesterTag:7,5Stunden;c=4,
5 c)c≥12oderc≤−12;indiesemFallwirddiesinusförmigeFunktionL(t)nachobendurchdenWert24bzw.nachuntendurchdenWert0gekappt. 8.sin(osx)=sin2(osx)=1−cos2(osx)=√1−x2cos(arcsinx)=cos2(arcsinx)=1−sin2(arcsinx)=√1−x2 9.b)Maximalhöhe:hmax=50mh(200)≈49,20m=∧98,4% h(1000)≈49,87m=∧99,7% 90%nachungefähr64,6Jahrenc)h
(0)≈3,14m 95%nachungefähr90,5Jahren Diearctan-FunktionwächstanderStelle0amstärksten.Diesbedeutet,dassdasWachstumnach40Jahrenamgrößtenist. 3.6ExponentialfunktionundLogarithmus 1.a)32 b)64 c)1024 d) 13 e) 11000 f)1024 g)243 h)1,
5 592 2.1KB=1024Byte 1MB=1048576Byte 1GB=1073741824Byte 4.a)5b)4c)−1d)21e)−2f)1g)3h)704i)
7 5.DieD-Markexistierte54Jahre,d.h.diePreisestiegenaufdas1,02754≈4,2-Fache.Demzufolgehat- te die D-Mark bei ihrer Ablösung noch eine Kaufkraft von 11,02754 ≈ 0,24 = 24% der ursprünglichen Kaufkraft. Die Kaufkraft halbierte sich nach ln2ln1,027 ≈ 26 Jahren.
6. b) Halbwertszeit: −RC·ln 12 ≈ 0,17s 7.a)Verschiebungum3iny-Richtung b)StreckungumdenFaktor2iny-Richtung c)Spiegelunganderx-Achse d)Spiegelungandery-Achse e)Spiegelungandery-undanderx-Achse f)Verschiebungum2inx-Richtung g) ln 1x = −lnx: Spiegelung an der x-Achse √ h)2lnx=lnx:Identität i)ln2·log2x=lnx:Identität
8.ϑ(13,6mm)≈281◦Cϑ(13,1mm)≈318◦CUm80◦CAußentemperaturzuerreichen,benötigtmaneinenAußenradiusvonra≈16,7mm. 9.110098,,53≈15,8-malsostark 10.a)L(I0)=013.a)−1b)i b)1100182=10000-malhöhereSchallintensität √√ c) 22 + 22i √ d) e 12 − 23i e)e2f)e(cos1+isin1) 4.2DasGauß’scheEliminationsverfahren 1.a)x1=1,x2=2,x3=2c)x1=−2,x2=19,x3=0,x4=
2 b)x1=130,x2=83,x3=−1d)x1=523,x2=−45,x3=−27,x4=−629,x5=
8 2.a)−6x2+12x b)2x3−x2−4x+
1 c)−x3+2x2−5x+
3 d)2x4−5x2+x
3.Vater52Jahre,Mutter49Jahre,ältereTochter26Jahre,jüngereTochter23Jahre 4.140Kühe,70Schweine,378Hühner,42Enten
5.I1=0,96A,I2=0,72A,I3=0,24A,I4=0,72A,I5=0,96A 6.a)x1=−16+5λ,x2=24−7λ,x3=λ b)x1=4+2λ,x2=−5−3λ,x3=λ,x4=
6 c) unlösbar für α = −1; Lösung für α = −1: x1 = 14, x2 = 32 − 54λ, x3 = λ d)x1=1+3λ−2μ,x2=λ,x3=−2+μ,x4=−3−4μ,x5=μ 593 7.a)4Fe+3O2−→2Fe2O3b)C6H12O6+6O2−→6CO2+6H2Oc)4C3H5N3O9−→12CO2+10H2O+6N2+O2 5.2VektorenimAnschauungsraum ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ 2.a)
1 b)
2 c)
0 ⎜⎝5⎟⎠ ⎜⎝−4⎟⎠ ⎜⎝0⎟⎠ ⎛⎞ d)
5 ⎜⎝−3⎟⎠ ⎛⎞ e) −
4 ⎜⎝8⎟⎠ −
1 3
0 5 −
6 ⎛⎞ f)
9 ⎜⎝3⎟⎠
6 ⎛⎞ ⎛ ⎞ g) −
7 h)
4 i) ⎜⎝−7⎟⎠ ⎜⎝−22⎟⎠ −
3 11 ⎛ ⎞ 11 ⎜⎝−2125⎟⎠
7 3.a)wedergleichseitignochgleichschenklig√ c)gleichschenklig,Schenkellänge52 b)gleichseitigmitSeitenlänge2d)gleichschenklig,Schenkellänge10 4.a)D(7|8|9) b)M92|4|27
6.Winkel:α≈0,340=∧19,5◦;resultierendeGeschwindigkeit:v≈8,49ms;benötigteZeit:t≈23,7s
7.KraftjeSeil:F≈120,9N
8.KraftjeSeil:F≈178,9N 5.3AllgemeineVektorräume
1.DieAssoziativitätgiltwegenderAssoziativitätinR.DasneutraleElementistdie1.EsfehltdieAbgeschlossenheit(eskönnte0dasErgebniseinerMultiplikationsein)sowiedasinverseElement.DiesebeidenEigenschaftenergebensichausderVerknüpfungstafel: ·123456112345622461353362514441526355316426654321
4.Gruppeneigenschaften:Abgeschlossenheitverletzt;neutralesElementfehltunddamitauchdieinversenElemente.Vektorraumeigenschaften:DasErgebnisderS-MultiplikationliegtimAllgemeinennichtmehrinderbetrachtetenMenge.
5.Ja.AlleGruppeneigenschaftenundallegefordertenEigenschaftenderS-Multiplikationsinderfüllt. 5.4LineareAbhängigkeitundUnabhängigkeit 1.a)linearunabhängigd)linearunabhängig b)linearabhängige)linearunabhängig c)linearabhängigf)linearabhängig 594
2.Füra=0linearabhängig,füra=0linearunabhängig
3.DerNullvektor0istlinearabhängig,daeseinenichttrivialeDarstellungdesNullvektorsgibt:
Z.B.gilt3·0=
0. 5.linearabhängig
7.Dieektorensindlinearabhängig,dawegenF1+F2+...+Fn=0einenichttrivialeDarstellungdesNullvektorsexistiert. 5.5BasisundDimension 1.a)keineBasis b)Basis c)keineBasis d)keineBasis
2. a) a = 12 b)a=−
1 3.a)3b1+3b2 b)5b1+2b2 c)2b1−3b2 d)−5b1+b2 e) − 72 b1 − 12 b2
4.DieVektorenhabenalledieDarstellung±12bi±12bjmiti=j. ⎛⎞ 5.a)
1 Basis:⎜⎝1⎟⎠
0 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ c)
1 0
0 Basis:⎜⎝1⎟⎠,⎜⎝1⎟⎠,⎜⎝0⎟⎠
0 0
1 ⎛⎞⎛⎞ b)
1 0 Basis:⎜⎝0⎟⎠,⎜⎝0⎟⎠
0 1 d)Basis:1,x2,x4
6.DieDimensiondesUntervektorraumsist3.EineBasisbildendieersten3Vektoren. 7.a) α11+α12+α13=sα21+α22+α23=sα31+α32+α33=sα11+α21+α31=sα12+α22+α32=sα13+α23+α33=sα11+α22+α33=sα13+α22+α31=s DasComputeralgebrasystemzeigt,dassmanz.B.dieGrößena32,a33undsfreiwählenkann.DannsinddieübrigenElementebestimmt.DerVektorraumhatalsodieDimension3. b)DiedreiMatrizensindmagischeQuadrate.FerneristdieNullmatrixnurtrivialausdendrei Matrizenlinearkombinierbar. 6.1DasSkalarprodukt√
1.W=400003Nm≈69282Nm 2.a)π3=∧60◦d)π3=∧60◦ b)os5665≈0,533=∧30,5◦e)os√2≈1,119=∧64,1◦ 21 c)os√1≈1,429=∧81,9◦ 52 f)π2=∧90◦ 595 3.a)t=−
4 √b)t=±
3 5.a)sinnvolle)sinnvoll b)sinnvollf)nichtsinnvoll c)nichtsinnvoll d)sinnvoll
6. −b1b1a a 1 bb 1a+1b·ab 1a−1bab =1a2−1a·1b+1b·1a−1b2 a2 ab ba b2 =1−1=
0 7.os13≈1,231=∧70,5◦ 8.b a+ba−ba a+b2+a−b2=a+b2+a−b2=2a2+2b2=2a2+2b2 6.2DasVektorprodukt √1.vertikaleKraft:M1=5,43Nm≈9,35Nm; ⎛⎞ 2.a)
0 ⎜⎝0⎟⎠ −
2 ⎛⎞ b) −
1 ⎜⎝3⎟⎠
2 20◦zurVertikalen:M2≈10,64Nm ⎛ ⎞ c) −30 d) ⎜⎝12⎟⎠ 16 ⎛⎞
8 ⎜⎝2⎟⎠ −
1 3.DieVektorena,bweisenindiegleicheoderingenauentgegengesetzteRichtungenodermindestens einerderbeidenVektorenistderNullvektor0. 4.t=
1 √Flächeninhalt:133 √5.a)23≈3,464 √√√√ b) 62 + 2+ 142 + 3≈6,242 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ 7.b)
0 0 0,16F 40Nm=F·⎜⎝−35⎟⎠×⎜⎝−0,2⎟⎠=⎜⎝0⎟⎠;darausergibtsichF=250N 45
0 0 6.3DasSpatprodukt1.3 596 ⎛⎞
2. a) −→ −→ −→ −→ 3⎜⎟ AB=DC=EF=HG=⎝−3⎠
1 ⎛⎞ −→ −→ −→ −→ 1⎜⎟ AE=BF=CG=DH=⎝2⎠
1 b)14 √4.b)t=1±
2 5. a) 12 b)16 ⎛⎞−→−→−→−→⎜−2⎟AD=BC=EH=FG=⎝3⎠ −
2 7.2ParameterdarstellungvonGeraden 1.a)x=1+λ
4 3
1 b)x=3+λ−
2 0
1 c)x=λ2−12 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ d)
1 1
1 x=⎜⎝0⎟⎠+λ⎜⎝0⎟⎠=λ¯⎜⎝0⎟⎠
2 2
2 ⎛⎞⎛⎞ e)
1 0 x=⎜⎝0⎟⎠+λ⎜⎝0⎟⎠ ⎛⎞ f)
3 x=λ⎜⎝0⎟⎠ −
2 4 π 2.a) ⎛⎞⎛⎞
4 1 x=⎜⎝6⎟⎠+λ⎜⎝1⎟⎠
2 1 SchnittpunktemitdenKoordinatenebenen:(0|2|−2),(−2|0|−4),(2|4|0)⎛⎞⎛⎞ b)
4 −
2 x=⎜⎝3⎟⎠+λ⎜⎝−2⎟⎠ −
1 0 SchnittpunktemitdenKoordinatenebenen:(0|−1|−1),(1|0|−1), keinSchnittpunktmitder(x,y)-Ebene ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞ c)
1 −
3 1 x=⎜⎝−2⎟⎠+λ⎜⎝6⎟⎠=λ¯⎜⎝−2⎟⎠
4 −12
4 SchnittpunktmitallendreiKoordinatenebenen:(0|0|0)
3.DieGeradensindparallel,wenndiebeidenRichtungsvektorenrundsVielfachevoneinandersind.Istzudemq−peinVielfacheseinesunddamitauchdesanderenRichtungsvektors,sinddieGeradenidentisch. 4.a)wahr b)falsch c)wahr 5.a)Gerade b)keineGerade c)keineGerade d)Gerade 597
6.ParameterdarstellungeineraffinenFunktiony=a0+a1x:x=0+λ
1 a0 a1 EineParameterdarstellungx=p+λr=p1+λr1lässtsichineineaffineFunktionum- p2 r2 formen,wennrnichtparallelzury-Achseist,alsowennr1=
0.DiezugehörigeaffineFunktionlautet danny=p2−rr21p1+rr21x. 7.3ParameterdarstellungvonEbenen 1.a) ⎛⎞⎛⎞⎛⎞
2 0
1 x=⎜⎝0⎟⎠+λ⎜⎝3⎟⎠+μ⎜⎝1⎟⎠
1 3 −
1 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ b)
1 1 −
1 x=⎜⎝0⎟⎠+λ⎜⎝−3⎟⎠+μ⎜⎝−2⎟⎠ −
1 2
0 ⎛⎞⎛⎞ c)
1 0 x=λ⎜⎝0⎟⎠+μ⎜⎝0⎟⎠
0 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ d)
0 1 −π x=⎜⎝17⎟⎠+λ⎜⎝−33⎟⎠+μ⎜⎝−17⎟⎠ √π −√2−2√π 2−√π
3 3.a)DieGeradegistparallelzurEbeneε,wennsichderRichtungsvektoraderGeradenausden Richtungsvektorenrundslinearkombinierenlässt.FührtzusätzlichderOrtsvektorqzueinemPunktderEbeneε,liegtdieGeradeginderEbeneε. b)DieEbeneε2istparallelzurEbeneε1,wennsichdieRichtungsvektorr2,s2derEbeneε2ausdenRichtungsvektorenr1unds1derEbeneε1linearkombinierenlassen.FührtzusätzlichderOrtsvektorp2zueinemPunktderEbeneε1,sosinddiebeidenEbenenε
1,ε2identisch. 4.a)Ebene b)keineEbene c)Ebene 7.4HyperebeneninGleichungsform 1.a)x−2y=−
2 b)4x+y=
9 c)x=
1 2.a)x=0+λ
1 −
3 1 d)x=−1+λ
0 0
1 b)x=0+λ
1 13 −23 d)6x−y=4 c)x=λ13
4 598
3.ParameterdarstellungenderGeradengundh: b=0: g:x=0+λ
1 cb −ab h:x=0+λ
1 db −ab b=0: g:x= ca +λ
0 0
1 h:x= da +λ
0 0
1 InbeidenFällensinddieRichtungsvektorengleich,d.h.dieGeradensindparallel. 4.a)2x−2y−z=−
4, ⎛⎞⎛⎞⎛⎞
0 1
0 x=⎜⎝0⎟⎠+λ⎜⎝0⎟⎠+μ⎜⎝1⎟⎠
4 2 −
2 b)2x−2y+z=
0, ⎛⎞⎛⎞
1 0 x=λ⎜⎝0⎟⎠+μ⎜⎝1⎟⎠ −
2 2 ⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞ c)2x+3y−5z=
8,
0 1
0 x=⎜⎝0⎟⎠+λ⎜⎝0⎟⎠+μ⎜⎝1⎟⎠ −85 25 35 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ d)y=−
3,
0 1
0 x=⎜⎝−3⎟⎠+λ⎜⎝0⎟⎠+μ⎜⎝0⎟⎠
0 0
1 5.b)PQR:z=0QRS:15x+6y+8z=24 PQS:x+5y−z=−
3 PRS:4x−3y−4z=−12 7.5Schnittprobleme 1.a)(4|−1) b)(−2|−1) c)(−1|3)
2.(6|4|3) 3.parallelfürc=2,einSchnittpunktfürc=0,ansonstenwindschief;dieGeradensindnieidentisch 4.a)Punkt(−3|−2|5)b)keinSchnittpunktc)Punkt(5|−3|9)d)Punkt(−4|−1|1) 5.a) ⎛⎞⎛⎞
0 0 x=⎜⎝8⎟⎠+λ⎜⎝−5⎟⎠, −
2 5 ⎛⎞⎛⎞ b)
0 0 x=⎜⎝−3⎟⎠+λ⎜⎝3⎟⎠,
0 1 ⎛⎞⎛⎞
1 5 x=⎜⎝0⎟⎠+μ⎜⎝0⎟⎠,
6 0 ⎛⎞⎛⎞
4 −
4 x=⎜⎝0⎟⎠+λ⎜⎝0⎟⎠,
0 1 ⎛ ⎞⎛⎞ −11
5 x=⎜⎝6⎟⎠+μ⎜⎝0⎟⎠
0 0 ⎛⎞⎛⎞ 4⎜⎟
4 ⎜3⎟ x=⎝0⎠+λ⎝1⎠
0 0 599 6.a) ⎛ ⎞⎛⎞
2 1 x=⎜⎝4−h⎟⎠+λ⎜⎝−1⎟⎠ h
0 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎜p1⎟⎜r1⎟⎜s1⎟b)InderDarstellungderEbenex=⎝p2⎠+λ⎝r2⎠+μ⎝s2⎠könnenwirohneEinschrän- p3 r3 s3 kungs3=0annehmen(ansonstenVertauschungderbeidenRichtungsvektoren).AlsSchnittgerade mitderEbenez=hergibtsich ⎛ ⎞⎛ ⎞ − s1r3s 1⎜p1s3−s1p3+s1h⎟ r1⎜ 3 sr ⎟ x=⎝p2s3−s2p3+s2h⎠+λ⎝r2−23⎠. s3 s3 h
0 InsbesonderesinddieRichtungsvektorenalldieserGeradenidentisch,d.h.dieHöhenliniensindparallel. 7.6Abstandsberechnungen 1.a)√
1 b)
2 √ 32 10 2.b)AvonBC:√51; 89 BvonAC:√51; 53 c)Höhenschnittpunkt:25510|25210 c)
2 √
C von AB: 5110
2 d)
7 3.2Möglichkeiten: x=−2+λ
1 5 −136 undx=−2+λ
1 5 −87 4.a)24 b)
6 c)
6 √5.43 √
6.Abstand:14
7.Abstand:
2 ⎛ ⎞⎛ ⎞ 275 ⎜7⎟ ⎜−47⎟ Gemeinlot:x=⎝ 827 ⎠+λ⎝ 67 ⎠ 39 12
7 7 8.dmin≈0,067m,d.h.dergeforderteMindestabstandwirdnichteingehalten 7.7Winkelberechnungen 1.a)π4=∧45◦b)≈0,927=∧53,1◦c)π2=∧90◦d)≈0,306=∧17,5◦e)0=∧0◦ 2.a)π2=∧90◦ b)≈0,752=∧43,1◦ c)0=∧0◦
3.FußpunktederSeile:F1(30|0|0),F2(−11,34|19,64|−19,64),F3(−11,34|−19,64|19,64)WinkelzumSendemast:ϕ1=0,245=∧14,0◦,ϕ2=0,161=∧9,2◦,ϕ3=0,222=∧12,7◦WinkelzurGeländeebene:ψ1=0,756=∧43,3◦,ψ2=0,643=∧36,9◦,ψ3=0,970=∧55,6◦ 600 4.4Möglichkeiten,diedurcheinejeweiligeRotationumπ2umdiez-AchseausderEbene ⎛⎞⎛⎞
1 0 x=λ⎜⎝0⎟⎠+μ⎜⎝1⎟⎠bzw.x+y+z=
0 −
1 −
1 ehen.DerWinkelzudenKoordinatenebenenbeträgtϕ=os√1≈0,955=∧54,7◦.
3 5.b)π3=∧60◦ c)≈0,955=∧54,7◦ d)os13≈1,231=∧70,5◦ 7.8KreisundKugel1.(x−2)2+(y−3)2=25 PliegtaufdemKreis,Qnicht. 2.a)2Schnittpunkte b)1Berührpunkt c)keineSchnittpunkte
3.Treffpunkt:(10,3|51,2)
4.(x−1)2+(y−3)2+(z+1)2=
3 √Radiusr=
3 Berührpunkt(2|2|−2) 5.a)(4|3|2),(0|−1|4)
6.Ab66,5◦nördlicherBreite b)(4|2|−9),(−3|10|6) 8.2MatrizenadditionundMatrizenmultiplikation 1.a) ⎛ ⎞ 12−618 ⎜⎜−390⎟⎟ ⎜⎝63−3⎟⎠ ⎛ ⎞ b) −106−16 ⎜⎜−1−112⎟⎟ ⎜⎝0−1−1⎟⎠ 0−915 ⎛ ⎞ d) 6−
1 ⎜⎜−52⎟⎟ ⎜⎝7−5⎟⎠ 143−5e) −16−614 41−18 ⎛ ⎞ c) 30−
8 ⎜⎜−711⎟⎟ ⎜⎝5−2⎟⎠ 13−
4 ⎛ ⎞ f) 84−23 ⎜⎜−1631⎟⎟ ⎜⎝8−1⎟⎠ −26 g) −3028 h) 732−424
2.AB=−1001 BA= −cos2α+sin2α2cosαsinα 2cosαsinα−sin2α+cos2α Gleichheitfürα=kπ,k∈
Z ⎛ ⎞ 3.a) 0,600,100,200,10 ⎜⎜0,100,750,100,10⎟⎟ ⎜⎝0,100,100,600,10⎟⎠ 0,200,050,100,70 NacheinerWoche:S1:25%,S2:26,25%,S3:22,5%,S4:26,25%NachzweiWochen:S1:24,75%,S2:27,06%,S3:21,25%,S4:26,94%b)S1:24,00%,S2:28,57%,S3:20,00%,S4:27,43% c)S1:18,83%,S2:22,42%,S3:15,70%,S4:43,05% 601 8.3InvertierenvonMatrizen
1.A−1=−21 32 −12 ⎛ 21 ⎞
1 C−1=⎜⎝−313433−323⎟⎠ −13 23 −13
2.(x1,x2,x3)=(
1,−2,3) √
1 3 B−1= √22 − 32 12 ⎛ ⎞ 23 −16−13−12 D−
1 = ⎜⎜⎜ −133 116 23 12⎟⎟⎟ ⎝15−121−2−52⎠ 7−52−1−32 8.4Koordinatentransformation 1.a)b)c) √ x=√12x−23y y 23x+12y √ x=−12√x−23y+
1 y 23x−12y √ x= 23x+√12y+
2 y −12x+23y+
4 d) x=−y+
1 y x−
1 2.b) x =
2 cos πt10 +
5 y
2 sin πt10 +
3 ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
3. x
1 0
0 x ⎜⎝y⎟⎠=⎜⎝0cosϕ−sinϕ⎟⎠⎜⎝y⎟⎠ z 0sinϕcosϕ z √ x=12√x+23y y − 32 x + 12 y √ x=−√12x+23y+√12 y − 32 x − 12 y + 32 √ √ x=23x−√12y+2−√
3 y 12x+23y−1−23 x=y+
1 y −x+
1 ⎛⎞⎛ x
1 ⎜⎝y⎟⎠=⎜⎝
0 z
0 0cosϕ−sinϕ ⎞⎛⎞
0 x sinϕ⎟⎠⎜⎝y⎟⎠ cosϕ z 8.5Abbildungen √ 1.a) x = 1√
2 − 32 x b) y
3 1 y
2 2 c)x=20 y 02 x+
1 d) y −
5 √ √ e) x=−√22−√22 y − 22 22 x,f)y Reihenfolgedarfnichtvertauschtwerden x=01 y −10 x+
1 y
5 x=13 y 01 x+
3 y
0 x=0−
1 y −10 x+
1 y
1 2.Verschiebung,DrehungundnochmaligeVerschiebung x= 3455 y −45 35 x+−
4 y
4 602 ⎛⎞⎛ 3.a) x −10 ⎜⎝y⎟⎠=⎜⎝01 ⎞⎛⎞
0 x 0⎟⎠⎜⎝y⎟⎠ z 00−
1 z ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞ b) x −10 ⎜⎝y⎟⎠=⎜⎝0−
1 0 x 0⎟⎠⎜⎝y⎟⎠ z 00−
1 z ⎛⎞⎛ √⎞⎛⎞⎛ √⎞ c) x ⎜⎟⎜ 14 −34 −√46⎟⎜x⎟ ⎜ 32 + 6√
4 ⎟ ⎝y⎠=⎝−√34 1√
4 − 64 ⎠⎝ y ⎠+⎝ 32 + 6√
4 ⎠ z 64 64 −12 z 32 − 62 ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞ d) x ⎜⎝y⎟⎠=⎜⎝ 00−
1 x
2 010⎟⎠⎜⎝y⎟⎠+⎜⎝0⎟⎠ z −100 z
2 8.6Determinanten 1.a)
7 b)
3 c)17 d)70 e)−42 f)38 3.det(A)·detA−1=detAA−1=detE=
1 4.DieDeterminantenhabenalledenWertnull.
6. a) x1 = −13, x2 = 73 d) x1 = 34, x2 = 32, x3 = 14 b)x1=172,x2=−27 c)x1=1,x2=1,x3=
2 e)x1=5,x2=5,x3=−1,x4=
4 2
2 7.1α11α12detAα21α22 α22−α12=1α11α22−α12α21
0 =
E −α21α11 detA
0 −α21α12+α22α11 9.2EigenwerteundEigenvektoren 1.a)λ1=2:
1,λ2=−4:
1 0 −
6 b)λ1=2:−
1,λ2=−6:
1 1
3 c)λ1=12:−12,λ2=−3:−11 ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ d) −
2 0
1 λ1=7:⎜⎝1⎟⎠,⎜⎝0⎟⎠,λ2=2:⎜⎝2⎟⎠
0 1 ⎛⎞⎛⎞ 0⎛⎞ e)
2 2 −
3 λ1=2:⎜⎝1⎟⎠,⎜⎝0⎟⎠,λ2=1:⎜⎝1⎟⎠
0 1 ⎛⎞ −3⎛⎞ f)
1 1 λ1=1:⎜⎝0⎟⎠,λ2=2:⎜⎝1⎟⎠
2 2 603 2.a) 1α,λ=1,
1 01
0 10,λ=1,
0 α
1 1 EigenvektorgibtdieScherungsrichtungan b)11 c)λ=1isteinzigerEigenwert.DiezugehörigenEigenvektorenspanneneinenzweidimensionaleEbeneauf,entlangwelchergeschertwird.
3.λ1/2=cosϕ±cos2ϕ−
1 1.Fall:ϕ=0:λ=1:1,
0 0
1 2.Fall:ϕ=π:λ=−1:1,
0 0
1 √ 4.größteUnsicherheit:25LEin√1;kleinsteUnsicherheit:10LEin3 −
3 1 ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
5.
1 e1=⎜⎝−2⎟⎠zuλ1=0; √
3 2 −
3 e2=⎜⎝1⎟⎠,e3=⎜⎝6⎟⎠zuλ2=
8 √
0 ⎛53⎞ 000AbbildungsmatrixmitAchseninRichtungderei:⎜⎝080⎟⎠ 008 ⎛⎞⎛
6. F1 −2DD ⎜⎝F2⎟⎠=⎜⎝D−2D ⎞⎛⎞0⎟⎜x1⎟D⎠⎝x2⎠ F30D−2D⎛x3⎞−1
1.Eigenwert:λ1=−2D,Eigenvektor⎜⎝0⎟⎠
1 Die1.und3.Masseschwingenentgegengesetz⎛t,die2.⎞MasseistinRuhe. √ ⎜√1⎟
2.Eigenwert:λ2=(−2+2)
D,Eigenvektor⎝2⎠ 1√Die1.und3.Masseschwingengleich,die2.M⎛asseum⎞2stärkerindiegleicheRichtung. √ ⎜√1⎟
3.Eigenwert:λ3=(−2−2)
D,Eigenvektor⎝−2⎠ 1√Die1.und3.Masseschwingengleich,die2.Masseum2stärkerindieentgegengesetzteRichtung. 10.1Folgen
1.DasnächsteFolgengliedergibtsichimmeralsSummederbeidenvorangegangenenFolgenglieder:(an)=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,...)
2. (an)= 1√
3,
3 √
3, 32 √
3, 33√3,... = 3n√
3 4 42 43 44 4n+
1 604 10.2DerGrenzwertbegriffbeiFolgen 1.a)falsch b)richtig c)falsch d)falsch e)richtig
2. a) 35 b)
0 c)−π
2 3. pn=nΔVVSp0; limpn=∞ n→∞ d)
6 e) 6561256 f)
8 g)−∞ h)
0 4. a) 35 b)
4 c)
1 d)−23 5.b)DerFlächeninhaltdern-tenFigurbeträgtAn=89n.DerFlächeninhaltgehtnachAufgabenteil(a)gegennull:limAn=
0. n→∞ 10.3DieEuler’scheZahle 1.a)e2 b)e c) 1e
2.NacheinemJahristderSchuldenstand(ohneTilgung)beiTypAaufdas1,06700-Fache,beiTypBaufdas1,06765-FacheundbeiTypCaufdas1,06716-Facheangewachsen.TypAistalsodiebesteAlternative. 10.4DerGrenzwertbegriffbeiFunktionen 2.a)−
3 b)
2 √c)
2 d)−14 3.limx2+x−2(=a)lim(x−1)(x+2)(=b)lim(t+1)2+(t+1)−2=3 x→1x2+2x−3x→1(x−1)(x+3)t→0(t+1)2+2(t+1)−34 4.a)
1 b)
2 c)
1 d)−
1 5.b)limu1=−v1+2v2 m1→0 limu1=v1 m1→∞ limu2=v2 m1→0 limu2=2v1−v2 m1→∞ limu1=v1 m2→0 limu1=−v1+2v2 m2→∞ limu2=2v1−v2 m2→0 limu2=v2 m2→∞ 10.5Stetigkeit 1.a)stetig b)stetig c)nichtstetig 2.a)limf(x)=limf(x)=f
(1)=2,alsostetig x→1− x→1+ b)limf(x)=limf(x)=f
(0)=0,alsostetig x→0− x→0+ c)limf(x)=0=2=limf(x)=f
(1),alsonichtstetig x→1− x→1+
3.F(r)iststetig. d)stetig 11.1DerAbleitungsbegriff 1.a)3x20 b) − 2
2 x0 c)(1−1x0)
2 d)√1 1+2x0 2.a)f
(0)=
0 b)fistnichtdifferenzierbaranderStellex0=
2 c)f
(0)=
1 605
3. lim |Δx|−|0|Δx =
1 = −
1 = lim |ΔxΔ|−x|0|,d.h.dieeinseitigenGrenzwertederSekantensteigungen Δx→0+ Δx→0− stimmennichtüberein.DieAbleitunganderStellex0=0existiertnicht. 4.v(t)=v0−gt hmax=hvg0=2vg20 vAufprall=h2vg0=−v0
5.A(t)=π·(0,6t)2=0,36πt2 dAdt = 0,72πt √
6. c) Zeitpunkt,zudemdiezweiteLichtschrankedurchquertwird:t1= 20−√ 400−0,5aa Zeitpunkt, zu dem die dritteLichtschranke durchquert wird:t2 = 20− 400−aa SchnellstegemesseneGeschwindigkeit:v1=0,2t15m Langsamste gemessene Geschwindigkeit: v2 = 0,25mt−t
2 1 =
1, 03v2. Daraus ergibt sich a ≈ 44,
6 m
2 . FürdieUngültigkeitderMessungmussgelten:v1 s
5. dvdr = − pA−pE2η
L r 11.2Ableitungsregeln
1.Esisttanϕ=f(x)mitf
(0)=2f
(1)=10f
(2)=54f
(3)=134
2.Durchbiegung:f(L)=−8qEL4I Steigung:tanϕ=f(L)=−6qEL3I 3.2arctan√1≈1,231=∧70,5◦
2 6.a)5x√x 2 d)(21x++33xx)22g)−√a2x−x2j)1√+tan23x 3tan23x m)esinxcosx p)2√x(1x+1) s)
0 b)lnx+
1 e) − √x ( 1√1+ x )
2 h)42√x+x33√1+3x2 k)√x4+10+√2x4x x4+10 n) 1xlnxln(lnx) q)− x
3 (a2+x2)
2 t) 1cosx c)2xsinxcosx+x2(cos2x−sin2x) f)2√33x+2i)√cos2x 1sin2√xl)2sinxo)−1 x21−x12 r)√1 1√−x2 u)x√axb+b 7.a)axlna b) 1xlna c)xx(lnx+1) d)
0 8.v(t)=v0tanhvg0t9.I(t)=−RQC0e−RtC a(t)=g1−tanh2vg0t limv(t)=v0 t→∞ 606 12.1Monotonieuntersuchungen
1. yf f xff 2.a)strengmonotonwachsendin]−∞,3[,strengmonotonfallendin]
3,∞[ b)strengmonotonwachsendin]
0,∞[,strengmonotonfallendin]−∞,0[ c) strengmonotonwachsendin − 76 π + 2kπ, π
6 + 2kπ (k∈Z), strengmonotonfallendin π
6 + 2kπ, 56 π + 2kπ (k∈Z) d)strengmonotonwachsendin]−∞,0[,strengmonotonfallendin]
0,∞[ e)strengmonotonwachsendimganzenDefinitionsbereichR\{0} f)strengmonotonwachsendin]0,1[,strengmonotonfallendin]−∞,0[und]
1,∞[ 12.2Extremwertprobleme 1.a)lokales,nichtabsolutesMaximumbei(−2|5);lokales,nichtabsolutesMinimumbei(0|1) b) lokales,nichtabsolutesMaximumbei −3| 6e3 ;absolutesMinimumbei(1|−2e) c)absolutesMaximumbei√e|
1 4 d)lokales,nichtabsolutesMinimumbei12|5;lokales,nichtabsolutesMaximumbei8|54 e)lokale,nichtabsoluteMaximabei2kπ|e−2kπ(k∈Z);lokale,nichtabsoluteMinimabei(2k+1)π|−e−(2k+1)π(k∈Z)√ f)absolutesMaximumbei45|25 lokales,nichtabsolutesRandminimumbei(0|4);absolutesRandminimumbei(4|2) 2.a)maximalesProdukt:6·6=36 b)minimaleSummederQuadrate:62+62=72
3. a) Quadrat mit Seitenlänge U4 ; zugehöriger Flächeninhalt: Amax = U216 √ √ b)QuadratmitSeitenlängeA;zugehörigerUmfang:Umin=4A
4.MaximalesFassungsvermögenbeimaximalemQuerschnittA:ϕmax=π
6,Amax=34√3b2 √ √
5.Breite:a=534cm≈7,9cm,Höhe:h=1034cm≈15,9cm 607
6.OptimalerWinkelα=πmitdemmaximalenFlächeninhaltA=3√
3.VonderFigurwirddann √
6 4 332π ≈ 82,7% der Halbkreisfläche ausgefüllt. Absolutes Maximum.
7.R=Ri
8. b) Der Geländewagen muss nach 40−√10km≈34,226km
3 unter dem Winkel π
3 von der Straße abbiegen. n
9. x¯ = 1n ∑ xk k=
1 12.3DerRegenbogen √ √ a2+x2+b2+(d−x)
2 1.BenötigteLaufzeit:T(x)=c0c dT=√x−√d−x=sinα−sinβ=!

0 dxc0a2+x2cb2+(d−x)
2 c0 c Darausergibtsich sinαsinβ = c0c = c0 c0 =n. n DadieLaufzeitnichtnegativunddamitnichtbeliebigklein werdenkann,fürx→±∞aberbeliebiggroßwird,mussdas MinimumderLaufzeitexistieren.WirhabennureineMög- lichkeitfürdasMinimum,nämlichdiegefundenestationäre Stelle.
A αa αd−x xββb
B 2.b)EshandeltsichumeinlokalesMinimumdesUmlenkungswinkelsϕ.DerSekundärregenbogen hatgegenüberdemPrimärregenbogendieumgekehrteFarbreihenfolgeunderscheintuntereinemWinkelvon50,4◦(rot)bis53,7◦(violett)zurSonneneinfallsrichtung. 12.4WendepunkteundKurvendiskussion 2.a)DefinitionsbereichA=R;f(−x)=−f(x),d.h.Punktsym√metriezumUrsprung,keinePeriodi- zität;limf(x)=∞,limf(x)=−∞;Nullstellen0,±23;f
(0)=0;lokalesMaximumbei x→∞ x→−∞ (−2|16),lokalesMinimumbei(2|−16);WendepunktanderStelle(0|0)mitderSteigung−12 b)DefinitionsbereichA=R\{3};keineSymmetrie,keinePeriodizität;limf(x)=0,limf(x)= x→∞ x→−∞ 0;Nullstelle32;f
(0)=−1;lokalesMinimumbei(0|−1);WendepunktanderStelle − 32 | − 89 mit der Steigung − 881 c)DefinitionsbereichA=R;f(−x)=−f(x),d.h.PunktsymmetriezumUrsprung,Periode2π; limf(x)undlimf(x)existierennicht;Nullstellenkπ;f
(0)=0;lokaleMaximaandenStellen x→∞ √x→−∞ √ π
3 +2kπ|32 3,lokaleMinimaandenStellen 53 π + 2kπ| − 32 3;WendepunkteandenStel- √ len(2kπ|0)mitderSteigung4,((2k+1)π|0)mitderSteigung0,os−14+2kπ|3815 √ mit der Steigung − 94 , −os −14 + 2kπ| − 38 15 mitderSteigung−94(jeweilsk∈Z) 12.5RegelvonBernoulli-del’Hospital
1. a) 34 b)
0 c) 12 d) ab 2.a)
2 b)
2 c)π e)
0 f)
1 g)
0 h) 12 i)−12 608
4. lim AD = lim 12 ( 1−c o s ϕ ) s in ϕ =
3 ϕ→0AS ϕ→
0 12 ϕ− 12 sin ϕ 12.6DasNewton-Verfahren1.a)0,589754512301b)0,739085133215c)2,055967396713d)1,2156550024673.0,121m=12,1cm(höhereGenauigkeitmachtaufgrundderAufgabenstellungkeinenSinn) 13.1StammfunktionenundunbestimmtesIntegral 1.tmax≈1,5shmax≈11,47m 2.a)x2+
C d)
2 ln |x| + 12 x2 +
C √ g)3ln|x|+93x+
C b) 13 x3 + 4x +
C e) − 43 x 32 +
C h)ex+a+
C 3. b) F(x) = x2 − 1x − 32 c) 14 x4 − 6x2 + 4x +
C f)25x52−23x32+
C i) 14 x4 +
5 sin x +
2 arctan x +
C 13.2Integrationsmethoden 1.a)xsinx+cosx+
C c)23x32lnx−49x32+
C e) 12 x − 12 sin x cos x +
C 2. a) − 13 cos x3 +
C d)sin(lnx)+
C b)x3coshx−3x2sinhx+8xcoshx−8sinhx+
C d) 12 sin2 x +
C f)x(lnx)2−2xlnx+2x+
C √b)23x2+2+
C c)−2cos√x+
C e)ex−ln(ex+1)+
C f)arcsin+
C 3.a)−ln|x|+2ln|x−2|+
C c) 12 x2 + 12 ln |x−1| + 12 ln |x+1| +
C e) ln|x|−ln|x+1|+ 1x+
1 + 12(x+1)
2 +
C 4. a) x arctan x − 12 ln(1+x2) +
C b)sin2((mm−−nn))x−sin2((mm++nn))x+
C c) − cot x +
2 tan x + 13 tan3 x +
C b) ln |x−1| − 2x−
1 +
C d)3ln|x−1|+5ln|x+1|−2ln|x−3|+
C f)
3 arctan x + ln(x2 +9) − arctan x3 +
C 14.1FlächeninhaltsproblemundDefinitiondesbestimmtenIntegrals 1.a)b) 31 f (x)dx =
4 10 f (x)dx =
1 50 f (x)dx =
1 + π
2 10 f (x)dx =
1 31 f (x)dx = − π
2 52 f(x)dx = 34π 53 f (x)dx =
3 53 f (x)dx = π
2. 181259 m ≈
2 014 m 50 f (x)dx =
8 51 f(x)dx = π
2 609 14.2HauptsatzderDifferenzial-undIntegralrechnung 1.a)24f)
1 b) 43 √ g)−2+22 c) 565 h)−ln2
2. a) v(10s) = 30 ms = 108 kmh b)s(10s)=150ms(10s)−s(5s)=112,5s √
3. a) 43
3 √ b) 12 − 83
6 √ c)
4 3 − 43 √
4. 24 ≈ 35% 14.3UneigentlicheIntegrale
1. a) 12 b)e 2.a)
6 b)∞ c) 12 c)−∞ d)2d)−∞ d) 263 i)1−ln2 e) 34 +
4 ln
2 d)5ln5−2ln2−
3 e) 12 f)π82 √e)42 √f)4+23 15.2Trapezregel
1. a) 10 cos x2 dx≈0,904524238 c) 62 exx dx ≈ 81,035527786 15.3Kepler-FassregelundSimpson-Regel
3. 10 x2 cos x3 dx = 13 sin1 ≈ 0,280490328 16.1Flächenberechnungen
1. a) 643 2.a)π
2 3.a)v(t)30 b) 85 b) π2π+
1 c) 13 c)π
2 b) 42 ln1√xdx ≈ 1,922421315 d)00,81−x4dx≈0,765035485 d)π42d)32πv2(t)v1(t) e) 13 √ f) 163
2 101540b)Auto1:s1=8325m Auto2:s2=8996m 16.2VoluminavonRotationskörpern
1. a) π h22 b)π22 c)6π 2.43πab2
3. V=πl d 2 dx+π
R √R2−x22dx=π 02 R−
L d42l+RL2−L33 270284300t 610
4. Volumenformel:
V =
4 ba f 2(x)dx Pyramide:VP=
4 h0 2ahx2dx=44ah22 h0 x2 dx = a2h2 h33 = a2h3 78 des Volumens der Pyramide liegen in der unteren Hälfte 16.3PhysikalischeAnwendungen
1. W= s00 D·sds = 12Ds20
2. W= ∞
R G Mms2 ds = GMRm ≈ 62,6·106 Nm
3.F=ρg050(500−4h)hdh≈4,496·109N
4. a) h2 auf der Rotationsachse c) 1156 h auf der Rotationsachse b) h4 auf der Symmetrieachse d) 38 r über dem Kugelmittelpunkt 16.4Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. a) c = 14 b)p(1,75≤x≤2)≈41,4% c)μ=1,6Stunden 2.b)WahrscheinlichkeitfüreineAbweichungbismaximal5%:p(665≤x≤735)≈83,8%BenötigteStandardabweichungfür99%:σ99%≈13,6ml 17.1DerReihenbegriff 1.a)
2 b)
6 c) 35 d) 98 √e)2+
2 f)−13 g)−1310 h)−516
3.Gesamtweglänge:9,90m10·0.98k=0,1:Mitder228.HalbschwingungistdieAuslenkungunter1mm.
4.FürZenonwaresundenkbar,dasseineSummemitunendlichvielenpositivenSummandenendlichbleibt.ZurückgelegteWeglänge:s=∑∞112k=1121Stadien k=
0 ∞
5. a) 0,1= ∑ 110k = 19 k=
1 ∞ c) 0,15= ∑ 15 · 1100k = 533 k=1∞ e)
1, 6123 =
1,
6 + 110 · ∑ 123· 11000k = 53693330 k=
1 ∞ b)0,9=∑9·110k=
1 k=1∞ d) −
0, 0031 = − 1100 · ∑ 31· 1100k = − 319900 k=
1 6.DieReihe1−1+1−1+1−1+1−1+−...istnichtkonvergent. 17.2Konvergenzkriterien 1.a)konvergente)divergent b)konvergentf)konvergent c)divergent d)konvergent
2. lim k2+3(10k+5)
2 = 1100 =
0, d.h.die Summanden bilden betragsmäßig keine Nullfolge.Nach dem Diver- k→∞ genzkriteriumliegtDivergenzvor. 611 3.a)divergent b)konvergent
4. a) lim ak+1a =12,alsokonvergent k→∞k c) lim ak+1a =0,alsokonvergent k→∞k 5.a)limk|ak|=0,alsokonvergent k→∞ c)limk|ak|=12,alsokonvergent k→∞ 7.a)konvergente)konvergent b)divergentf)konvergent c)divergent d)konvergent b) lim ak+1a =3,alsodivergent k→∞k d) lim ak+1a =1e,alsokonvergent k→∞k b)limk|ak|=2,alsodivergent k→∞ d)limk|ak|=0,alsokonvergent k→∞ c)konvergentg)konvergent d)divergenth)konvergent 18.1DerBegriffderPotenzreihe
1. p5(x) = x − 16 x3 + 1120 x5 sin(0,3)≈0,295520207
2. a)]−1,1[ b) − 12 , 12 c)[−1,1[d){0}e)
R p5(0,3)=0,295520250 f) − 23 , 23 g) 12 , 32 h)]−6,0[ 18.2PotenzreihenundFunktionen–DerSatzvonTaylor
1. a) ∞ ∑ (−1)kx2k= ∞ ∑ −x2 k,alsogeometrischeReihe ∞ ∑ qkmitq=−x2. k=
0 k=
0 k=
0 Konvergenzbereich:B=]−1,1[c)arctanx=x−x33+x55−x77+−...=∑∞(−1)kx22kk++11 k=
0 2. a)
1 − 12 x2 + 124 x4 c)
1 + 12 (x−1) − 18 (x−1)
2 + 116 (x−1)
3 − 5128 (x−1)
4 b)
1 + x2 + 12 x4 3.a)T4(x)=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 b)DasTaylor-Polynomk-terOrdnungzueinemPolynomf(x)=a0+a1x+a2x2+...anxnlautet Tk(x)= a0+a1x+a2x2+...akxkfürk≤na0+a1x+a2x2+...anxnfürk>n. DieTaylor-ReihestimmtmitdemPolynomf(x)überein. 5.a) y1
1 x b) f
(0)=lim f(0+Δx)−f
(0)= lim − e 1(Δx)
2 −
0 t==Δ1x lim t=
0 Δx→
0 Δx Δx→0Δx t→±∞et2 −
1 c) f
(0)=lim f(0+Δx)−f
(0)=lim 2(Δx)
3 e =(Δx)
2 −
0 t = 1Δx lim 2t4=
0 usw. Δx→
0 Δx Δx→
0 Δx t→±∞et2 d)DasTaylor-PolynomTn(x)=∑nf(kk)!
(0)xkverschwindetidentisch.Damitiststets k=
0 limRn+1(x)=limf(x)−Tn(x)=f(x)=0fürx=
0. n→∞ n→∞ 612 18.3WichtigePotenzreihenentwicklungen 1.e=e1=∑∞1kk!
=∑∞k1!
k=
0 k=
0 ∑∞(−k1!
)k=e−1=1e k=
0 ∞
4. lnx= ∑ (−1)k−
1 1k (x−1)k = (x−1) − 12 (x−1)
2 + 13 (x−1)
3 + 14 (x−1)
4 + −... k=
1 √x=∑∞ 12 (x−1)k=1+
1 (x−1)−
1 (x−1)2+1·3(x−1)3−1·3·5(x−1)4+−... k=1k 1!
·21 2!
·22 3!
·23 4!
·24 Konvergenzbereichistjeweils]0,2] 5.a)cosx2=1−x24!
+x48!
−x61!
2+x81!
6−1x020!
+−...,Konvergenzbereich:
R b) e−x2 = 1− x21!
+ x42!
− x63!
+ x84!
− x105!
+−..., Konvergenzbereich:
R c)sin2x=2x−233x!
3+255x!
5−277x!
7+−...,Konvergenzbereich:
R d) √
1 = (
1 + x)− 12 = ∞ ∑ − 12 xk Konvergenzbereich:]−1,1] 1+x k=0k e) ln(2+x2)=ln 2(1+x22) = ln2+ln(1+x22 ) = ln2+ x22 − x42·22 + x63·23 − x84·24 +−..., √√ Konvergenzbereich:−2,
2 6.a) 1=
1 ∞ =∑ −x2 k= ∞ ∑ (−1)kx2k=1−x2+x4−x6+−..., 1+x21−(−x2)k=
0 k=
0 Konvergenzbereich:]−1,1[ b)Integrationvon(a):arctanx=x−x33+x55−x77+−...,Konvergenzbereich:]−1,1[ 18.4Anwendungen √
2.Strategie:ZurBerechnungvonnsuchtmanzunächstdienächstkleinereQuadratzahlpunddie nächstgrößereQuadratzahlqvonn.Istn−p≤q−n,soarbeitetmanmitdemAnsatz√p 1+n−p 1
2, p q p ansonstenmit√q 1−q−n 1
2. q 3.a)−12 b)−
1 c) 12 d) 13 4.a)0,491819096 b)0,504093059 c)0,082941103
5. Ci(x) = γ + ln x − x22·2!
+ x44·4!
− x66·6!
+ x88·8!
− x1010·10!
+ −... 6.b)FR=mg·sinϕ=mg·sinsl=mg·sl−(3sl!
)3+(5sl!
)5−(7sl!
)7+−...≈mgsl ProzentualerFehler:mgmsl−g·msign·ϕsinϕ=ϕ−sinsiϕnϕ1◦:0,005%5◦:0,13%10◦:0,51% 30◦:4,7%
7. a)Wegenlimtanhx=1istfürgroßehdieGeschwindigkeitv= x→∞ gλ2π tanh 2πhλ ≈ gλ2π ·
1. b) Wegen tanh x = x − 13 x3 + 215 x3 − + . . . ist für kleine Argumente tanh x ≈ x und damit für kleine hdieGeschwindigkeitv= gλ2π tanh 2πhλ ≈ g2λπ·2λπh=√gh. 613 19.1TrigonometrischeReihen
2. ∞ ∑ 2·(1−(−1)k)sinkx= 4sinx+
4 sinx+
4 sin5x+
4 sin7x+
4 sin9x+... kπ π 3π 5π 7π 9π k=
1 DerGraphnähertsichderKurvef(x)= 1für2kπ1 c) f(x)= π + ∞ ∑ 2(−1)k−1coskx 2k=1k2π ∞ b) f(x)=π+ ∑ 2k sin kx k=
1 ∞ d) f(x)= 23 + ∑ − k 42π
2 coskx k=
1 3.a)f(x)=12+∑∞2skinπk2πcos(2kπx)+2(1−kcπosk2π)sin(2kπx) k=
1 ∞ b) f(x) = 13 + ∑ 4k2π
2 cos(kπx) k=
1 4.a)DieKoeffizientenderReihenentwicklungwerdenbeiTaylor-ReihenmitHilfedereinfachenDifferenziation,währendmanbeiFourier-ReihendieaufwendigeIntegrationbenötigt. b)DieKonvergenzerfolgtsimultanaufganzRundnichtzunächstlokalumdieEntwicklungsstelle.
5. a) f(x)= π
2 + ∞ ∑ −
1 cos(2kx) 6k=1k2 b)DieFunktionfistanderStellex=0wegenlimf(x)=limf(x)=f
(0)=0stetig.Damit x→0+ x→0− gilt0= f
(0)= π
2 + ∞ ∑ −
1 cos(2k·0)= π
2 + ∞ ∑ −
1 = π
2 − ∞ ∑
1. 6k=1k2 6k=1k2 6k=1k2
6. ∞ I(t)∼2I0+∑ −21+(−1)kI0cos(kωt) πk=
2 (k2−1)π 19.3KomplexeSchreibweisederFourier-Reihen 2.f(x)∼∑∞ckeikx=a20+∑∞(akcoskx+bksinkx)mit k−∞ k=
1 a)ck= 12 fürk=
0 ( −1)k−12kπ i für k=
0 1fürk=0ak= 0fürk=
0 bk = 1−(−1)kkπ b)ck= πfürk=
0 ik für k=
0 2πak=
0 c)ck= π
2 fürk=
0 (−k12)πk−1fürk=
0 ak= d) ck = −1+e2π2(1+k2)π (1+ki) ak = −1+e2π(1+k2)π fürk=0fürk=
0 bk = − 2k π fürk=
0 2(−k12)πk−1fürk=
0 bk = (1−e2π)k(1+k2)π bk=
0 3.I(t)∼∑∞ckeikωt=a20+∑∞akcos(kωt)+bksin(kωt)mit k=−∞ k=
1 ck=
0 1+(−1)k(1−k2)π I0 fürk=±1sonst ak=
0 fürk=
1 −
2 1+(−1)k(k2−1)π I0 für k=
1 bk=
0 614 19.4Fourier-Transformation
1. a) F(ω) = e−iaω−eiaωω i = 2sinωaω c) F(ω)= 11+iω = 1−iω1+ω
2 b) F(ω) = eiaω+e−iaω−2ω i = 2cosaωω−
1 i d)F(ω)=−e−i2ω+ω22e−iω−
1 2.Frequenzverschiebungssatz:
F eiω0tf(t) = ∞−∞ eiω0t f (t)e−iωt dt = ∞−∞ f (t)e−i(ω−ω0)t dt = F(ω −ω0) erschiebungssatz: Substitution:u=t−t0,du=dt,u(−∞)=−∞,u(∞)=∞
F f(t−t0) = ∞−∞ f (t−t0)e−iωt dt = ∞−∞ f (u)e−iω(u+t0) du = e−iωt0 =e−iωt0F(ω) ∞−∞ f (u)e−iωu du
3. F(ω)= ∞−∞ f (t)e−iωt dt = ∞−∞ f (t)(cosωt − isinωt) dt = ∞−∞ f (t)cosωt dt − i ∞−∞ f (t)sinωt dt =Fc(ω)+iFs(ω) F(ω)=Fc(ω)+iFs(ω)F(−ω)=Fc(−ω)+iFs(−ω)=Fc(ω)−iFs(ω) Addition:F(ω)+F(−ω)=2Fc(ω)Subtraktion:F(ω)−F(−ω)=2iFs(ω) 20.1FunktionenmehrererVeränderlicher 1.a)2Variable:EntfernungsundGeschwindigkeitvb)2Variable:Ortskoordinatenx,yc)1Variable:TemperaturϑFinFahrenheitd)4Variable:Lagekoordinatenx,y,Höhez,Zeitte)3Variable:Umfangn,FixkostenKfix,FertigungskostenproStückKStückf)nVariable:nLängenmessungenli,i=1...n 3.a)DasTeelichtbefindetsichimUrsprung(0,0). c)ϑ(0,0)=100◦
C ϑ(6,8)≈42,9◦
C ϑ(10,0)≈42,9◦
C d)DieTemperaturstrebtunabhängigvonderRichtunggegen20◦
C. e) KreisemitderGleichungx2+y2= ϑ 80◦C−20◦
C −
1 = 3200◦
C −40 0,025 ϑ−20◦
C ϑ(−8,2)≈49,6◦
C 4.a)R2\{(x,x)|x∈R} b)(x,y)∈R2|y>x−
1 c)(x,y)∈R2|y≥2x d)(x,y)∈R2|(|x|≥
1,|y|≤3)oder(|x|≤
1,|y|≥3) e)(x,y)∈R2|y≥−xundy=x f)R2\(x,y)∈R2|x2+y2≤22 20.2DerStetigkeitsbegriff 1.a)stetig b)stetig c)stetig d)stetig e)nichtstetig f)stetig
2.NurimFallderStetigkeitanderStelle(1,2)kannmansagen,dassf(1,2)=−3gilt.AnsonstenistkeineAussagemöglich. 615 20.3PartielleAbleitungen
1. a) ∂f∂x = −12x2y2+3y4−
3 b) ∂f∂x = √y 1−x2y2 c) ∂f∂x = 1x+y2 −2ye2xy+
3 d) ∂f∂x = cos(x−y)cos2z e) ∂f∂x =2eyz+ √x x2+y2+z2 f)∂∂xf=√yz ∂f∂y =−8x3y+12xy3 +
2 ∂f∂y = √x 1−x2y2 ∂f∂y = 2yx+y2 −2xe2xy ∂f∂y = −cos(x−y)cos2z ∂∂yf=2x√zeyz+√x2+yy2+z2 ∂f∂y = xzyz2y ∂f∂z =−2sin(x−y)sin2z ∂f∂z =2xyeyz+ √z x2+y2+z2 ∂∂zf=12x√yzlny 2.a)(x,y)=(0,0):fx(x,y)=−ex22x+yy2,fy(x,y)=1ex−2+2yy22; b)(x,y)=(−1,0):fx(x,y)=(x+1)(x3+3x2+3x+3xy2+21+3y2+4y3), ((x+1)2+y2) fy(x, y) = − 2y(3x2y+6xy+3y+y3+x3+3x2+3x+1)
2 ; ((x+1)2+y2) fx(0,0)=0,fy(0,0)=1fx(−1,0)=1,fy(−1,0)=−
2 3. a) ∂B∂
K =cαKα−1L1−α ∂B∂
L = c(1−α)KαL−α b)
K ∂B∂
K +L∂∂BL =
K ·cαKα−1L1−α +L·c(1−α)KαL−α = cαKαL1−α +c(1−α)KαL1−α =cKαL1−α=
B 4. ∂p∂m = RTV ∂p∂
T = mRV ∂p∂
V = − mRTV2
5.R=RR11+RR22,∂∂RR1=(R1+R22R2)2,maximalfürR1=0WegenderSymmetriedesProblems:∂R=R21 ∂R2(R1+R2)
2 Bei3Widerständen:R=R1R2+RR1R1R2R3+3R2R3,∂∂RR1=(R1R2+RR122RR323+R2R3)
2 BeinWiderständen:R=R1R2···RnR−11R+
2.·.·.·+RnR2R3···Rn, ∂R= R22R23···R2n ∂R1(R1R2···Rn−1+...+R2R3···Rn)
2 6.Nein.GäbeeseinederartigeFunktionf,diepartielleAbleitungfx=x+y2hat,müsstefdieGestalt f(x,y) = 12 x2 + xy2 + g(y) haben. Dann kann aber fy(x,y) = 2xy+ dgdy nicht mehr mit der gegebenen partiellenAbleitungfyübereinstimmen.
7. x·grad f =x· ∂f∂x +y· ∂f∂y +z· ∂f∂z = x2+y2+z2 ·ln yz = f(x,y,z) 20.4TotalesDifferenzial 1.a)df=ydx+xdy c)df=1+yxe−yxdx−e−yxdy e) df = − ( 1+x
2 ) 1 ot x dx b) df = y(x+y)
2 dx− x(x+y)
2 dy d)df=yxy−1dx+xylnxdy n f)df=∑ xi n dxi i=1∑x2k k=
1 2.V=πr2hdV=2πrhdr+πr2dh|dV|≤2,25πm3≈7,07m3
3.A=12bcsinα≈351,5m2|dA|≤4,3m2
4. f = gbg+b ≈ 3,2cm |df|≤0,1cm=∧3,4% 616
5.V(r,π)=43πr3 dVV=|∂∂Vrdr+V∂∂Vπdπ|≤|∂∂Vr||dr|+V|∂∂Vπ||dπ|=0,005mit|dr|=0,001r |dπ|=0,006,alsoreichensicher3Nachkommastellen.
6.Nein.DiemaximaleAbweichungderFunktionfmussnichtaneinerderbeidenStellenf(x+dx,y+dy)oderf(x−dx,y−dy),sondernkannanjederanderenStelleinnerhalbdesRechtecks(x±dx,y±dy)angenommenwerden. 7.a)dF=(4x3+2cosy)dx+(−2xsiny−√2cosycosz)dy+√2sinysinzdz b)dz=−4dx+2dy Ausdx=dy=0,1folgtdz=−0,
2 8. a) dydx = −
1 b) dydx = 12 ⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
9. x0
1 0 x=⎜⎝y0⎟⎠+λ⎜⎝0⎟⎠+μ⎜⎝1⎟⎠ z0−ac22xz00−bc22yz00 c) ∂z∂x = −2e, ∂z∂y = −e 20.5Richtungsableitung √
1. a) 218 b) 35 c) 13 d)−74 2.a) ∂f=−9,maximalerAnstieginRichtung1mitdemWert∂f √=10 ∂|1r|r5
3 ∂emax b) ∂f
1 =1123,maximalerAnstieginRichtung 01 mit dem Wert ∂f∂emax =
1 ∂|r|r c) ∂f
1 =45e,maximalerAnstieginRichtung 0e mit dem Wert e ∂∂ fe max = e ∂|r|r 3.c=√1 25 RichtungdessteilstenAnstiegs:21 4.a)≈33,5◦
C b)370◦
C c)≈−4,63◦mC d) ± 0,8−0,
6 e) In Richtung
1 |grad f | grad f = −0,6−0,
8 istderAnstiegamgrößtenmiteinemWertvon≈5,2◦mC.In derentsprechendennegativenRichtung 0,60,
8 istderTemperaturabfallamgrößtenmiteinemWert von≈−5,2◦mC.
5. Esseiene1= ab unde2= cd Einheitsvektoren.WirbestimmendieeindeutigeLösungdeslinearen Gleichungssystems ∂∂ef1=afx+bfy∂∂ef2=cfx+dfy fürdiepartiellenAbleitungenfx,fy. ImBeispiel:√
1 = 12 fx + 12√3fy −
1 = 12 fx − 12 3fy Esergibtsichfx=0,fy=√23. 617
6. a) Aus z = const. folgt mit dem totalen Differenzial dz = ∂f∂x dx+ ∂f∂y dy =
0. b)
0 = ∂f∂x dx+ ∂f∂y dy = grad f · dxdy ,d.h.dieRichtungderHöhenlinieistorthogonalzumGradienten unddamitzurRichtungdessteilstenAnstiegs. 20.6PartielleAbleitungenhöhererOrdnung 1.a)fx=−e−xcosy fy=−e−xsiny fxx=e−xcosy fxy=fyx=e−xsiny fyy=−e−xcosy fxxx=−e−xcosy fxxy=fxyx=fyxx=−e−xsiny fxyy=fyxy=fyyx=e−xcosy fyyy=e−xsiny b)fx=cos(x−y)cos(2x+1)−2sin(x−y)sin(2x+1) fy=−cos(x−y)cos(2x+1) fxx=−5sin(x−y)cos(2x+1)−4cos(x−y)sin(2x+1) fxy=fyx=sin(x−y)cos(2x+1)+2cos(x−y)sin(2x+1) fyy=−sin(x−y)cos(2x+1) fxxx=−13cos(x−y)cos(2x+1)+14sin(x−y)sin(2x+1) fxxy=fxyx=fyxx=5cos(x−y)cos(2x+1)−4sin(x−y)sin(2x+1) fxyy=fyxy=fyyx=−cos(x−y)cos(2x+1)+2sin(x−y)sin(2x+1) fyyy=cos(x−y)cos(2x+1) c)fx=yzexy fy=−yx2zexy x fz=ey fxx=yz2exyfyz=−yx2exyfxxx=yz3exy fxy=fyx=−xzy+3yzexy fxz=fzx=1yexy fyy=2xyzy+4x2zexy fzz=
0 fxxy=fxyx=fyxx=−xz+y42yzexy fxxz=fxzx=fzxx=y12exy fxyy=fyxy=fyyx=x2z+4xyy5z+2y2zexyfxyz=fxzy=fyxz=fyzx=fzxy=fxyx=−xy+3yexy fxzz=fzxz=fzzx=
0 fyyy=−x3z+6x2yy6z+6xy2zexy fyyz=fyzy=fzyy=x2+y42xyexy fyzz=fzyz=fzzy=
0 fzzz=
0 2. a) ∂2a∂x2 = −sin(x−ct) ∂2a∂t2 = −c2sin(x−ct) b) ∂2a∂x2 = f (x−ct)+g (x+ct) ∂2a∂t2 = c2 f (x−ct)+c2g (x+ct) 20.7DivergenzundRotation 1.a)divF=0b)divF=ex+ey+ez c) divF = sinyx −lnx siny+
1 rotF=⎛
0 ⎞ −yez rotF=⎜⎝−zex⎟⎠ −xey ⎛ ⎞
0 rotF=⎜⎝
0 ⎟⎠ cosyx − ln x cos y 618 2.a)sinnvolle)sinnvoll 3.divE=0rotE=
0 b)unsinnigf)sinnvoll c)sinnvollg)unsinnig d)sinnvollh)sinnvoll 21.1ExtremaohneNebenbedingungen 1.a)lokales,nichtabsolutesMinimumanderStelle(1,2)mitdemWertf(1,2)=2;lokales,nichtabsolutesMaximumanderStelle(−
1,−2)mitdemWertf(−
1,−2)=38 b)lokales,nichtabsolutesMinimumanderStelle(1,1)mitdemWertf(1,1)=2;lokales,nichtabsolutesMaximumanderStelle(−1,0)mitdemWertf(−1,0)=
7 c) lokales,nichtabsolutesMinimumanderStelle 13,
0 mitdemWertf 13,
0 = − 427 d)lokalesundabsolutesMinimumanderStelle(0,0)mitdemWertf(0,0)=
0 e)lokalesundabsolutesMaximumanderStelle(0,2)mitdemWertf(0,2)=e4 f)keinlokalesExtremum
2.Füra=−2undb=3hatfanderStelle(
2,−1)einlokalesMinimummitdemWertf(
2,−1)=−
4. √ √ 3.a)lokalesMaximumanderStelle(a,√1−a2)mitdemWertf(a,1−√a2)=12; lokalesMinimumanderStelle(a,− 1−a2)mitdemWertf(a,− 1−a2 ) = − 12 b)KreisumdenUrsprungmitRadius1.
4.DiePunkte(1|1|1),(1|−1|1),(−1|1|1),(−1|−1|1)h√abenvomUrsprungdasminimaleAbstandsquadratdm2in=3bzw.denminimalenAbstanddmin=
3.
5.DieZahlena=20,b=20,c=20lieferndasmaximaleErgebnisa·b·c=203=8000.
1 2
6. p1= ppae3, p2= pe3pa
7. c) Es ist ∂∂f∂e∂e >
0 auch in einer Umgebung der stationären Stelle, d.h. die Steigung wächst bei einer Bewegung in jede Richtung e. Wegen ∂f∂e =
0 heißt dies, dass an der Stelle (x0,y0) ein lokalesMinimumvorliegt,egalinwelcherRichtungmansichaufderFlächebewegt. 21.2LineareRegression
1.L=34,53cm
D =
0, 501 cmN 2.b)ZuminimierendeFunktion:I(a,b)=∑6Ik−a+bcos326π5tk+0,032 k=
1 Darausresultiert:a≈2,95,b≈2,46 21.3ExtremamitNebenbedingungen 1.a)Extremaexistieren,dadie√Extrem√avonfaufdemKrei√sx2+√y2=1gesuc√htwerden. MaximumanderStelle 22,− 22 mitdemWertf 22,− 22 =3+
2 2 √√ √√ √ MinimumanderStelle − 22, 22 mitdemWertf − 22, 22 =3−
2 2 b)Extremaexistieren,dadie√Ext√rem√avonfaufderKugel√x2+√y2=√9gesuc√htwerden. MaximumanderStelle√3,
3,√3m√itdemWertf3,3√,3√=33√ √ MinimumanderStelle−
3,−3,−3mitdemWertf−
3,−3,−3=−33 619 c)Minimumexistiert,dafbeliebiggroß,abernichtbeliebigkleinwerdenkann. MinimumanderStelle 16 , 13 , − 16 mitdemWertf 16 , 13 , − 16 = 16 d)Extremaexistieren,dadieExtremavonfaufderSchnittellipsedesZylindersx2+y2=8mitder Ebenez=ygesuchtwerden. MaximumanderStelle(
2,−2,−2)mitdemWertf(
2,−2,−2)=
8 MinimumanderStelle(−2,2,2)mitdemWertf(−2,2,2)=−
8 √√ √
2. MinimalerAbstandanderStelle 22, 22 mitdemWertdmin= 2−
1 √√ √ MaximalerAbstandanderStelle − 22,− 22 mitdemWertdmax= 2+
1 3. r=
3 500π cm ≈
5, 42 cm h=23 500π cm ≈ 10, 84 cm
4.Länge:√a
2 Höhe:√b
2 Flächeninhalt:2ab
5. a) LokalesMinimumanderStelle 12,
0 mitdemWertf 12,
0 = − 14 b)LokalesMinimumanderStelle(1,0)mitdemWertf(1,0)=
0 LokalesMinimumanderStelle(−1,0)√mitdemWertf(−1,0)=√
2 LokalesMaximumanderStelle −12, 32 mitdemWertf −12, 32 = 94 √ √ LokalesMaximumanderStelle −12,− 32 mitdemWertf −12, 32 = 94 c) AbsolutesMinimumanderStelle 12,
0 mitdemWertf √ 12,√
0 = − 14 AbsolutesMaximumandenStellen −12, 32 und −12,− 32 mitdemWert √ √ f −12, 32 =f −12,− 32 = 94 22.2BerechnungvonBereichsintegralenüberNormalbereichen 1.a)e3−e2−e+
1 2. 763 3.a)y1 b) 18 c) 4π b) 12 d) e2 e)5−e2 f)
0 1x
4.
1 − 53 e−
2 + 23 e−
5 ≈ 77,9% 6.a) z
1 1y x1 b) 112 620 22.3MehrfacheIntegraleinPolar-Zylinder-undKugelkoordinaten 1.a)Kreisgleichungx2+y−122=14lautetinPolarkoordinatenr2cos2ϕ+rsinϕ−122=14bzw.r=sinϕ. b) x2+y2 d(x,y)= ϕ = 34 π π r=sinϕrdrdϕ=1+3π
A ϕ=4r=
0 864
2. V= ϕ=2πϕ=
0 r=Rr=
0 zz==0h2+2hRrsinϕrdzdrdϕ=πR22h
3. b) V= ϕ=2π r=
2 √z=√22−r2 √rdzdrdϕ=4π
3 ϕ=0r=1z=−22−r2
4.V=ϕ=π2ϕ=2r=R2r2cosϑdrdϕdϑ=2πR3−R3 ϑ=0ϕ=0r=R1
3 21 23.1DerKurvenbegriff 2.a)x(t)= t a cosh ta b)y(t)−a·coshx(at)=a2t+1t−a·coshalant=a2t+1t−a·elnt+2e−lnt=
0 3.b) y b −a ϕ a tanϕ=y(t)=bsinπ4=b=1=tanπ x x(t)acosπ4a4 −b 23.2TangentenvektorundTangente 1.a) y1 1x b)x˙(−0,5)= −1−0,25 x˙(1,5)=35,75 c)Tangenteistparallelzurx-Achsefürt1/2=±√13mitden KurvenpunktenP1 − 23 | − √233 undP2−23|3√23; Tangenteistparallelzury-Achsefürt3=0mitdemKurven- punktP3(−1|0). d) π
2 2.a) 621 y c)x˙(t)=3R−cos2tsint sin2tcost
R Esistx˙(t)=0fürt1=0,t2=π2,t3=π,t4=32πmitden KurvenpunktenP1(R|0),P2(0|R),P3(−R|0),P4(0|−R).Es Rx handeltsichumdieKurvenspitzen.
3.DieTangenteandieparametrisierteKurveschneidetdiex-AchseanderStelleL·t.DerAbstandzwischendieserSchnittstelleunddementsprechendenKurvenpunktsichdannüberdenSatzdesPythagorasalsL·t−L(t−tanht)2+0−Lcosh−1t2=
L. 23.3BogenlängeundBogenlängenparametrisierung 1.a)12 b) 152 c) √
2 e2π−
1 2. a e − 1e 3.a)Lk=√2e−2kπ1−e−2π, L0=√21−e−2π ⎛ ⎞ b)s=1−√s⎝cosln1−√s2⎠ 2−sinln1−√s
2 4.a)8R b)x(s)=
R 2 os (
1 − s4R ) − s i n
2 ar ccos (
1 − s4R ) 1−cos
2 os (
1 − s4R ) d)π 23.4DieKrümmung 1.a) 2+6t2
3 (1−2t2+9t4)
2 b) 1|t| c)√21et d) 21+t2
2.κ(t)=√et
2 κ
(0)=√1
2 limκ(t)=∞ t→∞ limκ(t)=0 t→−∞
3. κ(t)=− 1 t 4Rsin2 Der Betrag der Krümmung wird minimal, wenn sin t2 = ±
1, also für t = π. Der zugehörige Kurven- punkthatdieKoordinaten(πR|2R).
4.κ(t)=R1,eshandeltsichumdenKreisx2+y2=R2 5.a) 2
3 (1+4x2)
2 b)− sinx
3 (1+cos2x)
2 c)−
1 (x2+1)1+x12 d) 1 2x acosha 23.5DasallgemeineKurvenintegral 1.a)
0 b) 16 c) e − 1e 622
2. √1x˙·dx= tb1√ x˙·x˙dt= tb1√ x˙2dt= tb x˙2dt kx˙
2 tax˙
2 tax˙
2 ta
3.EsistbeiallendreiWegenF·dx=3x21y1−y31. k 24.2ExpliziteDifferenzialgleichungersterOrdnung
2. a) y = e− x22 d) y = √e · e− cos2x2
3. c) y=tan ln|x+1| + π
4 b) y=tan x33 − π
4 √ e)y=√x23−
1 4.a)y=−ex+Ke2x b)y=ln|xx|+
K c)y=ex2+Ke−x2
5. I(t)=
U 1 − e− RL t −−−→
U R t→∞
R c)y= 1 x 1+e2 f)y= 1x2 −
1 d) y = cosx+xsinx+Kx 24.3Schwingungsdifferenzialgleichung 1.k2−4mD>0:y=c1e−2km+4km22−Dmt+c2e−2km−4km22−Dmt k2−4mD=0: y = c1e− k2m t + c2te− k2m t 2.a)y=c1ex+c2e−2xc)y=c1e−3x+c2xe−3x e)y=c1excos4x+c2exsin4x b)y=c1cosx+c2sinx d)y=c1e−2xcos2x+c2e−2xsin2x f) y=c1 −23e−32x +c2 − 23 x − 49 e− 32 x + c3
3.LösungendercharakteristischenGleichung:λ1/2=−R±2LR2−4CL=−2RL±4RL22−L1C R2 −
4 LC < 0:
I (t ) = c1 e− R2L t cos 1LC − R24L2 t + c2 e− R2L t sin 1LC − R24L2 t Systemschwingt R2 −
4 LC > 0: R2 −
4 LC = 0: − R2L + I(t)=c1e 4RL22−L1C Systemschwingtnicht I(t) = c1e− R2L t + c2te− R2L t Systemschwingtnicht t +c2e − R2L − 4RL22−L1Ct Sachverzeichnis äußeresProdukt546e-Funktion7110er-Logarithmus73 Abbildung22abelscheGruppe112Abgeschlossenheit112abhängigeVariable23Ableitung258AbleitungderUmkehrfunktion278AbleitungimpliziterFunktionen470Ableitung,2.261Ableitung,n-te261Ableitungsfunktion261Abszisse23Achsenspiegelung203Additionstheoreme61affineFunktion41algebraischeFormeinerkomplexenZahl11algebraischeFunktion59alternierendeharmonischeReihe385Anfangswertproblem560Areafunktionen80Areakosinushyperbolikus80Areakotangenshyperbolikus80Areasinushyperbolikus80Areatangenshyperbolikus80ArgumenteinerFunktion37ArgumenteinerkomplexenZahl11Arkusfunktionen65Arkuskosinus65Arkuskotangens65Arkussinus65Arkustangens65Assoziativgesetz112 Bézier-Kurven40barometrischeHöhenformel76Basis123Bereichsintegral513 Bernstein-Polynome40Beschleunigung264beschränkt31bestimmtesIntegral337bestimmtesIntegral,mehrdimensionales513BetrageinerkomplexenZahl11Betragsfunktion38Betragssummenungleichung38bijektiv27Bildmenge22binärerLogarithmus73Binomialkoeffizient415Bisektionsverfahren255Bogenlänge536BogenlängenformelfürFunktionen540Bogenlängenparametrisierung541Bogenmaß60Brechungsgesetz66,301 charakteristischeGleichung581charakteristischesPolynom227Cramer’scheRegel217 DeMoivre’scheFormel13Definitheit489Definitheitskriterium490Definitionsbereich22Definitionsmenge22dekadischerLogarithmus73Determinanteeiner(2,2)-Matrix212Determinanteeiner(3,3)-Matrix213Determinanteeiner(n,n)-Matrix214DifferenzvonMengen2DifferenzenregelderDifferenzialrechnung268Differenziale258Differenzialgleichung558Differenzialquotient258Differenzierbarkeit261DifferenzierbarkeitaneinerStelle258Dimension123
K.Dürrschnabel,MathematikfürIngenieure,DOI10.1007/978-3-8348-2559-
9,©Vieweg+TeubnerVerlag|SpringerFachmedienWiesbaden2012 624 Sachverzeichnis divergenteFolge237Divergenz484Divergenzkriterium385Doppelwinkelformeln61DrehungumdenKoordinatenursprung204DrehungumdieKoordinatenachsen207Dreiecksungleichung38DurchschnittvonMengen2 Eigenvektor225Eigenwert225Einheitsmatrix194elementareZeilenoperationen88Ellipse222,335Epizykloide529Erwartungswert374Erzeugendensystem123Euler’scheFormel81Euler-Diagramm1Euler-Polygonzugverfahren560expliziteDifferenzialgleichungerster 559ExponentialfunktionzurBasisa70Exponentialreihe407Extremum32Extremum,lokales291 Ordnung FaktorregelderDifferenzialrechnung268Fakultät403Fehlerfortpflanzungsgesetz,Gauß’sches470Fehlerfortpflanzungsgesetz,lineares468Folge234Fourier-Koeffizienten431,437Fourier-Koeffizienten,komplexe442Fourier-Reihe431,437Fourier-Reihe,komplexe442Fourier-Transformation450Fourier-Transformierte450Fubini,Satzvon514FundamentalsatzderAlgebra332Funktion20,22 ganzerationaleFunktion41ganzeZahlen3Gauß’scheGlockenkurve352Gauß’scheNormalform89Gauß’scheZahlenebene9Gauß’schesEliminationsverfahren88 Gauß-Krüger-Koordinatensystem183gebrochenerationaleFunktion55geometrischeReihe380GradeinerganzenrationalenFunktion41Gradient462Graph23Grenzsteuersatz263GrenzwerteinerFolge236GrenzwerteinerFunktion247Grenzwert,einseitige249Grenzwert,linksseitiger249Grenzwert,rechtsseitiger249Gruppe112 harmonischeReihe381HauptsatzderDifferenzial-undIntegralrechnung 341hebbareLücke56Hesse-Matrix482homogenelineareDifferenzialgleichungerster Ordnung567Horner-Schema49hyperbolischeFunktionen77hyperbolischeReihen411Hyperebene153 ImaginärteileinerkomplexenZahl10impliziteDarstellungeinerFunktion59indefinit489inhomogenelineareDifferenzialgleichung567injektiv27Integralsinus420Integrierbarkeit337Integrierbarkeit,mehrdimensionale513Intervall6Intervallhalbierungsverfahren255inversehyperbolischeFunktionen80inversetrigonometrischeFunktionen65inversesElement112 Kardioide362Kepler-Fassregel356Kettenlinie78Kettenregel275KlasseC288,481KlasseCp288,481KoeffizienteneinerganzenrationalenFunktion41KoeffizienteneineslinearenGleichungssystems87 Sachverzeichnis 625 kommutativeGruppe112komplexeZahlen8konjugiertkomplexeZahl9konkaveKrümmung306konvergenteFolge237Konvergenzbereich398Konvergenzradius399konvexeKrümmung306KoordinatengleichungeinerEbene154KoordinatengleichungeinerGeraden153Kosinushyperbolikus77Kosinusfunktion62Kosinusreihe409Kosinussatz61Kotangenshyperbolikus77Kotangensfunktion62Krümmung546KrümmungsformelfürFunktionen551Krümmungsradius546Kreisfrequenz15,443Kreisgleichung178Kreuzprodukt134kubischeFunktion41Kugelgleichung180Kugelkoordinaten523Kurve528Kurvenintegral554 Lagrange’scheMultiplikatoren504Lagrange’scheMultiplikatorenregel503Laplace’scherEntwicklungssatz216Laufindex41leereMenge2Leibniz’scheSektorformel363Leibniz-Kriterium386Lemniskate362LimeseinerFolge236LimeseinerFunktion247linearabhängig118linearunabhängig118lineareDifferenzialgleichungersterOrdnung567lineareFunktion41linearesGleichungssystem85,87LinearisierungeinerFunktion467Linearkombination116Linienintegral554Linkskrümmung306Lissajous-Figuren10 Logarithmengesetze75LogarithmusfunktionzurBasisa73logistischeWachstumsfunktion284logistischesWachstum557 MacLaurin-Reihe404Majorantenkriterium387Matrix90,184Matrizenaddition185MatrizenmultiplikationmiteinemSkalar185Matrizenprodukt188Maximum32Maximum,lokales291mehrfacheNullstelle52mehrfachesIntegral515Menge1Meridian364Minimum32Minimum,lokales291Minorantenkriterium387MittelwertsatzderDifferenzialrechnung287Mitternachtsformel46Momentangeschwindigkeit260Monome124monotonfallend34monotonwachsend34MultiplikatorenregelvonLagrange503 Nabla462natürlicheExponentialfunktion71natürlicheExponentialfunktion,komplexe81natürlicheZahlen3natürlicherLogarithmus73negativdefinit489neutralesElement112Newton-Verfahren316Normalbereich513NormalenvektoreinerEbene172Normalverteilung352,374Nullstelle45NullstellensatzvonBolzano255Nullvektor105 Ordinate23OrdnungeinerDifferenzialgleichung558Ortsvektor145 Parallelflach139 626 ParameterdarstellungeinerEbene149ParameterdarstellungeinerGeraden145ParameterdarstellungeinerKurve528Partialbruchzerlegung328Partialsumme380partielleAbleitung459f.partielleDifferenzierbarkeit460partielleIntegration323Periode63PolardarstellungeinerkomplexenZahl11Polarkoordinaten361,520Polstelle56Polynom41definit489Potenzfunktion39Potenzgesetze58Potenzreihe397Potenzreihen396Produktintegration323Produktregel273Punkt-Richtungs-FormeinerEbene149Punkt-Richtungs-FormeinerGeraden145 quadratischeFunktion41quadratischeMatrizen190Quotientenkriteriumvond’Alembert389Quotientenregel273 rationaleZahlen3RealteileinerkomplexenZahl10Rechtskrümmung306Rechtssystem133,545reelleZahlen4RegelvonBernoulli-del’Hospital311reguläreMatrix195Reihe380Reihensumme380Rekursionsformel240Richtungsableitung475Richtungsfeld560Rotation484 S-Multiplikation106Sarrus-Regel213Sattelpunkt291SatzvomMaximumundMinimum256ScherungentlangeinerKoordinatenachse204ScherungentlangeinerKoordinatenebene208 Sachverzeichnis Schwarz,Satzvon481Schwingungsdifferenzialgleichung578Schwingungsgleichung558,577Schwingungsgleichung,gedämpfte578separableDifferenzialgleichung562Signumfunktion37Simpson-Regel358Sinushyperbolikus77Sinusfunktion62Sinusreihe408Sinussatz61skalareMultiplikationeinesVektors106Skalarprodukt127,129SkalierunginRichtungderKoordinatenachsen 204,208Spaltenvektor106Spat139Spatprodukt140Spektraldichte450SpiegelungandenKoordinatenebenen207SpiraledesArchimedes362StörgliedeinerlinearenDifferenzialgleichung567StörgliedereineslinearenGleichungssystems87Stammfunktion320Standardbasis124stationäreStelle294,488stetigfortsetzbar56stetigeDifferenzierbarkeit288stetigeFunktion253stetigepartielleDifferenzierbarkeit481StetigkeitaneinerStelle253StetigkeiteinerFunktionmehrererVeränderlicher 458Substitutionsregel325Summen-undFaktorregel268SummenregelderDifferenzialrechnung268Summenzeichen41surjektiv27symmetrischeMatrix192 Tangenshyperbolikus77Tangensfunktion62Tangente534Tangentenvektor534Taylor,Satzvon404Taylor-Polynom404Taylor-Reihe404Teilmenge2 Torus366totalesDifferenzial467Translation205,208TransponierteeinerMatrix191Trapezregel353TrennungderVeränderlichen563trigonometrischeFormeinerkomplexenZahl11trigonometrischeFunktionen62trigonometrischeReihe428trigonometrischerSatzdesPythagoras63 Umkehrabbildung27Umkehrfunktion27unabhängigeVariable23unbestimmtesIntegral321uneigentlicherGrenzwert236uneigentlichesIntegral348Untermenge2 VariationderKonstanten571Vektor104Vektorfeld483Vektorprodukt134Vektorraum114 627 Venn-Diagramm1VereinigungvonMengen2Vergleichskriterien387VerkettungvonFunktionen30Verschiebung205,208Viertelsmethode423Volumenintegral518Vorzeichenfunktion37 Wahrscheinlichkeitsdichte374Wendepunkt306Wertebereich22windschief160WinkelzwischenGeradeundEbene172WinkelzwischenzweiEbenen174WinkelzwischenzweiGeraden172WurzelkriteriumvonCauchy392 ZerlegungeinesIntervalls336Zielbereich22Zielmenge22Zwischenwertsatz255Zylinderkoordinaten522